Esercizio 2 Si consideri l esperimento avente come risultati possibili i numeri 1, 2, 3, 4, 5 di probabilità rispettivamente 0.2, 0.4, 0.1, 0.1, 0.2.

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2 Esercizio 2 Si consideri l esperimento avente come risultati possibili i numeri 1, 2, 3, 4, 5 di probabilità rispettivamente 0.2, 0.4, 0.1, 0.1, 0.2. a) Determinare l insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di S, spazio dei risultati possibili. b) Descrivere gli eventi elencati e determinarne la probabilità: A: numero minore o uguale a 3 B: numero dispari C: numero pari a) Tutti i possibili sottoinsiemi di S sono tanti quanti le disposizioni con ripetizione di 2 elementi (1presenza, 0assenza) su 5 posti in numero di Il numero di sottoinsiemi di dimensione m è ottenendo calcolando il numero di combinazioni di n 5 elementi di classe m 5 D m per m 1,..., 5. Se sono note le probabilità degli eventi elementari (non negative e di somma 1) per l assioma 3 della probabilità la probabilità di un qualunque sottoinsieme di S è la somma delle probabilità degli eventi elementari in esso contenuti. {, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, {1,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {2,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {1,2,3,4,5}} b) A (1, 2, 3) P (A) B (1, 3, 5) P (B) C (2, 4) P (C) Esercizio 3 Si consideri un urna contenente tre palline, una Rossa, una Bianca e una Verde. Si estraggono due palline in successione senza reimmissione. Si determini la probabilità che, per la coppia estratta a) la prima pallina estratta sia rossa b) la seconda pallina estratta non sia bianca c) la prima pallina sia rossa o la seconda non sia bianca. a) Lo spazio degli eventi è dato da {RB, RV, BR, BV, V R, V B} Il numero degli eventi possibili è quindi 6. Ciascuno di tali eventi ha probabilità 1/6 in quanto la probabilità di una qualunque pallina è 1/3 alla prima estrazione 2

3 e 1/2 (estrazione senza reimmissione) alla seconda estrazione (1/3 1/2 1/6). Il numero degli eventi favorevoli è due, quindi la probabilità cercata è 2/6. b) Il numero degli eventi favorevoli è 4, la probabilità è 4/6 c) Possiamo procedere come sopra o usare la formula P (A B) P (A) + P (B) P (A B) dove A e B sono gli eventi di cui ai punti 1 e 2. A B è quindi l evento {RV } e P (A B) 1/6. Quindi la probabilità cercata è 2/6 + 4/6 1/6 5/6. Esercizio 4 Siano A e B due eventi di un comune spazio degli eventi S. Si conosce che gli eventi A e B sono indipendenti e incompatibili e che le probabilità dei due eventi sono legate dalla seguente relazione: Determinare la probabilità dei due eventi. P r(a) 2 P r(b). Se due eventi A e B sono incompatibili si ha che: A B P r(a B) 0. (1) Se due eventi A e B sono indipendenti si ha che: Mettendo assieme le condizioni 1 e 2 si ha che P r(a B) P r(a) P r(b). (2) P r(a) P r(b) 0. (3) Quindi le due assunzioni (incompatiblità ed indipendenza) implicano che oppure oppure P r(a) 0 e P r(b) 0 (4) P r(b) 0 e P r(a) 0 (5) P r(a) P r(b) 0. (6) Il problema fornisce come ipotesi supplementare che P r(a) 2P r(b) ed essendo quest ultima compatibile esclusivamente con il caso 6 si può concludere che P r(a) P r(b) 0. Esercizio 5 Dati due eventi A, B, con P (A) 1/2 e P (A B) P (B A) 1/4 calcolare la probabilità degli eventi condizionati Ā B e A B. 3

4 Per risolvere il quesito occorre partire dalla definizione di probabilità dell intersezione di due eventi P (A B) P (A)P (B A) P (B)P (A B), e da questa si determina che P (B) P (A) 1/2. Dalla definizione di probabilità dell evento complementare si ha che P (Ā B) 1 P (A B) 1 1 P (A)P ( B A) P ( B) P (A B) P ( B) P (A)(1 P (B A)) 1 P ( B) P (B A) 1 4. Con calcoli analoghi si ottiene P (A B) 3 4 Esercizio 6 In un certo collegio, il 25% degli studenti è stato bocciato in matematica, il 15% è stato bocciato in chimica, e il 10% è stato bocciato sia in matematica che in chimica. Viene scelto a caso uno studente. a) Se egli stato bocciato in chimica, qual è la probabilità che sia stato bocciato in matematica? b) Se egli è stato bocciato in matematica, qual è la probabilità che sia stato bocciato in chimica? c) Qual è la probabilità che sia stato bocciato in matematica o in chimica? allora: Sia M {studenti bocciati in matematica} e C {studenti bocciati in chimica}, P (M) 0, 25 P (C) 0, 15 P (M C) 0, 10 a) La probabilità che uno studente sia stato bocciato in matematica, se si sa che stato bocciato in chimica, è P (M C) P (M C) P (C) 0, 10 0, b) La probabilità che uno studente sia stato bocciato in chimica, se si sa che stato bocciato in matematica, è P (C M) P (C M) P (M) 0, 10 0, c) La probabilità che sia stato bocciato in matematica o in chimica, è P (M C) P (M) + P (C) P (M C) 0, , 15 0, 10 0, 30 4

5 Esercizio 7 Un collettivo di 200 studenti è stato classificato secondo il voto riportato ad un dato esame e a seconda che l esame in oggetto fosse il primo a essere sostenuto o meno Primo Esame Voto SI N0 voto voto > Si estrae a caso dal collettivo uno studente. Si considerino gli eventi A:{voto 24}, B:{ il primo esame sostenuto}. Calcolare: a) Pr(A), Pr(B), b) Pr(A B), c) Pr(B A). A e B sono indipendenti? Dalla tabella riportante i casi favorevoli Primo Esame Voto SI N0 voto voto > si ottiente la tabella delle frequenze congiunte e marginali Primo Esame Voto SI N0 voto voto > a) Dalle precedenti tabelle si ottiene: b) c) quindi P r(a) , P r(b) P r(a B) 40/ P r(a B) P r(b A) P r(a B) P r(a) o, dalla tabella: 40/55 0.2/ A e B non sono indipendenti poiché P (B A) P (B)

6 Esercizio 8 Una frazione pari al 20% dei messaggi di posta elettronica ricevuti è classificato come spam. Se consideriamo i messaggi di spam, la probabilità che contengano parole di un certo tipo ( lotteria, notificazione, vincitore ) è pari a 0,70, mentre per i messaggi validi tale probabilità risulta pari a 0,05. Sulla base di queste informazioni, calcolare la probabilità che un messaggio che contiene le parole di cui sopra costituisca uno spam. Indicando con B l evento {Il messaggio classificato come spam} e con A l evento {Il messaggio contiene parole di un certo tipo} dal testo abbiamo che: P (B) 0, 20 P (A B) 0, 70 P (A B) 0, 05 e ci viene richiesto di determinare la seguente probabilità: P (B A). Applicando il Teorema di Bayes otteniamo che: P (B A) P (A B)P (B) P (A B)P (B)+P (A B)P (B) 0,7 0,2 0,7 0,2+0,05 0,8 P (A B)P (B) P (A B)P (B)+P (A B)(1 P (B)) 0, 78 Esercizio 9 Siano A e B due eventi dello spazio campionario tali che P (A) 0, 7 e P (A B) 0, 8. Si determini P (B) nei seguenti casi: a) A e B sono incompatibili; b) A e B sono indipendenti; c) P (A B) 0, 6. Dal testo abbiamo che: P (A) 0, 7 P (A B) 0, 8 a) Se A e B sono incompatibili si ha che: P (A B) 0 e poiché: otteniamo che: P (A B) P (A) + P (B) P (A B) 0, 8 0, 7 + P (B) 0 P (B) 0, 1 b) Se A e B sono indipendenti si ha che: P (A B) P (B A) P (A) P (B) da cui P (A B) P (A) P (B) 6

7 e poiché: otteniamo che: P (A B) P (A) + P (B) P (A B) P (A B) P (A) + P (B) P (A) P (B) P (A) + (1 P (A)) P (B) quindi: 0, 8 0, 7 + (1 0, 7)P (B) P (B) 0, 33 c) Poiché P (A B) P (A) + P (B) P (A B) P (A) + P (B) P (A B)P (B) se P (A B) 0, 6 otteniamo che: P (A) + (1 P (A B))P (B) 0, 8 0, 7 + (1 0, 6)P (B) P (B) 0, 25 Esercizio 10 Da un urna contenente 5 palline bianche e 6 nere si effettuano due estrazioni con reinserimento. Si calcoli a) la probabilità che le due palline estratte siano del medesimo colore b) la probabilità che almeno una delle due sia nera. Indicando con A {le due palline estratte sono del medesimo colore} e con B {almeno una delle due palline nera} abbiamo che: A {le due palline estratte sono bianche} {le due palline estratte sono nere} B {una delle palline estratte nera} {le due palline estratte sono nere} Sfruttando l indipendenza delle estrazioni (estrazioni con reinserimento) e l incompatibilità tra eventi risulta: a) b) P (A) , 504 P (B) , 79 Esercizio 11 Un azienda produttrice di mattoni sta effettuando dei controlli su ogni pezzo prodotto. E noto che il 20% dei mattoni presenta un difetto (evento D). Si sa inoltre che: se il mattone non è difettoso, supera il controllo (evento C) con probabilità 0,9 ; se il mattone è difettoso, la probabilità che non superi il controllo è 0,7. Sapendo che il mattone ha superato il controllo, qual è la probabilità che NON sia difettoso? 7

8 Indicando con D l evento {il mattone presenta un difetto} e con C l evento {il mattone supera il controllo}, dal testo abbiamo che: P (D) 0, 20 P (C D) 0, 9 P (C D) 0, 7 e ci viene richiesto di determinare la seguente probabilità: P (D C). Applicando il Teorema di Bayes otteniamo che: P (D C) P (C D)P (D) P (C D)P (D)+P (C D)P (D) 0,9 (1 0,2) 0,9 (1 0,2))+(1 0,7)) 0,2 P (C D)(1 P (D)) P (C D)(1 P (D))+(1 P (C D))P (D) 0, 92 Esercizio 12 Da un urna contenente 10 palline, di cui 6 bianche e 4 nere, si estraggono due palline. Determinare la probabilità dei seguenti eventi nel caso di estrazioni a) con reimmissione e b) senza reimmissione: E1: le due palline sono bianche E2: una pallina è bianca e l altra è nera E3: almeno una pallina è bianca a) Si definiscono gli eventi: B1: estrazione di pallina bianca alla prima estrazione B2: estrazione di pallina bianca alla seconda estrazione N1: estrazione di pallina nera alla prima estrazione N2: estrazione di pallina nera alla seconda estrazione Nei termini degli eventi definiti risulta: E1 B1 B2 p(e1) p(b1 B2) p(b1)p(b2/b1) (probabilità condizionata) p(b1)p(b2) (indipendenza) 6/10 6/10 36/100 E2 (B1 N2) (N1 B2) p(e2) p[(b1 N2) (N1 B2)] p(b1 N2) + p(n1 B2) (eventi incompatibili) p(b1)p(n 2/B1) + p(n 1)p(B2/N 1) (probabilità condizionata) p(b1)p(n 2) + 8

9 p(n1)p(b2) (indipendenza) 6/10 4/10 + 4/10 6/10 48/100 E3 (B1 N2) (N1 B2) (B1 B2) p(e3) p[(b1 N 2) (N 1 B2) (B1 B2)] p(b1 N 2)+p(N 1 B2)+p(B1 B2) (eventi incompatibili) p(b1)p(n 2/B1) + p(n 1)p(B2/N 1) + p(b1)p(b2/b1) (probabilità condizionata) p(b1)p(n 2) + p(n 1)p(B2) + p(b1)p(b2) (indipendenza) 6/10 4/10 + 4/10 6/10 + 6/10 6/10 84/100 b) Nei termini degli eventi definiti risulta: E1 B1 B2 p(e1) p(b1 B2) p(b1)p(b2/b1) (probabilità condizionata) 6/10 5/9 30/90 E2 (B1 N2) (N1 B2) p(e2) p[(b1 N2) (N1 B2)] p(b1 N2) + p(n1 B2) (eventi incompatibili) p(b1)p(n 2/B1)+p(N 1)p(B2/N 1) (probabilità condizionata) 6/10 4/9+4/10 6/9 48/90 E3 (B1 N2) (N1 B2) (B1 B2) p(e3) p[(b1 N 2) (N 1 B2) (B1 B2)] p(b1 N 2)+p(N 1 B2)+p(B1 B2) (eventi incompatibili) p(b1)p(n 2/B1) + p(n 1)p(B2/N 1) + p(b1)p(b2/b1) (probabilità condizionata) 6/10 4/9 + 4/10 6/9 + 6/10 5/9 78/90 Esercizio 13 Si consideri la prova consistente nel lancio di un dado non truccato due volte. Calcolare la probabilità degli eventi così definiti: A: si verifica 6 con il primo dado B: la somma dei punteggi è 7 C: la somma dei punteggi è 8 Verificare la relazione di dipendenza/indipendenza stocastica tra B e A e tra C e A Spazio dei risultati possibili S:

10 A { } B { } C { } A B {61} A e B indipendenti: p(a/b) p(a B)/p(B) 1/36/6/36 1/6 p(a) A C {62} A e C dipendenti: p(a/c) p(a C)/p(C) 1/36/5/36 1/5 diverso da p(a) 1/6 Esercizio 14 In un ufficio le pratiche relative ad una certa procedura amministrativa vengono affidate casualmente a 3 impiegati, indicati con A, B, C. La probabilità che la pratica venga completata entro una settimana è pari a 0.4 per l impiegato A, 0.8 per l impiegato B e 0.3 per l impiegato C. Avendo ricevuto una pratica espletata entro una settimana, qual è più probabilmente l impiegato al quale era stata affidata? si considerino i seguenti eventi: S : {La pratica è completata entro una settimana} A : {La pratica è affidata all impiegato A} B : {La pratica è affidata all impiegato B} C : {La pratica è affidata all impiegato C } Dai dati del problema si ha che P (A) P (B) P (C) 1 3 in quanto la pratica viene affidata casualmente ad uno dei tre impiegati, inoltre P (S A) 0.4 P (S B) 0.8 P (S C) 0.3 Per rispondere al quesito è necessario stabilire quale è la maggiore tra le seguenti probabilità: P (A S) P (B S) P (C S) Applicando il Teorema di Bayes si ha che P (A S) P (A S) P (S) P (S A) P (A) P (S A) P (A) + P (S B)P (B) + P (S C)P (C) 10

11 Il denominatore della precedente è P (S) P (S A) P (A) + P (S A) P (A) + P (S B)P (B) + P (S C)P (C) Quindi P (A S) ed analogamente P (B S) P (S A) P (A) P (S A) P (A) + P (S B)P (B) + P (S C)P (C) P (S B) P (B) P (S A) P (A) + P (S B)P (B) + P (S C)P (C) P (C S) P (S C) P (C) P (S A) P (A) + P (S B)P (B) + P (S C)P (C) Si può quindi concludere che l impiegato B è quello che, con maggiore probabilità ha espletato la pratica consegnata. Esercizio (Scozzafava) 15 (Paradosso di de Meré) Verificare se sia più probabile ottenere almeno una volta la faccia 6 lanciando 4 volte un dado oppure ottenere almeno una volta due facce 6 lanciando 24 volte due dadi (4 eventi di probabilità 1/6 e 24 eventi di probabilità 1/36). La probabilità di avere almeno una volta 6 si calcola come complemento della probabilità di non avere 6 nessuna volta: P (almeno una volta 6) 1 P (nessuna volta 6) 1 ( 5 6 ) La probabilità di avere almeno due volte 6 si calcola come complemento della probabilità di non avere due volte 6 nessuna volta: P (almeno una volta due 6) 1 P (nessuna volta due 6) 1 ( )