Soluzioni. 1. Data la funzione. a) trova il dominio di f

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Abele Franchi
4 anni fa
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1 Soluzon Data la funzon a) trova l domno d f f ( ) + b) ndca qual sono gl ntrvall n cu f() rsulta postva qull n cu rsulta ngatva c) dtrmna l vntual ntrszon con gl ass d) studa l comportamnto dlla funzon agl strm dl suo domno, dtrmnando vntual asntot ) calcola la drvata prma ndca qual sono gl ntrvall n cu la funzon è crscnt qull n cu è dcrscnt, dtrmnando vntual massm o mnm rlatv o flss a tangnt orzzontal f) calcola la drvata sconda ndca qual sono gl ntrvall n cu la funzon rvolg la concavtà vrso l alto qull n cu la concavtà è vrso l basso, dtrmnando vntual flss g) dsgna un grafco approssmatvo n un opportuno sstma d rfrmnto a) S mpon ch l dnomnator sa dvrso da zro, qund ch sa dvrso da - Dunqu l domno è dato dall nsm D R {-} (-,-) (-,+ ) b) Essndo l numrator smpr postvo, la frazon dnomnator + Qund f() > 0 s solo s > - + è postva s solo s lo è l c) Comncamo con l ntrszon con l ass Ess sono dat da punt comun dlla curva y con la curva y 0, qund a punt l cu coordnat soddsfano l sstma + y + y 0 Sosttundo la sconda quazon nlla prma s ottn l quazon 0 +, ch prò non ha alcuna soluzon n quanto non è ma zro pr alcun valor d Prtanto non v sono ntrszon con l ass Quanto all ntrszon con l ass y, s tratta d rsolvr l sstma y + 0

2 0 Sosttundo la sconda quazon nlla prma s ottn ch y D consgunza 0 + v è un punto d ntrszon tra l grafco dlla funzon l ass y, dato dal punto d coordnat (0,) d) Dobbamo calcolar sgunt lmt: lm f( ), lm f ( ), lm f( ), lm f ( ) + + Ossrvamo nnanztutto ch l prmo lmt porta alla forma ndtrmnata lm + + Applcando la rgola d d l Hôptal, s ottn Invc, lm ( ɺ) lm lm ( + ) lm prché l numrator tnd a 0 l dnomnator tnd a - Qund la funzon ammtt un asntoto orzzontal dato dalla rtta y 0 Quanto agl altr du lmt s ha: lm poché l numrator tnd ad un numro fnto ( - ), l dnomnator a 0 sappamo, dal punto b), ch la funzon a dstra d - è postva; noltr lm + poché l numrator tnd ad un numro fnto ( - ), l dnomnator a 0 sappamo, dal punto b), ch la funzon a snstra d - è ngatva Prtanto la rtta d quazon - è un asntoto vrtcal ) La drvata è data da ( f ( ) ) + ) ( + ) + ) ( + ) ( + ) ( + ) D consgunza, quando f ( ) > 0? S not ch trmn ( + ) d sono smpr postv all ntrno dl domno D consgunza 0 ( + ) > s solo s > 0 Qund la funzon rsulta ssr crscnt nll ntrvallo (0,+ ) dcrscnt n (-,-) (-,0) Nl punto d 0 ascssa 0 v è un mnmo rlatvo; la corrspondnt ordnata è f (0) Qund l 0 + mnmo rlatvo è dato dal punto m(-,0)

3 f) La drvata sconda è data da ( ) + ) ( + ) f ( ) ( ) + ( + ) ( ) + ) ( + ) ((+ )( + ) ( + )) ( + ) ( + ) ( + )( ( + ) + ) Consdrato ch, + ( + ) sono smpr postv (all ntrno dl domno dlla funzon) s ha ch f ( ) > 0 s solo s + > 0, coè > - D consgunza l grafco dlla funzon rvolg la sua concavtà vrso l alto nll ntrvallo (-,+ ) vrso l basso nll ntrvallo (-,-) Il punto d ascssa - non è un punto d flsso n quanto - non appartn al domno dlla funzon g)

4 Nlla fgura è rapprsntato l grafco dlla funzon y Calcolar l ara comprsa tra l grafco d tal funzon l ass nll ntrvallo [-,] L ara rchsta è data dall ntgral dfnto A d d Calcolamo dapprma l ntgral ndfnto, utlzzando du volt la formula d ntgrazon pr part: d ( ) + ) d ) d + d ( ) d Qund A 5 [( + ) ] (( + ) (+ + ) )

5 3 Sono stat raccolt sgunt dat su ammalat d nfsma polmonar: numro d ann da fumator dann a polmon Paznt 0 50 Paznt 8 55 Paznt 3 70 Paznt 5 5 Paznt Paznt 7 5 dov dann a polmon s msurano su una scala da 0 a 00 a sconda dl grado d compromsson Esprmr la varabl dann a polmon n funzon dlla varabl numro d ann da fumator, utlzzando la rtta d rgrsson lnar Indchamo con la varabl l l numro d ann n cu s è fumato (la varabl ndpndnt) con y dann a polmon (la varabl dpndnt) Trovamo nnanztutto la mda artmtca d valor dll dll y: y 5 La rtta d rgrsson ha quazon y m + q, dov l coffcnt angolar m è dato da m ( )( y ( ) y ) l ntrctta q s ottn mponndo l passaggo pr l barcntro M (, y ) Passamo a calcolar dapprma gl scart y y, succssvamnt l loro prodotto ( ) : Prtanto s ha ch: y y ( ) ( y y ) ( )

6 ( )( y y ) 73 ( ) D consgunza s ha: L ntrctta è data da q y m 73 m, ,39 Dunqu l quazon dlla rtta d rgrsson è data da: y,5 +,39

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