CP110 Probabilità: Esonero 2. Testo e soluzione

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1 Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 29-2, II semestre 25 maggio, 2 CP Probabilità: Esonero 2 Testo e soluzione

2 . (7 pt) Siano T, T 2 variabili esponenziali indipendenti, di parametri λ = e λ 2 = 2 rispettivamente. Trovare ) la probabilità che T < T 2 2) la varianza di T + T 2 T T 2 Soluzione. P (T < T 2 ) = Con λ = e λ 2 = 2 si ha /3. λ e λ t t λ 2 e λ 2s ds dt = λ e λ t e λ 2t dt = λ λ + λ 2 Per la varianza possiamo scrivere Var(T + T 2 T T 2 ) = Var(T ) + Var(T 2 ) + Var(T T 2 ) + 2Cov(T, T 2 ) 2Cov(T, T T 2 ) 2Cov(T 2, T T 2 ). Sappiamo che Var(T ) = e Var(T λ 2 2 ) =, e λ 2 2 per l indipendenza Cov(T, T 2 ) =. Inoltre Cov(T, T T 2 ) = E[T 2 T 2 ] E[T ]E[T T 2 ] = E[T 2 ]E[T 2 ] E[T ] 2 E[T 2 ] = Var(T ) E[T 2 ] = λ 2 λ 2 Allo stesso modo si ha Cov(T 2, T T 2 ) =. Inoltre, usando E[T λ λ 2 i 2] = 2 2 λ 2 i E[T 2T 2 2] E[T ] 2 E[T 2 ] 2 = 3. Mettendo insieme: λ 2 λ2 2 si ha Var(T T 2 ) = Var(T + T 2 T T 2 ) = λ 2 + λ λ 2 2 λ2 2 λ λ λ 2 λ 2 Con λ = e λ 2 = 2 si ha Var(T + T 2 T T 2 ) = /2

3 2. ( pt) Siano X, Y variabili aleatorie continue con densità di probabilità congiunta { e y se y f(, y) = altrimenti ) Dire se X e Y sono indipendenti. 2) Calcolare le densità marginali di X e Y e i loro valori attesi 3) Calcolare il valore atteso di Y X. Soluzione. La regione in cui la f è non nulla non è un rettangolo nel piano quindi la f non si può scrivere come un prodotto, pertanto X e Y non sono indipendenti. La densità di X è data da f X () = e y y dy = mentre f X () = se <. La marginale di Y è f Y (y) = e y y d = y e y dy = e,, e y d = ye y, y, mentre f Y (y) = se y <. Quindi riconosciamo che X è esponenziale di parametro, mentre Y è gamma di parametri α = 2 e λ =. In particolare, si ha E[X] = e E[Y ] = 2. Per il valore atteso di Y X si può scrivere E[Y X] = E[Y ] E[X] =. Alternativamente, E[Y X] = = d e d (y )e y y dy = dove abbiamo usato il fatto che per ogni : (y )e (y ) dy = (y )e (y ) dy = d e y dy =. (y )e y dy e d = Per un altro punto di vista, si può osservare che la f coincide con la densità congiunta di X = E, Y = E + E 2, dove E, E 2 sono v.a. esponenziali di parametro indipendenti. Quindi Y X = E 2 ha media.

4 3. ( pt) Si consideri la catena di Markov X, X, X 2,..., con spazio degli stati {, 2, 3} e matrice di transizione P ij, i, j =, 2, 3, tale che P 2 = P 3 = 4, P 2 = P 3 =. Determinare la misura invariante della catena. Sapendo che X = : ) Calcolare la distribuzione di X sapendo che X = 2) Calcolare il valore atteso di X n nel limite n Soluzione. La matrice P deve soddisfare 3 j= P ij = e quindi P = Si puo mostrare che la catena è ergodica nel senso che n tale che P n (i, j) > per ogni i, j =,..., 3. La misura invariante π, π 2, π 3 deve soddisfare π i >, i π i =, e π j = 3 π i P ij. i= Ne segue che π 2 = π 3 = 4 π e quindi π = ( 2 3, 6, 6 ). Se X = allora X 2 = con prob. /2, X 2 = 2 con prob. /4, e X 2 = 3 con prob. /4. La distribuzione della variabile X n è approssimativamente π per il teorema ergodico. Pertanto E[X n ] E[X] dove X {, 2, 3} con distribuzione π. Si ha E[X] = = 3 2.

5 4. (8 pt) Abbiamo 4 vasi numerati da a 4, e in ognuno poniamo un seme. Se ogni seme dà luogo a una pianta indipendentemente dagli altri con probabilità 3 4, chiamiamo X il numero totale di piante nei vasi, 2, 3 e Y il numero totale di piante nei vasi 2, 3, 4. Calcolare ) la varianza di Y X. 2) la covarianza Cov(X, Y ) Soluzione. Sia X i il il numero di piante nel vaso i. Quindi X i sono Bernoulli(3/4) indipendenti. Allora X = Y +X X 4. Quindi Var(Y X) = Var(X X 4 ) = Var(X )+Var(X 4 ) = 2p( p) = 3 8. Inoltre Cov(X, Y ) = 3 4 i= j=2 Cov(X i, X j ). Se i j si ha Cov(X i, X j ) =, quindi Cov(X, Y ) = 3 Cov(X i, X i ) = 2Var(X ) = 2p( p) = 3 8. i=2

6 5. (7 pt) Un dado è lanciato volte. Sia X i il valore del dado all i-esimo lancio. Sia Y i = se X i è dispari e Y i = 2 X i se X i è pari. Sia S = i= Y i. ) Calcolare il valore atteso e la varianza di S. 2) Trovare un valore approssimato per la probabilità dell evento S. Soluzione. Y i prende i valori,, 2, 3 con probabilità 2, 6, 6, 6 rispettivamente. Pertanto la media di Y i è. Quindi la media di S è. La varianza di Y i è E[Yi 2 ], con E[Y 2 i ] = /6 + 4/6 + 9/6 = 7/3, quindi Var(Y i ) = 4/3. Allora per l indipendenza delle Y i si ha Var(S) = 4/3. Per approssimare P (S ) si può supporre che S sia normale e quindi standardizzando la S, supporre che Z = S E[S] = S sia normale standard. Si ha Var(S) 2/ 3 P (S ) = P (Z ) 2.