Liceo Scientifico Statale G. Stampacchia Tricase Tempo di lavoro 80 minuti

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1 Oggetto: compito in Classe D/PNI Liceo Scientifico Statale G. Stampacchia Tricase Tempo di lavoro 8 minuti Argomenti- Geometria: Risoluzione di problemi di secondo grado con applicazione del teorema di Pitagora e dei teoremi di Euclide Algebra: Equazioni biquadratiche, trinomie e reciproche. Geometria Problema_ (m) Dato il quadrato ABCD, il cui lato misura l, determinare sui lati AB, BC, CD, DA rispettivamente i punti E, F, G, H in modo che le misure dei segmenti AE, BF, CG, DH siano rispettivamente proporzionali ai numeri, ½,,. Posto AE =, risolvere i seguenti quesiti :. Determinare il valore di in modo che l area del quadrilatero EFGH valga 7l /6. Determinare la misura del perimetro del quadrilatero EFGH.. Stabilire per quali valori di il quadrilatero EFGH ha le diagonali congruenti e per i valori trovati determinare la misura delle diagonali. Problema_ (m) Nel trapezio rettangolo ABCD è noto che: la diagonale minore è perpendicolare al lato obliquo il rapporto tra la misura della base minore e quella dell altezza è la misura dell area è cm. Determinare la misura del perimetro del trapezio. Algebra Es_) (m) Risolvere le seguenti equazioni. =. 8( ) ( ) = + Es_) (m). Dopo aver scritto un equazione reciproca avente tra le sue radici i seguenti numeri = =, risolverla per verificare la correttezza delle elaborazioni algebriche. Classificare l equazione scritta.. Scrivere un equazione reciproca di quarto grado avente tra le sue radici i due numeri =, =. Classificare l equazione ottenuta. Es_) (m). Stabilire per quali valori dei parametri h, k la seguente equazione ( k ) + ( h ) + (k ) + h = è reciproca e scrivere per i valori trovati le espressioni delle equazioni corrispondenti.. Nel caso esistano valori dei parametri per i quali l equazione è reciproca di seconda specie risolvere l equazione ottenuta.

2 Soluzione Problema_. Facciamo riferimento alla Fig. nella quale è rappresentato il quadrato ABCD e sono indicati i punti E, F, G, H. Poiché i segmenti AE, BF, CG, DH sono proporzionali rispettivamente ai numeri, ½,,, ponendo AE = si deduce: BF = / FC = l / CG = GD = l DH = HA = l. Per determinare il valore della misura è necessario trovare il valore dell area del quadrilatero EFGH e porla uguale al valore assegnato 7l /6. In tal modo si ottiene un equazione che risolta fornirà i valori di. L area del quadrilatero in oggetto è data dalla differenza tra l area del quadrato ABCD e la somma delle aree dei quattro triangoli rettangoli EBF, FCG, GDH, HAE. Limitazioni per i valori di Prima di eseguire calcoli algebrici è bene osservare che i valori di sono accettabili solo se soddisfano le seguenti condizioni: ( ), ( l ),( l / ),( l ) che sintetizzate diventano l/ (*) Ciò premesso risulta ( l ) area del triangolo EBF S = ( l ) area del triangolo FCG S = ( l ) area del triangolo GDH S = ( l ) area del triangolo HAE S =, per cui l area del quadrilatero EFGH è 9 ( l ) S = l ( S+ S + S+ S) = l. 7 Imponendo l uguaglianza richiesta S = l si ricava l equazione 6 9 l ( ) 7 l = l 6 che ridotta alla forma normale diventa 6 6l+ l = le radici sono 8l± 6l 8l 8l± l = = 6 6 l l = =, che soddisfa le condizioni (*), quindi è accettabile 6 l l = =, che non soddisfa le condizioni (*), quindi non è accettabile. 6

3 Il problema proposto ammette dunque una sola soluzione: il segmento AE deve avere misura l/. Perimetro del quadrilatero EFGH Sostituendo ad il valore trovato si ricavano le seguenti misure: l l l 7l l l l l AE = EB = BF = FC = CG = GD = DH = HA =. 8 8 Applicando il teorema di Pitagora ai triangoli EBF, FCG, GDH, HAE si determinano le misure dei lati del quadrilatero EFGH. Si ha: EF = l 7 l 6 EB + BF = FG = FC + CG = 8 8 HG = l l DG + DH = HE = HA + AE = Il perimetro del quadrilatero EFGH è allora l 7 l 6 l l l P( EFGH ) = EF + FG + GH + HE = = ( ). Osserviamo ora la figura Fig., nella quale FM AD, EN DC. Si possono determinare le misure delle diagonali HF, GE del quadrilatero EFGH applicando il teorema di Pitagora rispettivamente ai triangoli HMF, GNE. Tenendo conto che AE = e dei vincoli cui sono sottoposti i punti F,G, H si verifica che HM = AD ( DH + AM ) = l + = l NG = CD ( CG + ND) = l + = l ( ) HF HM MF = + = l + l ( ) EG = NG + EN = l + l imponendo che le misure delle diagonali HF, EG siano uguali si ricava l uguaglianza ( ) l + l = l + l, dalla quale, elevando al quadrato ambo i membri ed eliminando il termine l, si ha l = l = ( l ) = l l = l oppure l l = l+ = 9 I due valori trovati soddisfano le condizioni (*) e quindi esistono due quadrilateri che verificano le condizioni richieste e che hanno le diagonali congruenti. Per = il quadrilatero coincide con il quadrato ABCD. Per = l 9 il valore comune delle diagonali è

4 = = + = EG HF l l l l 9 Problema_ In Fig. è rappresentato il trapezio rettangolo di riferimento: AB è la base maggiore. Abbiamo condotto l altezza CH e la diagonale AC. Dal testo del problema si evince che CD CH = e quindi introducendo la costante di proporzionalità possiamo porre CH = e CD =. Ricordato che la diagonale AC è perpendicolare al lato obliquo BC, possiamo applicare il secondo teorema di Euclide al triangolo ABC per determinare la misura della proiezione del cateto BC sull ipotenusa. Si ha CH HB = = = AB = AH + HB = + = AH Possiamo ora determinare il valore dell area del trapezio in funzione dell incognita ed uguagliarlo al valore noto cm ottenendo in tal modo un equazione dalla quale si ricava il valore di. ( AB + CD) CH 7 Area( ABCD) = = + = 6 L equazione è allora 7 6 = = 6cm Le misure delle basi e dell altezza del trapezio sono: AB = 6 cm = 8 cm CD = 6 cm CH = 6cm. Occorre ora determinare la misura del lato obliquo BC del trapezio la possiamo ottenere applicando il primo teorema di Euclide al triangolo rettangolo ABC relativamente al cateto BC. Essendo HB = cm segue BC = AB HB = 8 cm= cm Possiamo ora scrivere la misura del perimetro del trapezio ( ABCD) ( ) ( ) P = AB+ BC+ CD+ AD= cm= 6 + cm

5 Algebra Es_). = + L equazione proposta è razionale fratta ridotta alla forma normale diventa 9 + =, con la condizione di equivalenza. Ponendo per semplicità = y = y, si risolve l equazione ausiliaria di secondo grado y 9y + = le cui radici sono 9± 8 9± 9 9± y = = = y = =, y = = Ritornando alla variabile si ha = y = =± questi valori sono accettabili perché soddisfano la condizione = y = =± anche questi valori sono accettabili perché verificano la condizione. L insieme delle soluzioni dell equazione in esame è perciò: S =.. 8( ) ( ) = L equazione in esame è trinomia e per risolverla è opportuno effettuare una sostituzione di variabile. Ponendo = t si perviene all equazione ausiliaria 8t t = che risolta fornisce le soluzioni ± + ± t = = t = =, t = = Tornando alla variabile si devono risolvere le equazioni corrispondenti ai due valori trovati: t = = 6 = ± = =, = + 6± 6 6± t = = + = = = =, =. + L insieme delle soluzioni dell equazione è dunque S =. Es_). Ricordiamo che ogni equazione reciproca ha la caratteristica di avere le radici a coppie: se =α è una radice, allora è radice anche = /α. Ciò premesso, osservato che il reciproco del numero è il numero stesso e che il reciproco di = è, deduciamo che l equazione reciproca di grado più basso è quella di terzo grado che ha come radici =, =, = e la sua forma algebrica è ( + ) =, che ridotta alla forma normale diventa

6 = L equazione è reciproca di prima specie perché i termini estremi e quelli equidistanti dagli estremi hanno i coefficienti uguali. Risoluzione dell equazione Risolviamo l equazione fattorizzando il polinomio al primo membro. Riportiamo i passaggi: ( + ) 9 ( + ) = ( + )( + ) 9 ( + ) = ( + )( 9+ ) = ora si applica la legge di annullamento del prodotto: + = = 9 ± 8 9 ± 8 9+ = = = = = = = Come si vede sono stati ritrovati i valori delle tre radici dalle quali si era partiti per impostare l equazione.. L equazione dovendo essere reciproca dovrà ammettere tra le sue radici, oltre alle due indicate, anche le loro reciproche. I reciproci dei due numeri =, = sono rispettivamente = = = = =. La più semplice equazione avente come radici i quattro numeri,,, è: ( )( )( )( ) = e sostituendo i valori indicati in precedenza si ha ( ) + + ( ) = dopo alcune elaborazioni algebriche si perviene alla forma semplificata ( ) ( ) ( ) = Es_) Per maggior chiarezza possiamo scrivere l equazione nella forma completa ( k ) + ( h ) + + (k ) + h = Ricordiamo che un equazione reciproca ridotta alla forma normale se è di prima specie ha uguali i coefficienti dei termini estremi e quelli dei termini equidistanti dagli estremi, se è di seconda specie ha opposti i coefficienti dei termini estremi e quelli dei termini equidistanti dagli estremi. Ciò premesso, occorre stabilire se esistono valori dei parametri k ed h che rendono l equazione reciproca di prima o seconda specie. L equazione è reciproca di prima specie se i parametri sono soluzioni del seguente sistema di equazioni: k = k = h k+ h= h = k k h= h = Sostituendo i valori ai parametri si ricava l equazione corrispondente (riportiamo la forma semplificata della stessa): = L equazione è reciproca di seconda specie se i parametri sono soluzioni del seguente sistema di equazioni:

7 7 k = k = h+ k h= h = k+ k+ h= h = Sostituendo i valori trovati si ricava l equazione reciproca di seconda specie: + = (**) Risoluzione dell equazione (**) Si può scomporre in fattori il polinomio al primo membro come segue: ( ) + ( ) = ( )( + ) + ( ) = ( )( + + ) = applicando la legge di annullamento del prodotto si hanno le equazioni di secondo grado = =± + + = che ammette come radici i numeri complessi coniugati 99i ± ± = = = ± i L insieme delle soluzioni dell equazione è: S = i + i. Geometria Problema_ Parametrizzazione della prova Quesito. Punti Totale punti Per determinare il valore dell angolo 8 Per la determinare la misura del perimetro Per la costruzione corretta della figura 6 Quesito. Per determinare i valori di e le misure delle diagona- li Per la costruzione corretta della figura Problema_ Per le elaborazioni algebrico-geometriche necessarie 7 Per la costruzione corretta della figura 8 Algebra Es_ Risoluzione corretta dell equazione. 9 Risoluzione corretta dell equazione. 9 8 Es_ Risoluzione corretta e completa del quesito. Risoluzione corretta e completa del quesito. 8 Es_ Risoluzione completa dei due quesiti 8 8 Totale Punteggio realizzabile Punteggio riservato all ordine dell elaborato(fino al % del punteggio totalizzato)