1 Esercizi 22. , ossia s : x y = 4. Verifichiamo che il nuovo sistema è equiverso: = 1 ( ) 1 1. ) 2 (1 + 1) = 1 2 = 1 > 0, dunque equiverso.

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1 Esercizi. Nel sistema di riferimento RC = RC(O, i, j ) consideriamo la retta r di equazione x + y = orientata nel verso delle x decrescenti e sia A(3, ) un punto del piano. Determinare un sistema di riferimento RC = RC(O, i, j ) equiverso a RC avente A come nuova origine O e una retta parallela a r come nuovo asse x e scrivere il cambiamento di coordinate di vettore e di punto. ( ) Soluzione. Versore di r: ˆr =. Il nuovo asse x è la retta di equazione x 3 = y+ e cioè x + y = () Il nuovo asse y invece sarà la retta s per A perpendicolare a r, inoltre l orientazione su s dovrà essere ( scelta ) in modo che il versore di s abbia componenti negative: ŝ = x 3 e dunque s : = y+, ossia s : x y = 4. Verifichiamo che il nuovo sistema è equiverso: ( ) = ( ) che ha determinante ( ) ( + ) = = > 0, dunque equiverso. Il cambiamento di coordinate di vettore è quindi vx = v x v y v y = v x v y () e le formule inverse sono vx = v x + v y (3) v y = v x v y

2 Per trovare le coordinate di punto occorre inserire l informazione che la nuova origine è A. Abbiamo quindi x = x y + h y = x y + h con h e h da determinarsi sapendo che la nuova origine ha coordinate (3, ) in RC ma ovviamente deve avere coordinate (O, O) in RC. Ne segue che h = 3 e h = da cui il cambiamento di coordinate di punto: x = x y + 3 y = x y + (4) e le sue inverse sono: x = x + y + k y = x y + k Per ricavare k, k : 0 = 3 + ( ) + k da cui k = 4 e k = e quindi 0 = 3 ( ) + k x = x + y + 4 () y = x y + Osserviamo che l equazione del nuovo asse x ha equazione y = 0 e quindi x y + = 0 che è la forma normale dell equazione x + y =, mentre il nuovo asse y ha equazione x = 0 e quindi x + y + 4 = 0 ossia la forma normale dell equazione x y = 4.. Dati il vettore ( ) 4 v =, il punto B(, 6) e la retta p di equazione 3 x y = 7 nel riferimento RC calcolare, rispettivamente, le loro componenti, coordinate, equazione nel riferimento RC dell esercizio precedente.

3 Soluzione. Usiamo (3) per le componenti del vettore: vx = 4 3 = 0.7 v y = = e quindi v ha componenti ( 7 ) Usiamo () per le coordinate del punto: x = = 3.4 y = 6 + = e le nuove coordinate di A sono ( ) 9, Infine x y = 7 diventa, usando (4) ( x y + 3) ( x y + ) = 7 e semplificando si ottiene 3x y + = 0 3. Scrivere l equazione del luogo dei punti del piano equidistanti da A(0, 0) e C(, ) (asse del segmento). Soluzione. Il punto medio del segmento AC è M(, ). L asse cercato è la retta passante per M e perpendicolare al vettore ( ) AC = cioè x = y ossia x + y =. 4. Scrivere l equazione della circonferenza passante per i punti P (0, 0), Q(, 0), R(, ). Qual è il centro? Quanto vale il raggio? Disegnare. 3

4 Soluzione. La corda P Q ha per asse la retta x = ; la corda P R ha per asse x + y = (v. esercizio precedente). I due assi si intersecano in P 0 (, 0) che è quindi il centro della circonferenza. Il raggio deve essere uguale alla distanza di P 0 da P : r =. L equazione è allora (x ) + y = ossia x + y x = 0.. Scrivere l equazione della retta tangente alla circonferenza di equazione x + y x 6y + 9 = 0 in P ( 8, ). Disegnare. Soluzione. Sappiamo che i coefficienti di x e y sono il doppio, cambiato di segno, delle coordinate del centro. Quindi il centro della circonferenza è P 0 (, 3). La retta tangente è la retta passante per il ( punto P ( 8, ) e perpendicolare al raggio. 8 ) ( 3 ) 3 = 4. La retta tangente è quindi Il vettore raggio P 0 P = Semplificando si ottiene x 8 4 = y 3 3x 4y + 4 = 0 4

5 6. Scrivere l equazione della circonferenza passante per l origine, di raggio r = 7 e avente centro sulla retta x + y = 3. Soluzione. L equazione richiesta è del tipo (x x 0 ) + (y y 0 ) = 7. Per determinare il centro occorre trovare uno, o più punti sulla retta che siano a distanza 7 dall origine. Un generico punto sulla retta ha coordinate (t, 3 t) e la distanza di tale punto dall origine è t + (3 t) = t + 9 6t + t. Dobbiamo avere t 6t + 9 = 7, t 6t 8 = 0, t 3t 4 = 0 da cui t = 4 oppure t =. Si hanno quindi due circonferenze possibili: x + y 8x + y = 0, x + y + x 8y = 0

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