Problema 1. SECONDA PROVA DI MATEMATICA E FISICA 20 giugno Svolgimento

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1 giugno 9 Svolgimento Problema A La funzione gx è il prodotto di una funzione polinomiale e una funzione esponenziale, quindi ha come dominio tutto R, è continua e derivabile indefinitamente per ogni valore di x reale e non ammette asintoti verticali Determiniamo l andamento della funzione agli estremi del dominio, calcolando i limiti con il teorema di De l Hospital: ax b lim x ± e x x H lim x ± a x e x x Essendo tale limite finito, l asse x è asintoto orizzontale per la funzione gx, che quindi non può tendere all infinito per nessun valore di x Per determinare i punti di massimo e minimo occorre calcolare la derivata prima della funzione: ] g x ae xx ax b x e xx ax a b x a b e xx Essendo il fattore esponenziale sempre positivo, il segno di g x dipende unicamente dal fattore polinomiale di secondo grado Per stabilire il suo segno, calcoliamo il determinante dell equazione associata: 4 a b a a b 3a ab b a a b Dovendo essere a, osserviamo che il, esprimibile come somma di due quadrati, è una 4 quantità necessariamente positiva L equazione associata ammette quindi due soluzioni reali e distinte, corrispondenti alle ascisse dei punti di massimo e minimo relativi della funzione gx, che sono anche punti di massimo e di minimo assoluti per le considerazioni precedenti Per determinare i valori di a e b richiesti, imponiamo il passaggio delle due funzioni per il punto A; : f g 4a b a b e b 3 4a a 3 4a b a B Le funzioni sono: f x x x, gx x e xx La funzione f x è una parabola che volge la concavità verso l alto e ha vertice in V Interseca l asse x nei punti C 5 ; e D 5 ; e l asse y nel punto B ; ; 5 4 Zanichelli 9

2 giugno 9 Svolgimento Come già osservato al punto precedente, la funzione gx è continua su R e quindi y è asintoto orizzontale per g I punti di intersezione con gli assi sono: x y y x e xx y B; y x E; lim gx, x ± Il segno della funzione gx dipende solo dal segno del fattore polinomiale, quindi è positiva per x > Sfruttando il calcolo della derivata svolto nel punto precedente, risulta: g x x 4x e xx Studiamo il segno di g x, che dipende da quello del fattore polinomiale: x 4x > < x < g'x gx I punti di minimo e di massimo assoluti hanno coordinate: e e m ; M ; Calcoliamo la derivata seconda di gx: g x x 3 6x 3x e xx Osserviamo che g, quindi il polinomio cubico è divisibile per x Applicando Ruffini otteniamo: g x x x 4x e xx Studiamo il segno di g x, che dipende da quello dei fattori polinomiali: x x 4x > 6 < x < x > 6 Zanichelli 9

3 giugno 9 Svolgimento 6 6 x x 4x g''x gx I punti di flesso della funzione g sono: 6 6e F ; e 6 6e F ; F 3 ; e Osserviamo che i punti estremanti m e M della funzione g sono simmetrici rispetto al punto F ;, così come i punti F e F 3 Questo suggerisce che il grafico di gx risulti simmetrico rispetto a F Verifichiamolo con i calcoli Le equazioni della simmetria di centro F ; sono: x x y y e le applichiamo alla funzione y gx: x x y y y x e x x y x e 4x 4x 4x y x e x x che coincide con y gx Per verificare la tangenza nel punto B ;, osserviamo che entrambe le funzioni intersecano l asse y nel punto B come trovato in precedenza Calcoliamo i valori delle derivate delle due funzioni nel punto B f x x f g x x 4x e xx g Pertanto il punto B è di tangenza per f x e gx e l equazione della tangente comune è y x 3 Zanichelli 9

4 giugno 9 Svolgimento y M A y fx y gx O x B m y x Determiniamo l area della regione piana S delimitata dai grafici di f e g calcolando l integrale definito: ] ] gx f x dx x e xx x x dx exx x3 3 x x ] 8 3 ] 4 3 C Per il calcolo della circuitazione Γ B del campo magnetico generato dalle correnti i, i e i 3 lungo il contorno γ di S, utilizziamo il teorema della circuitazione di Ampère: Γ γ B µ dove la sommatoria è estesa alle sole correnti concatenate alla curva γ, cioè quelle che attraversano la superficie S Verifichiamo quali, tra le tre correnti, risultano concatenate a γ Osservando il grafico di f e di g, occorre calcolare le ordinate delle funzioni per x 3 e confrontarle con le ordinate dei punti proposti 4 3 e 3 g,6 3 f 4,5 3 3 Poichè g > e f >, le correnti concatenate a γ sono solo i e i Per stabilire i segni delle correnti, stabiliamo un orientazione per γ e la supponiamo antioraria In questo modo, la corrente i entrante risulta negativa k i k Γ γ B µ, i Se il verso di i è entrante, oppure uscente con A < i <, A, la circuitazione è negativa Se il verso di i è uscente e vale, A, la circuitazione è nulla Se il verso di i è uscente e maggiore di, A, la circuitazione è positiva 4 Zanichelli 9

5 giugno 9 Svolgimento D Facendo ruotare la spira intorno all asse x si genera una forza elettromotrice indotta, il cui valore si può calcolare utilizzando la legge di Faraday-Neumann-Lenz: fem dφ S B dt dove, se assumiamo che a t la spira giaccia nel piano xy: Calcoliamo: Φ S B BS cosωt fem d BS cosωt ] BSω sinωt dt Il suo valore massimo si ottiene se sinωt, per cui fem max BSω Sapendo che i max 5, ma e R, Ω, per la prima legge di Ohm: fem max i max R da cui: fem max, 3 V Tenendo conto che B,5 T e che S 4 3 m, si ha: ω fem max BS, 3 V,5 T 4 3 m,5 rad/s 5 Zanichelli 9