Esercizi su similitudine ed analisi dimensionale

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1 Esercizi su similitudine ed analisi dimensionale versione Esercizio Il comportamento aerodinamico di una nuova vettura è caratterizzato dalla relazione fra due parametri adimensionali Π 1 = F Π 2 ) con Π 1 = F r ρv 2 2 e Π 2 = Re = ρv µ. 1) F r è a forza che il fluido esercita sul corpo in direzione del moto, cioè la resistenza all avanzamento del veicolo. Si vuole studiare la resistenza dell automobile a 80km/h alla temperatura T p = 25 C tramite un modello in scala 1:3 in una galleria del vento che lavora ad una temperatura di T m = 5 C. Determinare la velocità dell aria che garantisce la similitudine completa. Se la resistenza misurata in galleria è F r,m = 10N calcolare la resistenza aerodinamica sulla vettura. 1.1 Soluzione Nell ipotesi che la similitudine geometrica sia verificata, se tutti i gruppi adimensionali indipendenti Π 2 ) sono uguali lo sarà anche quello dipendente Π 1 ). Dovrà quindi essere Π 2,m = Π 2,p Re m = Re p 2) Siano e ρ m V m m µ m = ρ pv p p µ p 3) V a = V m = ) ρp p µ m V p. 4) ρ m m µ p ρ p T p ) = 1.184kg/m 3, µ p T p ) = P a s 5) ρ m T m ) = 1.269kg/m 3, µ m T m ) = P a s 6) V a = ) 80 = 212.4km/h. 7) Selezione di esercizi estratti od ispirati dai libri di testo consigliati: it/dati/corsi/95018/81762-testicondettagliocapitoli.pdf. 1

2 Se Re m = Re p allora Π 1,m = Π 1,p F r,p = F r,p = F r,m ρ m V 2 m 2 m [ ρ p Vp ρ m V m [ = F r,p ρ p V 2 p 2 p 8) ) 2 ) ] 2 p F r,m 9) m ) 2 ) ] = 11.96N 10) 1 2 Esercizio Una sfera di 8cm di diametro investita durante un esperimento da acqua a 20 C in moto a 2m/s sperimenta una resistenza di 5N. esperimento, condotto in similitudine completa, è rappresentativo di un pallone metereologico di diametro 1.5m al livello del mare considerando l aria in condizioni standard. Calcolare la resistenza che il fluido esercita sul pallone metereologico e la velocità del flusso d aria che lo investe. Siano: T water = 20 C, ρ water = 998kg/m 3, µ water = 0.001kg/m s) e ρ air = kg/m 3, µ air = kg/m s). 2.1 Soluzione Come nell Esercizio 1, F = ρ,, D, µ) e quindi il generico coefficiente di forza C F = F ρv 2 è funzione del solo numero di Reynolds D2 C F = F ) ρv D ρv 2 2 = G 11) µ Essendo in similitudine completa, è valida la similitudine geometrica ed il numero di Reynolds ha lo stesso valore nell esperimento pedice m) e nella realtà pedice p) Re m = ρ waterv m D m = ) µ water E possibile ricavare la velocità del flusso intorno al pallone metereologico dalla definizione di numero di Reynolds Re p = ρ airv p D p V p = = 1.55m/s 13) µ air I coefficienti di forza sono uguali ed è possibile ricavare la resistenza agente sul pallone F r,p = F r,p = F r,m ρ m V 2 md 2 m [ [ ρ p Vp ρ m V m = F r,p ρ p V 2 p D 2 p 14) ) 2 ) ] 2 Dp F r,m 15) D m ) 2 ) ] = 1.3N 16)

3 3 Esercizio Un automobile ha una lunghezza caratteristica di 2m. auto è in viaggio in altura a 3500m di quota con una velocità di 100km/h. A 3500m s.l.m. ρ = kg/m 3 e µ = Il coefficiente di forza è solo funzione del numero di Reynolds e può essere stimato secondo la legge C D = 1.07Re Calcolare la resistenza aerodinamica e la potenza richiesta per superare la resistenza all avanzamento. 3.1 Soluzione ed infine Re = ρv µ = /3.6) = ) C D = 1.07 Re = ) F = C D ρv 2 2) = 589N. 19) a potenza minima necessaria per vincere la resistenza aerodinamica è 4 Esercizio P = F V = /3.6 = kW = 22.25CV 20) Il numero di Morton è impiegato nello studio della dinamica delle bolle. Mo è una funzione dell accelerazione di gravità g, della viscosità µ, della densità ρ e del coefficiente di tensione superficiale Y con [Y ] = MT 2. E inoltre noto che Mo è proporzionale a g. 4.1 Soluzione Si ricavano le dimensioni fondamentali delle grandezze coinvolte nella definizione del numero di Morton [g] = MT 2, [µ] = M 1 T 1, [ρ] = M 3, [Y ] = MT 2 21) Sapendo che M o è proporzionale a g e che è un gruppo adimensionale è possibile scrivere [Π] = [Mo] = M 0 0 T 0 = [µ a ρ b Y c g] = M 1 T 1 ) a M 3 ) b MT 2 ) c T 2 ) = M a M b M c ) a 3b )T a T 2c T 2 ) 22) a + b + c = 0 M) a 3b + 1 = 0 ) a 2c 2 = 0 T ) 23) 3

4 dalla prima equazione a + 1 a 3 a + b + c = 0 b = 1 a 3 a + 2) c = 2 a Il numero di Morton è quindi definito come 5 Esercizio 24) = 0 a = 4 25) b = 1 c = 3. 26) Π = Mo = µ a ρ b Y c g = µ 4 ρ 1 Y 3 g 27) Mo = gµ4 ρy 3 28) Nella dinamica delle particelle viene spesso usato il numero di Stokes, St. St è la combinazione di cinque grandezze: g, µ, ρ, V, D. Se St è proporzionale a µ ed inversamente proporzionale a g, trovare la forma del gruppo adimensionale. Mostrare inoltre che St è il quoziente di due numeri adimensionali comuni. 5.1 Soluzione Noto St = fg, µ, ρ, V, D) 29) si ricavano le dimensioni fondamentali delle grandezze coinvolte nella definizione del numero di Stokes [g] = MT 2, [µ] = M 1 T 1, [ρ] = M 3, [V ] = T 1 [D] = 30) Sapendo che St è proporzionale a µ ed inversamente proporzionale a g e che è un gruppo adimensionale è possibile scrivere [Π] = [St] = M 0 0 T 0 = [ρ a V b D c µg 1 ] = M 3 ) a T 1 ) b c M 1 T 1 )T 2 ) 1 = M a M) 3a b c 1 1 )T b T 1 T 2 ) 31) a + 1 = 0 M) 3a + b + c 1 1 = 0 = 0 b = 0 T ) a = 1 c = 2 + 3a b c = 2 b = 1 ) 32) 33) 4

5 Il numero di Stokes è quindi definito come nella quale definizione posso riconoscere il rapporto 6 Esercizio Π = St = ρ 1 V D 2 µg 1 34) St = µv ρgd 2 35) St = F ) 2 r2 V Re = µ gd ρv = V 2 µ gd ρv D = µv ρgd 2 36) Il flusso attorno ad una lastra piana è caratterizzato da un altezza dello strato limite δ che varia con la distanza x, la velocità del flusso indisturbato U, la viscosità µ e la densità ρ. Trovare i gruppi adimensionali del problema. 6.1 Soluzione δ = fx, U, µ, ρ) gδ, x, U, µ, ρ) = 0 37) si ricavano le dimensioni fondamentali delle grandezze coinvolte [δ] =, [x] =, [U] = T 1, [µ] = M 1 T 1, [ρ] = M 3 38) Ho quindi n = 5 variabili e m = 3 dimensioni fondamentali coinvolte. Stimo come j = m la riduzione j = n d. Mi attendo quindi d = n j = n m = 5 3 = 2 gruppi adimensionali, cioè Π 1 e Π 2. Scelgo ρ, x e U come variabili ripetute. [Π 1 ] = M 0 0 T 0 = [ρ a x b U c δ] = M 3 ) a b T 1 ) c = M a ) 3a b c )T c 39) a = 0 M) c = 0 T ) 3a + b + c + 1 = 0 b = 1) Si ottiene il primo gruppo adimensionale come Π 1 = ρ a x b U c δ = ρ 0 x 1 U 0 δ = δ x 40) 41) Per il secondo gruppo adimensionale posso scrivere [Π 2 ] = M 0 0 T 0 = [ρ a x b U c µ] = M 3 ) a b T 1 ) c M 1 T 1 ) = M a M) 3a b c 1 )T c T 1 ) 42) 5

6 a + 1 = 0 a = 1 M) c 1 = 0 c = 1 T ) 3a + b + c 1 = b 1 1 = 0 b = 1 Si ottiene quindi il secondo gruppo adimensionale come ) 43) Π 2 = ρ a x b U c µ = ρ 1 x 1 U 1 µ = µ ρux = 1 Re x 44) In alternativa avrei potuto scegliere come tre variabili ripetute ρ, x, µ. Con tale scelta il primo gruppo adimensionale risulta [Π 1 ] = M 0 0 T 0 = [ρ a x b µ c δ] = M 3 ) a b M 1 T 1 ) c = M a M c ) 3a b c )T c 45) e c = 0 T ) a + c = 0 a = c = 0 M) 3a + b c + 1 = 0 b = 1 ) Π 1 = ρ a x b µ c δ = ρ 0 x 1 µ 0 δ = δ x 46) 47) Mentre per il secondo gruppo adimensionale posso scrivere [Π 2 ] = M 0 0 T 0 = [ρ a x b µ c U] = M 3 ) a b M 1 T 1 ) c T 1 ) = M a M c ) 3a b c )T c T 1 ) 48) c 1 = 0 c = 1 T ) a + c = 0 a = c = +1 M) 3a + b c + 1 = 0 b = 1 ) Si ottiene quindi il secondo gruppo adimensionale come 49) 7 Esercizio Π 2 = ρ a x b µ c U = ρ 1 x 1 µ 1 U = ρux µ = Re x 50) In regime laminare, la portata volumetrica attraverso un foro triangolare di lato b e profondità è funzione della viscosità, della caduta di pressione per unità di lunghezza e del lato b. Scrivere la relazione in forma adimensionale e valutare come varia la portata volumetrica se il lato b viene raddoppiato. 6

7 7.1 Soluzione Noto Q = f µ, p ), b g Q, µ, p ), b = 0 51) si ricavano le dimensioni fondamentali delle grandezze coinvolte [Q] = 3 T 1, [µ] = M 1 T 1, [b] =, 52) [ p/] = [ p]/[] = MT = M 2 T 2 53) Ho quindi n = 4 variabili e m = 3 dimensioni fondamentali coinvolte. Stimo come j = m la riduzione j = n d. Mi attendo quindi un solo gruppo adimensionali, d = n j = n m = 4 3 = 1. Scelgo p, µ, b come variabili ripetute. [Π 1 ] = M 0 0 T 0 = [ ) a p µ b b Q] c = M 2 T 2 ) a M 1 T 1 ) b c 3 T 1 ) = M a M b ) 2a b c 3 )T 2a T b T 1 ) 54) a + b = 0 a = b b = 1 M) 2a b + c + 3 = 0 c = 4 ) 2a b 1 = 0 a = 1 T ) Si ottiene quindi il gruppo adimensionale Π 1 come 55) Π 1 = p ) a µ b b c Q = p ) 1 µ 1 b 1 Q 56) Qµ Π 1 = ) 57) p b 4 In similitudine Π 1 = const. Raddoppiando il lato e definendo b = 2b, per mantenere Π 1 costante agendo sulla portata otterrò Q 8 Esercizio Qµ ) = p b 4 Q µ b ) 4 p ) 58) Q = Q b ) 4 b 4 = 16 Q 59) a forza F agente su un corpo immerso dipende solo dalla sua lunghezza, dalla velocità del flusso, e dalla densità e viscosità del fluido. F = f, V, ρ, µ) g F,, V, ρ, µ) = 0 60) Ridurre la relazione in forma adimensionale. 7

8 8.1 Soluzione e dimensioni fondamentali delle grandezze coinvolte sono [F ] = MT 2, [] =, [V ] = T 1, [ρ] = M 3, [µ] = M 1 T 1 61) Ho quindi n = 5 variabili e m = 3 dimensioni fondamentali coinvolte. Stimo come j = m la riduzione j = n d. Mi attendo quindi due soli gruppi adimensionali, d = n j = n m = 5 3 = 2. Scelgo, V, ρ come variabili ripetute. [Π 1 ] = M 0 0 T 0 = [ a V b ρ c F ] = a T 1 ) b M 3 ) c MT 2 = a b 3c )T b T 2 )M c M) 62) a + b 3c + 1 = 0 a = 0 a = 2 b 2 = 0 b = 2 T ) c + 1 = 0 c = 1 M) Si ottiene quindi il gruppo adimensionale Π 1 come Π 1 = a V b ρ c F = 2 V 2 ρ 1 F = ) 63) F 2 V 2 ρ = C F 64) il gruppo Π 1 rappresenta un generico coefficiente di forza C F. Mentre per il secondo gruppo adimensionale posso scrivere [Π 2 ] = M 0 0 T 0 = [ a V b ρ c µ] = a T 1 ) b M 3 ) c M 1 T 1 = a b 3c 1 )T b T 1 )M c M) 65) a + b 3c 1 = 0 a = 1 b 1 = 0 b = 1 T ) c + 1 = 0 c = 1 M) si ottiene quindi il secondo gruppo adimensionale come ) Π 2 = a V b ρ c µ = 1 V 1 ρ 1 µ = µ V ρ = Per il secondo gruppo adimensionale avrei potuto scegliere µ 1 anziché µ [Π 2 ] = M 0 0 T 0 = [ a V b ρ c µ 1 ] 1 Re = a T 1 ) b M 3 ) c M 1 T 1 ) 1 66) 67) = a b 3c 1 )T b T 1 )M c M 1 ) 68) a + b 3c + 1 = 0 a = +1 b + 1 = 0 b = 1 T ) c 1 = 0 c = 1 M) Si ottiene quindi il gruppo adimensionale come Π 2 = a V b ρ c µ 1 = 1 V 1 ρ 1 µ 1 = V ρ µ 8 ) 69) = Re 70)

9 9 Esercizio In un flusso laminare la portata volumetrica Q attraverso un capillare è funzione del suo raggio, della viscosità, e della caduta di pressione per unità di lunghezza, dp/dx. Trovare una relazione adimensionale. 9.1 Soluzione Noto Q = f R, µ, p ) g Q, R, µ, p ) = 0 71) si ricavano le dimensioni fondamentali delle grandezze coinvolte [Q] = 3 T 1, [R] =, [µ] = M 1 T 1, 72) [ ] p = MT = M 2 T 2 73) Ho quindi n = 4 variabili e m = 3 dimensioni fondamentali coinvolte. Stimo come j = m la riduzione j = n d. Mi attendo quindi un solo gruppo adimensionale, d = n j = n m = 4 3 = 1. Scelgo R, µ e p come variabili ripetute. [ ) c p [Π 1 ] = M 0 0 T 0 = R a µ Q] b = a M 1 T 1 ) b M 2 T 2 ) c 3 T 1 ) = M b M c ) a b 2c 3 )T b T 2c T 1 ) 74) a b 2c + 3 = 0 a = 4 ) b c = 0 c = 1 M) b 2c 1 = 0 b = 1 T ) Si ottiene quindi il gruppo adimensionale Π 1 come 75) ) c ) 1 p p Π 1 = R a µ b Q = R 4 µ Q 76) cioè Π 1 = Qµ p R4 = const 77) 9