1 La scelta ottimale dei fattori produttivi e la funzione di costo di lungo periodo

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1 1 La scelta ottimale dei fattori produttivi e la funzione di costo di lungo periodo 1.1 La soluzione analitica Il problema dell impresa è quello di scegliere la combinazione migliore degli inputs al fine di produrre il livello desiderato di output. Essendo L e K gli unici fattori disponibili per la produzione, w ed r i prezzi unitari dei due fattori, rispettivamente, e Q il livello desiderato di produzione, il problema dell impresa è il seguente C = wl + rk s.v. F (L, K) =Q, Min L,K

2 L impresa deve scegliere la combinazione dei due inputs che minimizza il costo totale di produzione sotto il vincolo che con la combinazione ottimale dei fattori si deve poter produrre il livello desiderato di output. Graficamente si tratta di trovare quella combinazione deifattorichegiacesuldatoisoquantoq ed ètangente alla retta di isocosto più bassa possibile. Formalmente si tratta di trovare quella combinazione di inputs che risolve il sistema di due equazioni ( PMgL PMg SMST K L,K = w r, F (L, K) =Q La prima equazione stabilisce che la pendenza dell isoquanto debba essere la stessa della pendenza della retta di isocosto (condizione di tangenza). La seconda condizione richiede che la combinazione ottima dei fattori giaccia sull isoquanto di livello Q.

3 Visto che le quantità ottimali dei due fattori scelte dall impresa dipendono dai parametri del problema, la soluzione si denota con L (w, r, Q)econK (w, r, Q). Queste ultime sono chiamate funzioni di domanda condizionata dei fattori L e K, rispettivamente. Sostituendo le funzioni di domanda condizionata dei fattori nell espressione della funzione di costo si ottiene C (Q) =wl (w, r, Q)+rK (w, r, Q) Si tratta della funzione di costo di lungo periodo dell impresa perché indica, per ogni dato livello di output Q, il costo minimo sostenuto dall impresa che sceglie ottimamente la combinazione dei fattori necessaria a produrre Q.

4 1.2 Applicazioni La funzione di produzione Cobb-Douglas La funzione di produzione Cobb-Douglas è del tipo F (L, K) =Q = L α K β dove α, β sono costanti positive. Il SMST degli isoquanti associati a questa funzione di produzione è pari al rapporto tra le produttività marginalideiduefattoriemisura PMg L PMg = αk K βl. Quindi la scelta ottimale del consumatore di trova risolvendo il sistema ( αk βl = w r Q = L α K β, da cui risulta che le funzioni di domanda condizionata deiduefattorisonoparia L (w, r, Q) =Q 1 Ã αr βw! β

5 e K (w, r, Q) =Q 1 µ βw αr α. Sostituendo le funzioni di domanda dei fattori nella funzione di costo si ottiene C (Q) = wq 1 Ã αr βw = Q 1 w α r β! β + rq 1 Ã α β + α β β µ βw αr α α! Denotando con φ = w α r β Ã α + α β β la funzione di costo si semplifica nel modo seguente β C (Q) =φq 1.! α, Quindi,si verificano i seguenti tre casi:

6 1. Se la funzione di produzione mostra rendimenti di scala crescenti, ovvero se α + β > 1, allora la funzione di costo è una curva concava 2. Se la funzione di produzione mostra rendimenti di scala costanti, ovvero se α + β =1, allora la funzione di costo è una retta 3. Se la funzione di produzione mostra rendimenti di scala decrescenti, ovvero se α + β < 1, allora la funzione di costo è una curva convessa.

7 1.2.2 I fattori sostitutivi perfetti I fattori sostitutivi perfetti sono tali che all impresa importa soltanto la quantità totale utilizzata dei due fattori. La funzione di produzione che rappresenta la tecnologia dell impresa è del tipo F (L, K) =Q = αl + βk dove α, β sono costanti positive. Gli isoquanti associati a questa funzione di produzione sono delle linee rette con pendenza (SMST) costante eparia α β. L impresa è sempre disposta a rinunciare ad una quantità pariad α β di fattore K in cambio di una unità addizionale di fattore L e mantenere così invariata la propria produzione.

8 La scelta ottima dell impresa dipende da come il SMST si rapporta alla pendenza delle rette di isocosto. In particolare, la combinazione ottima dei fattori sarà data da (L,K )= ³ Q α, 0 ³ 0, Q β qls sull isoquanto se SMST L,K > w r se SMST L,K < w r se SMST L,K = w r Nel primo caso, si utilizza soltanto il fattore lavoro in misura pari a L = Q α. Allora la funzione di costo totale di lungo periodo sarà C (Q) = w α Q. Nel secondo caso, invece, si utilizza soltanto capitale in misura pari a K = Q β. La funzione di costo èdatadac (Q) = r β Q.

9 Considerando entrambi i casi simultaneamente si può scrivere C (Q) =min ( w α ; r β Si tratta sempre di una retta passante per l origine, per via dei rendimenti di scala costanti mostrati dalla funzione di produzione. ) Q.

10 1.2.3 I fattori complementari perfetti I fattori complementari perfetti sono tali che all impresa importa soltanto utilizzarli in proporzioni fisse. La funzione di produzione che rappresenta questa tecnologia è del tipo F (L, K) =Q =min{αl; βk} dove α, β sono costanti positive. Per produrre una unità di output servono α 1 lavoro e β 1 unità di capitale. unità di In generale, la proporzione desiderata tra i due fattori si trova eguagliando αl = βk e risolvendo poi rispetto ad K, ovvero K = α β L. Per ogni unità del fattore L, l impresa deve utilizzare α β unità delfattorek per mantenere la proporzione desiderata tra i due fattori.

11 Su questo raggio giacciono le cuspidi di tutti gli isoquanti, che hanno forma di L. Visto che, acquistando un fattore in eccedenza ripetto alla proporzione desiderata, la produzione non cambia ma aumentano i costi, la scelta ottima dei fattori troverà sempre nel punto di intersezione tra il raggio di equazione K = α βl e l isoquanto corrispondente al livello desiderato di output. La combinazione ottimale dei fattori sarà tale che αl = βk = Q ovvero L = Q α e K = Q β. Sostituendo nella espressione dei costi si ottiene la seguente funzione di costo di lungo periodo C (Q) =w Q α + rq β = Ã w α + r β Dunque, anche nel caso dei fattori complementari perfettisitrovaunacurvadicostocheè una retta passante per l origine.! Q.