Temi di meccanica. Prova scritta del 3/04/1996 A) Un tronco di legno di massa m = 1 Kg e densità ρ t = Kg/m

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1 Temi di meccanica Prova scritta del 12/04/1995 Il blocco m 1 ha una massa di 3 Kg e il coefficiente di attrito statico tra il blocco ed il piano è 0.2, mentre quello di attrito dinamico è 0.1. a) Calcolare il massimo valore che può avere la massa m 2 affinché il sistema sia in equilibrio. m 2 Supponendo invece di prendere anche m 2 = 3 Kg, determinare: b) l'accelerazione del sistema; c) il tempo impiegato dal blocco m 2 ad "atterrare", se viene lasciato libero di muoversi, con velocità iniziale nulla, da un'altezza h = 20 m. Soluzione: m 2 = 0.6 Kg; a = 4.4 m/s 2 ; t = 3.0 s Prova scritta del 5/07/1995 Un corpo di massa m = 300 g è lasciato cadere, con velocità iniziale nulla, da un'altezza h = 80 metri. Calcolare: a) il rapporto fra la sua energia potenziale e la sua energia cinetica quando ha percorso 25 metri; b) il tempo impiegato dal corpo ad arrivare al suolo. c) Supponendo che la caduta del corpo alla fine del tratto h sia fermata da una molla di costante elastica K = 10 5 N/m determinare: d) la massima compressione della molla. Soluzione: 2.20; t = 4.04 s; x = 7 cm Prova scritta del 3/04/1996 A) Un tronco di legno di massa m = 1 Kg e densità ρ t = Kg/m 3 è completamente immerso in acqua dolce, ancorato al fondo mediante una molla di costante elastica K = 250 N/m e volume e massa trascurabili. a) Calcolare la spinta di Archimede che agisce sul tronco. b) In questa situazione la molla è compressa o allungata? Motivare la risposta e calcolare lo spostamento dalla posizione di riposo. Successivamente la molla viene eliminata e il tronco è lasciato libero di muoversi: c) calcolare l'accelerazione (modulo, direzione e verso) che agisce sul tronco. Soluzione: F = N; allungata di 1 cm; a = 2.45 m/s 2 verso l alto B) Una sfera di metallo di massa m = 1 Kg e densità ρ S = Kg/m 3 è completamente immersa in acqua dolce, ancorata al fondo mediante una molla di costante elastica K = 250 N/m e volume e massa trascurabili. a) Calcolare la spinta di Archimede che agisce sulla sfera. h m 1 M1

2 b) In questa situazione la molla è compressa o allungata? Motivare la risposta e calcolare lo spostamento dalla posizione di riposo. Successivamente la molla viene eliminata e la sfera è lasciata libera di muoversi: c) calcolare l'accelerazione (modulo, direzione e verso) che agisce sulla sfera. Soluzione: F = 1.25 N; compressa di 3.4 cm; a = 8.5 m/s 2 verso il basso Prova scritta del 4/07/1996 Un cane di massa 15 Kg si trova fermo su una slitta di M=30 Kg che si sta muovendo su ghiaccio, con una velocità di 3 m/s verso destra. Ad un certo istante il cane salta via dalla slitta verso sinistra, con una velocità orizzontale rispetto alla slitta di 5 m/s. Determinare: a) la velocità acquistata dalla slitta; b) il massimo tratto orizzontale percorso dalla slitta prima di fermarsi (si assuma il coefficiente di attrito dinamico fra ghiaccio e slitta pari a 0.1); c) l'energia cinetica iniziale e finale del sistema slitta + cane. Soluzione: v = 5.5 m/s; d = 15.4 m; K i = J, K f = J Prova scritta del 19/9/1996 Un corpo di massa m = 0.5 kg si sta muovendo lungo una circonferenza di raggio 0.5 m con una velocità tangenziale di 3 m/s. Determinare: a) la velocità angolare del corpo; b) il tempo impiegato a fare un giro completo; c) la forza centripeta che agisce sul corpo; d) l'energia cinetica del corpo. Soluzione: w = 6 rad/s; T = 1.05 s; F c = 9 N; K = 2.25 J Prova scritta parziale del 27/11/1996 1A) Dalla sommità di un edificio di altezza h = 20 m, una palla di massa m = 100 g viene lanciata verso l'alto con una velocità v 0 = 20 m/sec e un'inclinazione θ = 30 con l'orizzontale. Determinare: a) per quanto tempo la palla rimane in volo; b) la velocità v 1 della palla (modulo, direzione e verso) proprio all'istante prima di toccare il suolo; c) il modulo v 2 della velocità dopo l'urto con il suolo, supponendo che l'urto sia anelastico e che la palla perda una quantità di energia pari a E = 30 J. Soluzione: t = 3.28 s; v 1 = 28.1 m/s, θ 1 = -52 ; v 2 = 13.8 m/s M2

3 2A) In un recipiente contenente acqua, una sferetta di raggio R = 3 cm e densità ρ = 0.7 g/cm 3 è trattenuta da una fune, ancorata al fondo del recipiente, a una profondità d = 50 cm sotto il livello dell'acqua. a) Calcolare la tensione della fune. Ad un certo istante la fune viene tagliata e la sferetta, non più trattenuta, risale in superficie. Trascurando ogni forma di attrito e di resistenza al moto, determinare: b) la velocità con cui la sferetta raggiunge la superficie; c) l'altezza massima raggiunta dalla sferetta sopra il livello dell'acqua. Soluzione: T = 0.33 N; v = 2.05 m/s; h = 21.4 cm 3A) Dare la definizione del "periodo" in un moto circolare. Calcolare la velocità angolare della terra durante la sua rotazione giornaliera 4A) Principi della dinamica. 5A) Definire il numero di Reynolds per un fluido viscoso che scorre in un condotto cilindrico. Spiegare perché in un vaso sanguigno si potrebbe avere una transizione da moto laminare a moto turbolento in conseguenza di un aumento della temperatura corporea (si ricordi che η varia inversamente con la temperatura). 2B) Due punti di un tubo orizzontale che trasporta acqua hanno diverse sezioni, con raggio di 1.2 cm e 0.5 cm, mentre la differenza di pressione tra di loro è pari a un dislivello di h = 5 cm d'acqua. Calcolare: a) le velocità dell'acqua v 1 e v 2 b) la portata di acqua attraverso il tubo. Soluzione: v 1 = 0.19 m/s, v 2 = 1.1 m/s; Q = 85.5 cm 3 /s v 1 h v S 2 1 S p 2 1 p 2 3B) Dare la definizione del "periodo" in un moto circolare. Calcolare la velocità angolare della terra durante la sua rotazione intorno al Sole. Soluzione: ω = rad/s 4B) Forza centripeta. Discutere qualche esempio. 5B) Enunciare la legge di Poiseuille. Spiegare perché una diminuzione della temperatura può provocare un congelamento degli arti (si ricordi che η varia inversamente con la temperatura). M3

4 1C) Un cannone di massa M = 1300 Kg, poggiato su di un piano orizzontale con attrito (si assuma il coeff. di attrito statico uguale al coeff. di attrito dinamico = 0.24) spara un proiettile di massa m = 11 Kg con una velocità di 207 m/sec, in una direzione formante un angolo θ = 30 con l'orizzontale. Dopo lo sparo il cannone rincula e sotto l'azione della forza di attrito col piano si ferma dopo aver percorso un certo tratto. Determinare: a) la velocità di rinculo del cannone; b) lo spazio percorso dal cannone prima di fermarsi; c) la velocità del proiettile nel punto più alto della traiettoria. Soluzione: v c = 1.5 m/s; s = 0.49 m; v p = m/s 2C) Un cilindro di sezione S = 100 cm 2, nel quale è stato fatto il vuoto, è chiuso da un pistone libero di muoversi. Una molla, di costante elastica k= N/m e lunghezza a riposo l 0 = 30 cm è inserita tra il pistone e il fondo del cilindro (v. figura). Tale sistema è immerso in acqua e si osserva che rimane in equilibrio a una profondità h = 20 m. Determinare: a) la pressione idrostatica sul pistone; b) di quanto viene compressa la molla; c) la massa di tutto il sistema. Soluzione: P = Pa; x = 10 cm; m = 2 Kg h 3C) Dare la definizione del "periodo" in un moto circolare. Calcolare la velocità angolare della lancetta delle ore dell'orologio analogico. Soluzione: ω = rad/s 4C) Conservazione della quantità di moto. 5C) Definire il numero di Reynolds per un fluido viscoso che scorre in un condotto cilindrico. Spiegare perché in un vaso sanguigno si potrebbe avere una transizione da moto laminare a moto turbolento in conseguenza di una riduzione della sezione del vaso. 1D) Un pallone di massa m = 1 Kg viene calciato da un giocatore imprimendogli una velocità iniziale di 10 m/sec in una direzione che forma un angolo θ = 30 con l'orizzontale. Il pallone, quando arriva a terra al termine della traiettoria parabolica, comprime una molla di costante elastica k = N/m. Sapendo che il piede del giocatore è rimasto in contatto con la palla per 10 msec, determinare: a) la forza media esercitata dal giocatore sulla palla; b) di quanto viene compressa la molla; c) l'altezza massima raggiunta dal pallone. Soluzione: F = 10 3 N; x = 5 cm; h = 1.28 m M4

5 2D) In un tubo orizzontale si ha una strozzatura passando da un tratto a sezione S 1 = 36 cm 2 a S 2 = 9 cm2. Un manometro a U, contenente mercurio (ρ Hg = g/cm 3 ) è collegato come in figura. Si osserva che in 5 sec fluiscono nel tubo 27 litri di acqua e che nel manometro si stabilisce una differenza di altezza fra il mercurio contenuto nel braccio destro e quello contenuto nel sinistro. Calcolare: a) la portata volumetrica lungo il tubo; b) le velocità dell'acqua v 1 e v 2 c) la differenza di livello h. Soluzione: cm 3 /s; v 1 = 1.5 m/s, v 2 = 6 m/s; h = 13.7 cm 3D) Dare la definizione del "periodo" in un moto circolare. Calcolare la velocità angolare della lancetta dei minuti di un orologio analogico. Soluzione: ω = rad/s 4D) Urto elastico. 5D) Enunciare la legge di Poiseuille. Spiegare come varia la pressione lungo un condotto in cui scorre un liquido viscoso. 1E) Una ranocchia, inizialmente ferma su una foglia di ninfea, decide di saltare sul bordo dello stagno distante 2 m. La massa della rana è m 1 = 30 gr e quella della foglia è m 2 = 300 gr. Mentre l acqua dello stagno non esercita nessun attrito sulla foglia, il terreno bagnato del bordo dello stagno esercita sulla rana, che scivola dopo il salto, un attrito dinamico con coeff. µ = 0.2. Se la rana salta con una velocità di 5 m/sec, in una direzione formante un angolo θ = 45 con l acqua si chiede di calcolare: a) a quale distanza dal bordo dello stagno atterra la rana; b) con che velocità v f la foglia si allontana da terra dopo il salto; c) per quale lunghezza x la rana scivola sul terreno prima di fermarsi. Soluzione: d = 0.55 m; v f = 0.35 m/s; x = 3.12 m 2E) In un tubo orizzontale di diametro d 1 = 2 cm scorre anidride carbonica (ρ = 7.5 Kg/m 3 ) alla pressione p 1 = 44 N/m 2. Si osserva che in mezz'ora per la sezione trasversale del tubo passano 0.51 Kg di gas. Calcolare: a) la portata volumetrica lungo il tubo; b) la velocità dell'anidride carbonica nel tubo. Se il condotto scende con un dislivello di 10 m, mantenendo costante la sezione: c) determinare la pressione alla nuova quota. Soluzione: m 3 /s; v = 0.12 m/s; P = 779 Pa 3E) Dare la definizione del "periodo" in un moto circolare. Calcolare la velocità angolare della lancetta dei secondi di un orologio analogico. Soluzione: ω = 0.1 rad/s M5

6 4E) Urto completamente anelastico. 5E) Definire il numero di Reynolds per un fluido viscoso che scorre in un condotto cilindrico. Spiegare perché in un vaso sanguigno si potrebbe avere una transizione da moto laminare a moto turbolento in conseguenza di un aumento della velocità di scorrimento del sangue nel vaso. 1F) Un blocco di massa m = 80 Kg viene lasciato cadere verticalmente da una piattaforma alta h= 70 m legato ad un elastico lungo l = 40 m. Si chiede di calcolare: a) la velocità v del blocco immediatamente prima che l'elastico cominci a tendersi (nella posizione illustrata in figura); b) quale deve essere il valore della costante k dell'elastico (supponendo valida la legge di Hooke) affinché il blocco si fermi proprio un istante prima di toccare terra; c) le forze che agiscono sul blocco nel punto più basso, cioè quando l'elastico ha la massima estensione. Soluzione: v = 28 m/s; k = 122 N/m; F = N verso l alto 2F) In un'arteria di sezione S 1 = 1.8 cm 2 il sangue scorre con una velocità v 1 = 0.4 m/s e ha una pressione p 1 = 90 Torr. Ad un certo punto l'arteria presenta una strozzatura passando ad una sezione S 2 = 0.6 cm 2 e sale con una differenza di quota h 2 - h 1= 10 cm. Assumendo il moto stazionario e il sangue come un fluido ideale di densità pari a 1.05 gr/cm 3. Determinare: a) la portata volumetrica lungo l'arteria; b) la velocità nella strozzatura; c) la pressione nella strozzatura. Soluzione: m 3 /s; v = 1.2 m/s; P = 77.2 Torr 3F) Dare la definizione del "periodo" in un moto circolare. Calcolare la velocità angolare di un satellite artificiale che gira intorno alla Terra seguendo un'orbita circolare con un periodo di rivoluzione di 88 min. Soluzione: ω = rad/s 4F) Forze di attrito. 5F) Enunciare la legge di Poiseuille. Spiegare perché una diminuzione della temperatura può provocare un congelamento degli arti (si ricordi che η varia inversamente con la temperatura). M6

7 Prova scritta del 12/2/1997 A) Una pallina di massa m = 20 g scorre con forza di attrito costante pari a 0.1 N, lungo una guida verticale ABC, con AB = 4 m e BC = 3 m. Se la pallina parte dal punto A con velocità nulla, A calcolare: a) la velocità della pallina nel punto C; b) la perdita di energia potenziale gravitazionale. 60 B Soluzione: v c = 5.2 m/s; U = 1 J Abis) Il teorema di Bernoulli. B) Una forza variabile F = -bx con b = 1 N/m diretta lungo l'asse x, viene applicata ad un punto materiale di massa m = 10 g in moto lungo l'asse x. Si osserva che il punto si ferma dopo aver percorso un tratto d = 10 m. Calcolare: a) l'accelerazione a x = 5 m; b) il lavoro fatto dalla forza dall'istante in cui è applicata a quando il punto si ferma. Soluzione: a = m/s 2 ; L = -50 J 30 C Bbis) Il principio di Archimede. C) Uno sciatore scende a velocità costante lungo un pendio innevato con inclinazione costante di 5. Determinare: a) il coefficiente di attrito dinamico tra gli sci e la neve; b) la velocità dello sciatore sapendo che giunto sul piano percorre ancora 30 m. Soluzione: µ = 0.087; v = 7.2 m/s Cbis) Fluidi viscosi e legge di Poiseuille. Prova scritta del 27/3/1997 A) Due blocchi di massa m = 1 Kg, collegati da una fune, come mostrato in figura, sono in equilibrio su un piano inclinato di θ = 30, sotto l'azione di una forza traente F parallela al piano inclinato. Tra il blocco e il piano esiste attrito, coeff. di attrito statico µ S = 0.3. Calcolare: a) il valore della tensione T della fune; b) il valore massimo della forza F affinché il sistema sia in equilibrio. Ad un certo istante la fune che collega i due blocchi si rompe. Determinare: c) con che velocità arriva al suolo il blocco di destra, se si trova ad un'altezza h = 2 m. Soluzione: T = 9.8 N; F = 7.4 N; v = 6.3 m/s M7

8 RECUPERO: Abis) Dimostrare il teorema delle forze vive (teorema lavoro energia cinetica). B) Due blocchi di massa m = 3 Kg, collegati da una fune, sono in equilibrio su un piano inclinato di θ = 30, sotto l'azione di una forza F parallela al piano inclinato, come mostrato in figura. Tra il blocco e il piano esiste attrito con coeff. di attrito statico µ S = 0.3 e dinamico µ d = 0.2. Calcolare: a) il valore della tensione T della fune; b) il valore massimo della forza F affinché il sistema sia in equilibrio. Ad un certo istante la fune che collega i due blocchi si rompe. Determinare: c) l'accelerazione del blocco che si trova sul piano inclinato. Soluzione: T = 29.4 N; F = 22.3 N; a = 10.6 m/s 2 RECUPERO: Bbis) forze conservative. C) Due blocchi di massa m = 10 Kg sono collegati da una fune come mostrato in figura (angolo di inclinazione del piano θ = 30 ). Si osserva che il sistema inizia a muoversi quando la forza traente parallela al piano inclinato supera il valore F = 74 N. In condizioni di equilibrio, calcolare: a) il valore della tensione T della fune; b) il valore del coeff. di attrito statico µ S tra il blocco e il piano. Ad un certo istante la fune che collega i due blocchi si rompe. Determinare: c) il tempo impiegato dal blocco di destra per arrivare al suolo, se si trova ad un'altezza h = 2 m. Soluzione: T = 98 N; µ s = 0.29; t = 0.64 s RECUPERO: Cbis) Il principio di Archimede. Prova scritta del 4/6/1997 A) Un blocco di massa M 1 = 2 Kg è inizialmente appoggiato ad una molla di costante elastica k = 200 N/m compressa di x = 30 cm dalla posizione di riposo. La molla viene liberata ed il blocco scivola su un piano orizzontale senza attrito. Successivamente urta in maniera completamente anelastica un secondo blocco di massa M 2 = 1 Kg, fermo sul piano. I due blocchi insieme salgono quindi lungo un piano inclinato che forma un angolo θ= 30 con l orizzontale scivolando senza attrito. Si calcoli: M8

9 a) la velocità v 1 del primo blocco al momento in cui si stacca dalla molla; b) la velocità v 2 dei due blocchi uniti immediatamente dopo l urto; c) la distanza L che i due blocchi uniti percorrono lungo il piano inclinato prima di fermarsi. Soluzione: v 1 = 3 m/s; v 2 = 2 m/s; L = 41 cm DOMANDA DI TEORIA: Teorema di Bernoulli B) Un blocco di massa M 1 = 2 Kg, partendo da fermo, scivola lungo un piano inclinato senza attrito che forma un angolo θ = 30 con l orizzontale, percorrendo un tratto di lunghezza L = 1 m. In fondo al piano inclinato urta in maniera completamente anelastica un secondo blocco di massa M 2 = 1 Kg. I due blocchi uniti insieme scivolano su un piano orizzontale senza attrito fino ad urtare una molla di costante elastica k = 200 N/m inizialmente in condizione di riposo. Si calcoli: a) la velocità v 1 del primo blocco al momento in cui urta il secondo; b) la velocità v 2 dei due blocchi uniti immediatamente dopo l urto; c) la lunghezza x di cui viene compressa la molla rispetto alla posizione di riposo al momento che i due blocchi si fermano. Soluzione: v 1 = 3.1 m/s; v 2 = 2.1 m/s; x = 26 cm C) Un blocco di massa M 1 = 2 Kg è inizialmente appoggiato ad una molla di costante elastica k = 200 N/m compressa di x = 40 cm dalla posizione di riposo. La molla viene liberata ed il blocco sale su un piano inclinato senza attrito lungo l = 0.5 m che forma un angolo θ = 30 con l orizzontale. Dopo avere percorso tutto il piano urta in maniera completamente anelastica un secondo blocco di massa M 2 = 1 Kg inizialmente fermo sul piano orizzontale. Si calcoli: M9

10 a) la velocità v 1 del primo blocco al momento in cui si stacca dalla molla; b) la velocità v 2 del primo blocco al momento in cui urta il secondo; c) la velocità v 3 dei due blocchi uniti immediatamente dopo l urto; Soluzione: v 1 = 4 m/s; v 2 = 3.3 m/s; v 3 = 2.2 m/s Prova scritta del 19/9/1997 1) Un secchio di massa M 1 = 1 Kg, attaccato a una fune di massa trascurabile, che non esercita alcun attrito, viene utilizzato da un contadino per sollevare una quantità d acqua pari a M 2 = 9 Kg da un pozzo profondo h = 20 m. a) Se il secchio vuoto viene lasciato cadere liberamente con che velocità v arriva in fondo al pozzo? b) Se il secchio pieno d acqua viene portato alla superficie con accelerazione costante a = 0.2 m/s 2, qual è la tensione T della fune? c) Se il secchio pieno d acqua viene portato alla superficie in un tempo t = 5 min. a velocità costante, quale potenza W ha dovuto sviluppare il contadino? Soluzione: v = 19.8 m/s; T = 100 N; W = 6.5 W Prova scritta parziale del 28/11/1997 1A) Una guida circolare di raggio R=0.5 m è posta verticalmente su un tavolo. Un corpo puntiforme percorre la circonferenza con una velocità angolare costante di 6 rad/sec Calcolare: a) il tempo impiegato a fare un giro completo. Ad un certo istante, quando il corpo si trova nella posizione indicata in figura, il corpo abbandona la circonferenza. Calcolare: b) il tempo impiegato per arrivare sul tavolo; c) la distanza d tra il punto in cui il corpo colpisce il tavolo e la base della guida. Soluzione: t = 1.05 s; t = 0.45 s; d = 1.36 m 2A) Uno sciatore di massa m = 80 Kg gareggia su una pista di discesa libera di dislivello H=800 m. Calcolare: a) l energia potenziale dello sciatore prima di iniziare la discesa; b) se la stessa pista fosse senza attrito, a che folle velocità giungerebbe al traguardo lo sciatore; c) il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico F a fra la neve e gli sci, sapendo che lo sciatore taglia il traguardo alla velocità v=144km/h. d) la lunghezza L della pista, sapendo che F a = 192 N. Soluzione: E = KJ; v = 451 Km/h; L = KJ; L = 2933 m M10

11 3A) Un'arteria di raggio 2 mm è percorsa dal sangue con una velocità media di 10 cm/sec (densità 1.05 g/cm 3 e viscosità poise). Calcolare: a) la portata volumetrica; b) la perdita di carico nell'arteria, assumendo il moto stazionario e il regime laminare. Supponiamo ora che il raggio dell'arteria, per una causa qualsiasi, si riduca a 0.15mm. Assumendo che la portata rimanga costante: c) calcolare la nuova velocità media; d) utilizzando il numero di Reynolds, verificare che, contrariamente a prima, il moto non è più laminare, ma è diventato turbolento. Soluzione: 1.3 cm 3 /s; 41.6 dyne/cm 3 ; v = 17.8 m/s; Re 1 = A) Urti elastici e anelastici: illustrare e fare qualche esempio 1B) Una guida circolare di raggio R = 0.5 m è posta verticalmente su un tavolo. Un corpo puntiforme percorre la circonferenza con un periodo di 1.05 sec. Ad un certo istante, quando si trova nella posizione indicata in figura, il corpo abbandona la circonferenza. Calcolare: a) la velocità con cui il corpo abbandona la circonferenza; b) l'altezza massima raggiunta; c) il tempo impiegato per ricadere sul tavolo. Soluzione: v = 3 m/s; h = 0.46 m ; t = 0.44 s 2B) Uno sciatore, gareggiando su una pista di discesa libera di dislivello H = 800 m, taglia il traguardo alla velocità di 144 Km/h. Calcolare: a) quale dovrebbe essere il dislivello H della pista, se lo sciatore gareggiasse su una pista senza attrito, per giungere al traguardo con la stessa velocità v; b) la massa dello sciatore, se il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico F a fra la neve e gli sci è 648 KJ; c) il modulo di F a, sapendo che la lunghezza della pista è 3000 m; d) l energia potenziale dello sciatore prima di iniziare la discesa. Soluzione: H = 81.6 m; M = 92 Kg; F a = 216 N; U = KJ 3B) In una arteriola del diametro di 0.1 mm e lunghezza 5 mm, la differenza di pressione del sangue fra gli estremi dell'arteriola è 35 Torr. Assumendo che il moto del sangue sia stazionario e il regime laminare (per il sangue: densità 1.06 g/cm 3, viscosità poise); a) calcolare la portata volumetrica del condotto e la velocità media del sangue; b) verificare che il moto è effettivamente laminare, utilizzando il numero di Reynolds. Soluzione: cm 3 /s, v = 6.14 cm/s; Re = M11

12 4B) Moto di un proiettile: ricavare l equazione della traiettoria e l espressione delle grandezze più significative (gittata, tempo di volo, altezza massima) 1C) Una guida circolare di raggio R = 0.5 m è posta verticalmente sul bordo di un tavolo di altezza h = 80 cm. Un corpo puntiforme percorre la circonferenza con una velocità angolare costante di 6 rad/sec. Ad un certo istante, quando si trova nella posizione indicata in figura, il corpo abbandona la circonferenza. Soluzione: T = 1.05 s; v = 5.9 m/s; t = 0.29 s Determinare: a) il periodo del moto circolare uniforme, prima di abbandonare la circonferenza; b) la velocità del corpo un attimo prima di urtare il pavimento; c) il tempo impiegato per arrivare sul pavimento. 2C) Uno sciatore di massa m = 80 Kg taglia il traguardo di una gara di discesa libera alla velocità v = 144 Km/h. Calcolare: a) l energia cinetica dello sciatore quando taglia il traguardo; b) quanto vale il dislivello H della pista, sapendo che il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico F a fra la neve e gli sci e 648 KJ; c) la lunghezza L della pista e l angolo α che la pista forma con l orizzontale, sapendo che F a =150 N; d) con che velocità taglierebbe il traguardo lo sciatore se gareggiasse su una pista senza attrito di dislivello H = 100 m. Soluzione: K = 64 KJ; H = 908 m; L = 4320, α 12, 44.3 m/sec 3C) In una arteria di raggio r = 4 mm, il sangue (viscosità poise, densità 1.06 g/cm 3 ) scorre con una velocità media di 5 cm/sec. Assumendo il moto stazionario e il regime laminare, calcolare: a) la portata volumetrica dell'arteria in litri/minuto; b) la differenza di pressione che deve essere applicata agli estremi dell'arteria, lunga 10 cm. c) Verificare che il moto è effettivamente laminare, utilizzando il numero di Reynolds. Soluzione: 0.15 l/min; P = Torr; Re = C) Teorema di Bernoulli: illustrare, fare almeno un esempio di applicazione e dimostrare M12

13 1D) Una guida circolare di raggio R = 0.5 m è posta verticalmente sul bordo di un tavolo di altezza h = 80 cm. Un corpo puntiforme percorre la circonferenza con un periodo di 1.05 s. Ad un certo istante, quando si trova nella posizione indicata in figura, il corpo abbandona la circonferenza. v d h Calcolare: a) La velocità con cui il corpo abbandona la circonferenza; b) Il tempo impiegato per arrivare sul pavimento; c) La distanza d fra il bordo del tavolo e il punto in cui il corpo tocca terra. Soluzione: v = 3 m/s; t = 0.4 s; d = 1.2 m 2D) Uno sciatore di massa m = 90 Kg gareggia su una pista di discesa libera che presenta un dislivello H = 1000 m. Calcolare: a) l energia potenziale dello sciatore prima di iniziare la discesa; b) con che velocità taglia il traguardo lo sciatore, se il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico F a fra la neve e gli sci e 795 KJ; c) la lunghezza L della pista e l angolo α che la pista forma con l orizzontale, sapendo che F a = 272 N; d) il coefficiente di attrito dinamico µ fra la neve e gli sci. Soluzione: U = 882 KJ; v = 44 m/s; L = 2923 m, α 20 ; µ = 0.3 3D) Un liquido avente viscosità di 0.04 poise e densità 1.06 g/cm 3 scorre in un condotto di sezione circolare con raggio r = 1.2 mm e lunghezza 25 cm. Sapendo che la differenza di pressione agli estremi del condotto è 0.1 atm: a) calcolare la portata volumetrica del condotto e la velocità media del liquido assumendo un moto stazionario ed il regime laminare; b) utilizzando il numero di Reynolds, verificare che il moto è effettivamente laminare. Soluzione: Q = 8.25 cm 3 /s; v = 1.8 m/s; Re 580 4D) Teorema lavoro-energia cinetica: illustrare, fare almeno un esempio di applicazione e dimostrare Prova scritta 18/2/1998 Un corpo di massa m = 200 g, posto su un piano orizzontale senza attrito, è attaccato a una molla, di massa trascurabile e costante elastica k = dyne/cm, che ha l altro estremo fissato in un punto O. Il corpo viene messo in rotazione e si osserva che si muove di moto circolare uniforme percorrendo una circonferenza di raggio R = 20 cm intorno al punto O. Sapendo che la lunghezza a riposo della molla è L = 16 cm, calcolare: M13

14 a) la velocità del corpo; b) il tempo impiegato a fare un giro completo; c) l energia meccanica totale del sistema. Soluzione: v = 1 m/s; t = 1.3 s; E = erg a) Forza gravitazionale: illustrare, ricavare l energia potenziale e la velocità di fuga di un proiettile dalla terra b) Principio di Archimede: illustrare e fare qualche esempio Prova scritta 10/6/1998 Una persona di massa m = 60 Kg, che corre orizzontalmente alla velocità di 3.8 m/s, salta su una slitta di massa M = 12 Kg che è inizialmente in quiete. Considerando l urto completamente anelastico e sapendo che la slitta e la persona percorrono 30 m sulla neve prima di fermarsi, calcolare: a) la velocità della slitta e della persona, subito dopo l urto; b) il coefficiente di attrito dinamico fra la slitta e la neve; c) l energia meccanica persa nell urto. Soluzione: v = 3.2 m/s; µ = 0.017; K = 71.4 J Prova scritta 10/7/1998 Un corpo di massa m = 10 g ha una velocità iniziale di 60 cm/s. Una forza costante di 60 dine viene applicata al corpo per t = 12 sec nella stessa direzione della velocità. Calcolare: a) l accelerazione che agisce sul corpo; b) l energia cinetica finale del corpo; c) lo spazio percorso nell intervallo di tempo in cui agisce la forza; d) il lavoro fatto dalla forza; e) la potenza media sviluppata. Soluzione: a = 6 cm/s 2 ; K f = 8.7 mj; x = 11.5 m; L = 6.9 mj; P = 0.57 mw Prova scritta parziale del 20/11/1998 1A) Un automobilista si immette nel traffico di un autostrada subito dopo il passaggio di una colonna di camion che procede alla velocità costante di 72 Km/h. Se l automobilista imprime all auto un accelerazione a = 2.5 m/sec 2, calcolare: a) quanto tempo impiegherà l auto a raggiungere e sorpassare la colonna dei camion; b) che velocità avrà l auto in quell istante e quanta strada avrà percorso. c) Rappresentare la situazione graficamente, tracciando x(t) e v(t) per l auto e per i camion. Soluzione: t = 16 s; v = 144 Km/h; x = 320 m M14

15 2A) Un blocco di legno di massa m = 20 Kg, posto su un piano inclinato che forma un angolo α = 30 con l orizzontale, è tenuto fermo dall alto da una molla di costante elastica k =100N/m. Se il coefficiente di attrito statico fra piano e blocco è µ s = 0.3, determinare: a) quanto vale l allungamento della molla dalla posizione di equilibrio. Ad un certo istante, il blocco viene troncato con un colpo d ascia, e la parte inferiore del blocco scivola giù per il piano con un coefficiente di attrito dinamico µ d = 0.2, calcolare: b) la distanza L deve percorrere per raggiungere la velocità v = 3.6 m/s Soluzione: x = 47 cm; L 2 m 3A) Una piattaforma di legno di dimensioni 5 m x 6 m e profondità h = 30 cm (densità relativa del legno = 0.6) galleggia in acqua. Calcolare: a) quanta parte è immersa; b) il valore massimo del peso di un automobile che può essere sostenuto dalla piattaforma, senza che l auto si bagni. Soluzione: h imm = 18 cm; P auto = 3600 Kg Domande: 4A) Definizione di potenza. Dimostrare che P=F v 5A) Legge di Stokes: illustrare e ricavare la velocità di sedimentazione per una sferetta di raggio R in un fluido viscoso. 1B) Quando il semaforo diventa verde, una macchina parte con accelerazione a = 4 m/sec 2, mentre un motorino che arriva in quel momento continua la sua corsa con velocità costante v = 36 Km/h. Calcolare: a) quanto tempo impiega l automobile a raggiungere e superare il motorino; b) la velocità dell automobile in quell istante; c) la distanza percorsa. d) Rappresentare la situazione graficamente, tracciando x(t) e v(t) per l auto e per il motorino. Soluzione: t = 5 s; v = 20 m/s; x = 50 m 2B) Un blocco di legno di massa m = 20 Kg, posto su un piano inclinato che forma un angolo α=30 con l orizzontale, è tenuto fermo dall alto da una molla allungata di x = 47 cm dalla posizione di equilibrio. Se il coefficiente di attrito statico fra piano e blocco è µ s =0.3 a) determinare quanto vale la costante elastica K della molla. Ad un certo istante, il blocco viene troncato con un colpo d ascia, e la parte inferiore del blocco scivola sul piano inclinato con un coefficiente di attrito dinamico µ d = 0.2, calcolare: b) la velocità v che raggiunge dopo avere percorso L = 2 m. Soluzione: K = 100 N/m; v = 3.6 m/s M15

16 3B) Una zattera a forma di parallelepipedo, la cui superficie di base è S = 6 m 2, e lo spessore è 20 cm, galleggia sull'acqua restando immersa per un tratto h 1 = 12 cm. a) Calcolare la densità della zattera. Sulla zattera viene successivamente posto un carico di massa M = 360 Kg, calcolare: b) l'abbassamento determinato dal carico. Soluzione: ρ = 0.6 g/cm 3 ; h = 6 cm Domande: 4B) Teorema delle forze vive 5B) Legge di Stevino. Spiegare perché la pressione sanguigna per una giraffa deve essere molto più grande di quella umana. 1C) Un auto procede a velocità costante in autostrada. Subito dopo aver superato una piazzola, una seconda auto, inizialmente ferma, si immette nel traffico. Sapendo che l accelerazione della seconda auto è a = 4 m/sec 2 e che questa raggiunge e sorpassa la prima auto in 5.5 sec, calcolare: a) lo spazio percorso dalle due auto prima del sorpasso; b) la velocità costante con cui procede la prima auto; c) quanto tempo impiega la seconda auto a raggiungere la velocità costante della prima. d) Rappresentare la situazione graficamente, tracciando x(t) e v(t) per le due auto. Soluzione: x = 60.5; v = 39.6 Km/h; t = 2.75 s 2C) Un blocco di legno, posto su un piano inclinato che forma un angolo α=30 con l orizzontale, è tenuto fermo dall alto da una molla di costante elastica k = 100 N/m allungata di x = 0.47 m dalla posizione di equilibrio. Se il coefficiente di attrito statico fra piano e blocco è µ s =0.3 a) calcolare la massa m del blocco. Ad un certo istante, il blocco viene troncato con un colpo d ascia. Se la parte inferiore del blocco scivola sul piano inclinato raggiungendo la velocità v = 3.6 m/s dopo avere percorso la lunghezza L = 2 m, determinare: b) il valore del coefficiente di attrito dinamico µ d fra piano e blocco. Soluzione: m 20 Kg; µ = 0.2 3C) Una lastra di ghiaccio a forma di parallelepipedo, di sezione S = 2.5 m 2 e spessore 20 cm, galleggia in acqua (densità relativa del ghiaccio = 0.92). Calcolare: a) l altezza della parte immersa; b) quale dovrebbe essere lo spessore minimo del blocco di ghiaccio per sostenere una persona di massa 75 Kg, senza che questa si bagni. Soluzione: h im = 18.4 cm; s min = 37.5 cm M16

17 Domande: 4C) Principi della Dinamica 5C) Teorema di Bernoulli Con riferimento alla figura accanto, si consideri M = 80 Kg e θ = 30 : a) assumendo m = 60 Kg calcolare quanto deve valere il coefficiente di attrito statico minimo fra m e il piano affinché il sistema stia in equilibrio; b) assumendo invece m = 30 Kg e il valore del coefficiente di attrito dinamico uguale a 0.8, determinare l'accelerazione con cui si muove il sistema e il tempo che impiega il blocco M a percorrere l'altezza h = 4 m, supponendo che venga lasciato andare con velocità iniziale nulla. Soluzione: µ s = 0.93; a = 3.7 m/s 2, t = 1.46 s Prova scritta 16/6/1999 m θ M h = 4 m Prova scritta del 19/2/1999 Due masse m 2 = 5 Kg e m 1 = 3 Kg sono collegate da una fune, di massa trascurabile, che scorre su una carrucola, priva di attrito, come indicato in figura. Inizialmente il sistema é in quiete. Ad un certo istante la massa m 2 viene lasciata libera di cadere. Calcolare: a) l accelerazione del sistema e la tensione della fune, nell istante in cui m 2 viene lasciata andare; m 2 b) l energia cinetica del sistema m 1 + m 2 nell istante in cui m 2 tocca il suolo. Considerando che quando la massa m 2 si ferma a terra, la corda non é più in tensione e la massa m 1 é in movimento verso l alto e può salire ancora, determinare: c) la massima altezza a cui salirà m 1. m 1 h = 4 m Soluzione: a = 2.45 m/s 2, T = 36.7 N; K = 78.4 J; h max = 5 m A) Forze di attrito B) Principio di Archimede M17

18 Prova scritta 12/7/1999 Un blocco di massa M = 1 Kg, inizialmente in quiete nel punto A, viene spinto da una forza costante F = 20 N su per un piano inclinato di inclinazione θ = 30 e lunghezza AC = 10 m. Fra il C blocco e il piano vi è attrito di coefficiente dinamico µ d = 0.3. Una volta giunto in C la forza F F viene eliminata. Calcolare: θ a) l'accelerazione a cui è sottoposto il blocco durante la salita lungo il piano inclinato; b) la velocità con cui il blocco esce dal punto C D B A c) l'energia cinetica che possiede il blocco nell'istante in cui tocca terra nel punto D. Soluzione: a = 12.6 m/s 2 ; v c = 15.8 m/s; K = J Prova scritta 20/9/1999 Un corpo di massa M 1 = 2 Kg scivola su un piano alla velocità v 1 = 2 m/s. Ad un certo istante urta in modo completamente anelastico un secondo corpo fermo di massa M 2 = 1 Kg. Dopo l'urto il blocco costituito dai due corpi scivola sul piano senza attrito e va a comprimere una molla a riposo di costante elastica K = 300 N/m e di massa trascurabile. Calcolare: a) la velocità v f dei due corpi dopo l'urto; b) la lunghezza x di compressione della molla; c) l'energia cinetica persa nell'urto. Soluzione: v f = 1.33 m/s; x 13 cm; K = 1.33 J M18