DINAMICA. Forze di massa + Forze di superficie = Forze di inerzia. Forze di massa = ρ fdxdydz. Forze di inerzia = ρ. Adxdydz

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1 DINMIC Equilibrio idrodinamico Legge di Newton: i F i = m Forze agenti: Forze di massa + Forze di superficie = Forze di inerzia Forze di massa = ρ fdxdydz f = ccelerazione del campo, ovvero forza per unità di massa Forze di inerzia = ρ dxdydz = ccelerazione del moto

2 DINMIC Forze di superficie z Consideriamo l elementino infinitesimo e vediamo cosa succede a coppie di facce parallele. Faccia di normale x Φ = τ xy Φ x Φ = xx Φ = τ σ x xy xz xz dx dz dy Φ x + ( x ) Φ x x dx y

3 DINMIC Risultante forze agenti su facce di normale x: e analogamente per le altre coppie di facce, Quindi facendo la somma di tutte le forze si arriva a: ρ = ( f ) dove: Φ Φ Φ + + x y z ( ) ( ) ( ) x y z ( Φ ) ( ) ( ) x Φ y Φ z + + = div( Φ T ) x y z Dove Φ T è il tensore degli sforzi. Φ ( ) x x dxdydz Equazione indefinita del moto o della dinamica dei fluidi ρ = Φ ( f ) div( T )

4 DINMIC Dopo una lunga serie di passaggi, si può riscrivere l eq. indefinita del moto anche in questa forma: ( ) ( ) 1 ρ f = grad P μ V μgrad div( V ) 3 Equazione di Navier-Stokes Se il fluido è perfetto, cioè ha solo sforzi normali (pressione) mentre gli sforzi tangenziali sono nulli, si ottiene: ρ f = grad P ( ) Equazione indefinita della dinamica dei fluidi perfetti o equazione di Eulero

5 DINMIC Se integriamo sull intero volume l eq. indefinita della dinamica dei fluidi perfetti, si ottiene dopo molti passaggi: G +Π+ M + I = dove: G = ρ fdw w Π= P nd 0 Equazione globale dell equilibrio dinamico per i fluidi perfetti I M = ρvv d M [N] (Flusso di) quantità di moto n ( ρv ) = w t dw I [N] attraverso la superficie Inerzie locali

6 Osservazione su M : M DINMIC = ρvv d n M : contributo relativo alla porzione con V entrante V > 0 1 M : contributo relativo alla porzione con V uscente V < 0 M : contributo relativo alla porzione con V tangente V = 0 3 n n n G + Π+ M 1 M + I = 0 Osservazione su I : I ( ρv ) = w t dw Se fluido incomprimibile e moto permanente I = 0

7 PPLICZIONE EQ. GLOBLE Spinta di un getto su una piastra piana Ipotesi : ρ = cost e fluido perfetto V t = 0 moto permanente V 0 Volume di controllo D D -M V 0 E y x B M1 Π+ G + M M + I = 1 0 Π=Π B +Π D +Π DE + Π CF + Π EF + Π Π B = Π D = Π DE = Π CF = Π BC = 0 BC -M Superfici a pressione atmosferica C F V 0

8 S S = Π EF Spinta del volume sulla superficie della piastra diretta secondo x Proiettiamo l eq. globale nel piano orizzontale: G = 0 S + M M = 1 0 M = ρvv d = ρv d = ρv d = ρv = ρv Q 1 n M Q ρv0 = ma contributi uguali e opposti diretti secondo y Quindi: S = M D 1 S = ρv0 π 4

9 TEOREM DI BERNOULLI IPOTESI: b - fluido perfetto - fluido incomprimibile P - moto su una traiettoria Partiamo dall Equazione di Eulero ρ = ( f ) grad( p) Nel campo gravitazionale f = g grad( z) s n S dv ρ ggrad z = dt ( ) grad ( p) dv γgrad z = grad p dt ( ) ρ ( ) grad z p + = γ 1 dv g dt

10 L accelerazione è: TEOREM DI BERNOULLI dv dv V = = s + n dt dt r Proiettando questa equazione vettoriale sui tre assi della terna intrinseca, si ottiene: Lungo s: Lungo n: Lungo b: P 1 dv ( z + ) = (1) s γ g dt P 1 V ( z + ) = () n γ g r P ( z + ) = 0 (3) b γ Osservazioni: - lungo b: distribuzione idrostatica della pressione - lungo n: se traiettoria è quasi rettilinea, cioè r, allora la distribuzione di pressione è idrostatica

11 TEOREM DI BERNOULLI Consideriamo l eq. 1: P 1 dv ( z + ) = (1) s γ g dt pplichiamo la regola di derivazione euleriana alla velocità: V = V ( t; s( t) ) dv V V ds = + dt t s dt dv V V = + V dt t s dv V V = + dt t s e sostituendola nella (1): P 1 V 1 V ( z + ) = s γ g t g s P 1 V V ( z + ) = s γ g t s g

12 TEOREM DI BERNOULLI z + + = s γ g g t P V 1 V Teorema di Bernoulli per il moto vario Se il moto è permanente: P V z + + = s γ g 0 H = p V z + costante γ + g = Teorema di Bernoulli per il moto permanente carico totale altezza geodetica altezza cinetica altezza piezometrica

13 TEOREM DI BERNOULLI H energia totale p V = z+ + = γ g energia potenziale energia di pressione costante energia cinetica Linea dell energia o dei carichi totali V g V B g V C g Linea piezometrica In termini energetici, questi 3 termini sono energia dell unità di peso. Infatti: Epotenziale = Peso=1 mgz = ( mg) z = z Ecinetica = Peso=1 1 1 V 1V mv = ( mg) = g g Epressione = energia legata alla pressione di una particella di peso unitario