Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura

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1 Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura II Appello corso di Geometria a.a. /3 Docente F. Flamini NORME SVOLGIMENTO Negli appositi spazi scrivere la MATRICOLA NON SCRIVERE NE NOME NE COGNOME In TIPOLOGIA scrivere Geometria indifferentemente 8, 9 o CFU, Geometria 5 CFU oppure Geometria 5 CFU Geometria = svolgere gli Esercizi,, 4 e 5 in ore e 4 min Geometria = svolgere gli Esercizi, e 3 in ore Geometria = svolgere gli Esercizi 4, 5 e 6 in ore AVVISI IMPORTANTI: GIUSTIFICARE CHIARAMENTE passaggi ed affermazioni. Motivare le strategie di risoluzione. Senza giustificazioni precise, anche formule giuste NON POSSONO essere considerate a punteggio pieno. Consegnare ESCLUSIVAMENTE i seguenti fogli. Non verranno presi fogli di brutta copia ne tantomeno aggiuntivi personali. 3 Una volta iniziato l esame scritto, E SEVERAMENTE VIETATO USCIRE DALL AULA, salvo consegna definitiva dell elaborato o ritiro dalla prova scritta. 4 Non lasciare nessuna parte dell elaborato scritto ne a MATITA per motivi di sicurezza di conformita all originale consegnato ne ad INCHIOSTRO ROSSO utilizzato dal docente per la correzione. MATRICOLA: TIPOLOGIA:

2 SOLUZIONI COMPITO Esercizio. [ punti] Sia V = M, ; R lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine con elementi reali. Si consideri il sottoinsieme { } a b W = V 3a + b + c =. c d i Verificare che W e un sottospazio di V. ii Determinare una base di W. iii Detto U = Sym, ; R il sottospazio di V delle matrici simmetriche, stabilire dimu + W e dimu W. Svolgimento. i Poiche l equazione che definisce W e lineare, W e banalmente chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto per uno scalare. Pertanto W e sottospazio. ii Poiche c = b 3a, dimw = 3 ed una sua base e data dalle matrici 3,, iii Notiamo che ad esempio la prima matrice della base di W non e simmetrica; pertanto essa non puo appartenere ad U. Visto che U ha dimensione 3, con base,,, allora dimu + W > dimu = 3. Poiche U + W V e dimv = 4, necessariamente deve valere U + W = V. Dalla Formula di Grassmann, dimu W = =.. Esercizio. [ punti] Sia dato R 4 spazio vettoriale munito della base canonica e. Consideriamo F EndR 4 tale che, M e F =. i Stabilire se F e diagonalizzabile. ii In caso affermativo, determinare la forma diagonale D di F. iii Determinare il rango dell operatore F e la dimensione di KerF. iv Trovare una matrice invertibile C per cui C M e F C = D. Svolgimento. Poniamo A = M e F. P A T = T T T quindi lo spettro di A e reale. I relativi autospazi sono V A = Lin,,,, V = Lin,,,, V A = Lin,,,,,,,. Pertanto A e diagonalizzabile. La forma diagonale e Diag,,,. La matrice C e la matrice cambimento di base da e alla base di autovettori.

3 3 Esercizio 3. [ punti] Sia R 3 lo spazio vettoriale euclideo, munito del prodotto scalare standard, e della base canonica e. Sia W R 3 il sottospazio definito dalle equazioni parametriche Dopo aver verificato che il vettore v = X = s W : X = s X 3 = t, s, t R. non appartiene a W, determinare il vettore proiezione ortogonale di v su W. Svolgimento. E ovvio che v non giace in W, dato che le sue componenti non soddisfano le equazioni parametriche di W. Una base per W e data dai vettori b =, b =. Facilmente si vede che tali vettori formano una base ortogonale per W. Le proiezioni ortogonali di v su tali vettori sono π b v = Pertanto π W v = π b v + π b v = / /, π b v = / / e proporzionale al vettore normale a W... In effetti v π W v = / / che Esercizio 4. [ punti] Nello spazio euclideo R 3 con riferimento cartesiano standard RCO, x, x, x 3 si considerino i punti di coordinate, rispettivamente, e la retta r, di equazioni cartesiane P =,,, Q =,,, R = 3,,, X + X + X 3 = = X + X X 3 3. i Determinare un equazione cartesiana del piano π contenente r e passante per P. ii Determinare equazioni parametriche della retta s passante per P e perpendicolare al piano π trovato al punto i. iii Determinare l area del triangolo di vertici P, Q e R. iv Trovare equazioni parametriche della retta l, ottenuta riflettendo rispetto al piano π, la retta passante per i punti Q e R. Svolgimento: i Il fascio di piani di asse r e λx + X + X 3 + µx + X X 3 3 =. Imporre il passaggio per P fornisce la condizione µ = λ; pertanto il piano cercato e π : x + 3X 3X = 5.

4 4 ii E la retta per P con vettore direttore il vettore normale di π; pertanto X = + t, X = + 3t, X 3 = 3t, t R iii L area cercata si puo calcolare ad esempio utilizzando P Q P R. Ora Pertanto, quindi P Q =,,, P R =,,. P Q P R =, 4,, P Q P R = 4. In definitiva, l area cercata e 6. iv Basta riflettere Q e R rispetto a π e fare la retta per i due punti riflessi. Esercizio 5. [ punti] Nello spazio cartesiano R 3, con riferimento cartesiano ortonormale standard RCO; x, x, x 3, si consideri la quadrica Σ di equazione cartesiana X 8X X 3 + X X X X 3 6X X 3 + X X =. i Classificare Σ. ii Dedurre la forma canonica affine di Σ, in un opportuno riferimento affine O, z, z, z 3. iii Riconoscere la tipologia della conica C = Σ α, dove α e il piano di equazione cartesiana X = X. iv Dare una motivazione geometrica della presenza su Σ della conica C, deducendo inoltre la mutua posizione del piano α e della superficie Σ nell origine. Svolgimento: i Sviluppando il determinate di à con il metodo di Laplace rispetto ad esempio alla prima riga, otteniamo detã = >. Pertanto, Σ e una quadrica generale ed il segno del determinante della matrice simmetrica completa che e un invariante metrico ed affine di Σ e positivo. Per quanto riguarda la matrice simmetrica A associata alla forma quadratica di Σ, essa ha manifestamente rango 3. Dalla tabella della classificazione, deduciamo che Σ e necessariamente un iperboloide iperbolico o ad una falda. ii La forma canonica affine di Σ, in opportune coordinate, e Z + Z Z 3 =. iii Se intersechiamo Σ con il piano α otteniamo il sistema 5X + 8X X 3 + X 3 = = X X. Ponendo t = X /X 3 e dividendo la prima equazione del precedente sistema per X 3 supposto X 3, essa diventa 5t + 8t + = che ha discriminante positivo. Pertanto, la conica sezione C e un iperbole semplicemente degenere nel piano α costituita da due rette r e s incidenti nell origine e contenute in Σ. iv In effetti dal punto i, Σ e doppiamente rigata, quindi r appartiene alla prima schiera di Σ e s appartiene alla seconda schiera di Σ. Il fatto che la conica C si spezzi

5 5 in queste due rette discende direttamente dal fatto che α e manifestamente il piano tangente a Σ nell origine, visto che l equazione di Σ ha la parte lineare che e X X. Esercizio 6. [ punti] Nel piano cartesiano R, con riferimento cartesiano ortonormale standard RCO; x, x, si consideri la conica C di equazione cartesiana X 4X X + X + X + =. i Classificare C. ii Scrivere la forma canonica metrica P Z, Z = di C, determinando il riferimento cartesiano ortonormale RCO ; z, z in cui C assume tale equazione e l isometria tra i due riferimenti RCO; x, x e RCO ; z, z. iii Scrivere nel riferimento RCO; x, x le coordinate dell eventuale centro di simmetria oppure vertice della conica e le equazioni cartesiane degli assi di simmetria. Svolgimento: i La matrice simmetrica completa associata a C è la matrice à = Otteniamo detã. Pertanto C e una conica generale. La matrice simmetrica associata alla forma quadratica della conica C è la matrice A :=. Poiché deta = 3, allora C un iperbole generale. ii Il polinomio caratteristico di A è. det A T I = T T 3 = T 3T + dove T un indeterminata. Poiche la forma canonica metrica di un iperbole generale e, in opportune coordinate, U a U b = per a, b R +, questo significa che si devono annullare i coefficienti di X X, di X e di X. Utilizzando il Teorema Spettrale degli operatori autoaggiunti, la base ortonormale di R costituita da autovettori di A è ad esempio la base / / f =, f =. / / La matrice cambiamento di base M = M e f è quindi / / M := /. / che è ovviamente ortogonale. La trasformazione di coordinate è quindi x = My, cioè x = /y + /y, x = /y + /y.

6 6 Sostituendo nell equazione di C, e ricordando che le coordinate y, y diagonalizzano A, si trova rapidamente che l equazione della conica C in tali coordinate diventa P Y, Y = 3Y Y Y + Y + =, dato che f era l autovettore relativo all autovalore λ = 3, mentre f è quello relativo a λ =. Consideriamo la traslazione y = z + c z α dove z = e c =, con α e β da determinare opportunamente. Sostituendo z β nella equazione P Y, Y = si ottiene P Z, Z = 3Z Z + Z 6α + Z β + 3α β α + β + =. Annulliamo i coefficienti dei termini lineari, determinando α = 6, β =. Pertanto si ottiene P Z, Z = 3Z Z + 3 =. Poiche il termine noto e positivo, moltiplichiamo il polinomio per, ottenendo 3Z + Z = 3. Pertanto, per trasformare definitivamente a forma canonica metrica la conica, dobbiamo considerare l ulteriore isometria dove H := z = Hw, e la riflessione rispetto alla bisettrice Z = Z. Le formule di isometria finale sono quindi cioè x = MHw + Mc, x = /w + /w + 3, x = /w /w + 3. Nel riferimento RCO, w, w l equazione dell iperbole e W W 3 =. 3 iii Nelle coordinate iniziali, il centro di simmetria dell iperbole e il punto Mc = 3, 3. Le formule di isometria inversa sono w = H t Mx H c. Poiche H = H, si ha allora w = x + x, w = L equazione dell asse non trasverso dell iperbole e 3X + 3X = x + x + 6.

7 7 mentre quello trasverso e X X + =.