E sem pi di E serci zi e Qui z d E sam e

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1 E sem pi i E serci zi e Qui z E sam e Eser cit azion i i Cont r olli Au t om at ici Quiz. Il segnale x(t), antitrasformata i Laplace i X(s) = s(s+a) : è nullo per t=0 [x(0) = 0]; ha erivata nulla per t=0 [ẋ(0) = 0]; tene a zero per t [x( ) = 0]. note: occorre applicare il teorema el valore iniziale a X(s) e alla trasformata ella erivata: L[ẋ(t)] = sx(s) x(0). Successivamente l applicazione el teorema el valore finale consente i affermare che, se esiste, il valore a regime è iverso a zero. 2. Il tempo i assestamento T a i un sistema el secono orine stabile: ipene solo alla pulsazione naturale ω n ; ipene solo al coefficiente i smorzamento δ; ipene solo alla parte reale ei poli; ipene solo alla parte immaginaria ei poli. note: Si ricori che, approssimativamente, T a = 3 δω n 5 3. Il segnale x(t) = 3sin(4t) è l ingresso el sistema G(s) = s 2 (s+). L uscita y(t): tene all infinito; tene al valore i regime el tipo y(t) = Asin(4t + φ) (A e φ erivano a G(j4)); tene a zero; tene a un valore costante non nullo. note: Il sistema G(s) possiee un polo oppio nell origine e quini è instabile (a es. antitrasformano la risposta al graino, si ha un moo el tipo y (t) = Kt e quini ivergente). Pertanto anche la risposta a un segnale sinusoiale è i tipo ivergente. 4. Siano ati ue sistemi inamici el secono orine caratterizzati a ue coppie i valori (δ,ω n ), (δ 2,ω n2 ) rispettivamente: se ω n > ω n2 e δ = δ 2 allora il tempo i assestamento T A > T A2 ; se δ < δ 2 allora il sorpasso percentuale S > S 2. πδ note: Si ricorino le relazioni: S% = 00e δ 2 e T a = 3 δω n 5. La equazione ifferenziale y (3) (t) 3y (2) (t) + 5y () (t) + y(t) = 0u(t) corrispone a un sistema: asintoticamente stabile (tutti i poli a parte reale < 0); instabile (almeno un polo a parte reale > 0). note: Si ricori che conizione necessaria affinché tutte le raici i un polinomio siano a parte reale negativa è che i coefficienti abbiano tutti lo stesso segno. 6. A regime, l uscita y(t) i un sistema G(s) con in ingresso il segnale x(t) = 5cos(3t) è un segnale sinusoiale:

2 sempre; se tutti i poli sono a parte reale negativa; solo se vi sono poli complessi coniugati. note: se un sistema è stabile asintoticamente allora i moi associati ai poli ella funzione i trasferimento si esauriscono opo una transitorio. Successivamente l uscita segue l anamento ell ingresso. 7. In un sistema fisicamente realizzabile (proprio) con tutti i poli e gli zeri a parte reale negativa, lo sfasamento per ω : può essere positivo; può essere negativo; può essere nullo. 8. I poli i una funzione i trasferimento sono efiniti all equazione P(s) = (s+5)(s 2)(s 2 +0). L uscita el sistema per t rimane limitata tene a 0 tene all infinito non si può ire: ipene al segnale i ingresso 9. Il sistema inamico escritto alla funzione i trasferimento strettamente proprio proprio i tipo 2 el 5 o orine s(s 2 +) s 3 (s 2 +2s+3) è: 0. L antitrasformata i Laplace y(t) ella funzione Y (s) = (s+a) 2 è ata a: 2e at e 2at te at. Sul piano s i luoghi ei punti a cui corrispone un coefficiente i smorzamento δ costante sono: rette parallele all asse immaginario; rette parallele all asse reale; rette uscenti all origine. 2. Un sistema el 2 o orine che presenta un coefficiente i smorzamento δ < è caratterizzato a: ue poli complessi coniugati a parte reale negativa ue poli complessi coniugati a parte reale positiva ue poli reali istinti a parte reale negativa ue poli reali istinti a parte reale positiva 3. Il sistema escritto alla funzione i trasferimento G(s) = 3s2 + 2s + s(5s 3 + 2s 2 + ) ha 2 zeri e 3 poli ha 2 zeri e 4 poli ha 4 zeri e 2 poli 4. La Trasformata i Laplace el segnale x(t) = 3t è X(s) = 3 s 2 X(s) = 3 s 2

3 X(s) = 3s 2 5. Il guaagno i anello K el sistema i figura è: K = ABCD K = ABC K = ACD K = AC B u A C y - D 6. La Trasformata i Laplace U(s) = 0 u(t)e ts t i un segnale u(t) è efinita σ > σ 0. Il valore i σ 0 viene etto: ominio i convergenza coorinata i Laplace ascissa i convergenza 7. Dato un segnale g(t) e la sua Trasformata i Laplace G(s) = L[g(t)], allora: lim t 0 g(t) = lim s sg(s) lim t 0 g(t) = lim s 0 sg(s) L[ g(t)t] = s G(s) 8. Il noo sommatore viene spostato a monte ei blocchi A e B come mostrato in figura. Il valore corretto per K è: K = C A+B A C K = C AB K A K = C(A + B) K = C(AB) B B 2 Esercizi. Utilizzano le trasformate e antitrasformate i Laplace, eterminare l anamento y(t) ell uscita el sistema: ÿ(t) + 5ẏ(t) + 6y(t) = 0u(t) a un ingresso a graino unitario che si presenta all istante t = 0. note: Si suppongono conizioni iniziali nulle (se iversamente specificato, occorre tenerle in ebita consierazione). Trasformano termine a termine si ottiene: pertanto, quano u(t) = h(t) si ha U(s) = s e: s 2 Y (s) + 5sY (s) + 6Y (s) = 0U(s) Y (s) = 0 s 2 + 5s + 6 s e la risposta y(t) si ottiene antitrasformano: y(t) = L [Y (s)]. Oppure, ricorano il risultato ella teoria: [ y(t) = K ] δ 2 e δωn sin(ω n δ2 t + arccos(δ) 2. Determinare i valori ei parametri K,δ,ω n in moo che il sistema escritto alla funzione i trasferimento Kω n G(s) = s 2 + 2δω n s + ωn 2 presenti: - un tempo i assestamento T a = 6 sec; - un guaagno statico G(0) = 5; - un sorpasso percentuale S% = 0%.

4 3. Sia ato il sistema i figura. (t) x(t) y(t) G (s) G2 (s) G = (s + 0) s s , G 2 = 00 s + 00 a) Calcolare la funzione i trasferimento tra l ingresso x(t) e l uscita y(t) e tra il isturbo (t) e l uscita y(t). note: si ricori il principio i sovrapposizione egli effetti. b) Determinare l uscita (a regime) y(t) consierano (t) = 0 e x(t) = h(t). c) Consierano G (s) = K, (t) = 2h(t) e x(t) = 0, eterminare il valore i K in moo che l ampiezza ell uscita (a regime) rispetti la conizione y / Determinare il moello matematico (eq.ni ifferenziali) che escrive il sistema meccanico mostrato in figura. note: scriveno le equazioni el moto elle ue masse si ottiene: { M2 ẍ 2 = f K 3 x 2 B 2 (ẋ 2 ẋ ) K 2 (x 2 x ) M ẍ = B 2 (ẋ 2 ẋ ) + K 2 (x 2 x ) K x B ẋ 5. Sia ato il seguente schema a blocchi. G f (s) x G a (s) G b (s) Gc (s) G (s) G e (s) y G a (s) = K, G b (s) = 0 G c (s) = s 5 s G e (s) = s + G (s) = s + s + 0 G f (s) = 5 s + Determinare le funzioni i trasferimento G x s = Y (s)/x(s) e G (s) = Y (s)/d(s) efinite rispettivamente tra l ingresso x(t) e il isturbo (t) e l uscita y(t). x 6. Determinare l espressione analitica e l anamento grafico ell uscita y(t) i un integratore in risposta al segnale x(t) i ingresso i figura t 7. Sia ato il sistema in retroazione i figura.

5 G 5 (s) x - - G (s) G 2 (s) G 4 (s) y G 3 (s) G = K; G 2 = 0 s + 0 G 3 = 2; G 4 = 0 G 5 = 5 Determinare le funzioni i trasferimento G x s = Y (s)/x(s) e G (s) = Y (s)/d(s) efinite rispettivamente tra l ingresso x(t) e il isturbo (t) e l uscita y(t).