Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1. Prova scritta del 28 giugno 2011 Versione 1

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1 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria Prova scritta del 8 giugno Versione Esercizio In R si consideri l insieme: U = (x y z) R x y + kz = k x y + z =x ky + z = (k R). a. Determinare per quali valori di k R l insieme U è un sottospazio vettoriale di R eper tali valori determinarne la dimensione e una base. b. Considerato il sottospazio vettoriale W = L(( ) ( ) ( )) determinare una base e la dimensione di U\WediU + W. c. Rispetto al prodotto scalare standard di R determinare le equazioni del complemento ortogonale W? di W. ( punto) d. Determinare i due vettori proiezione ortogonale di ( ) su W esuw?.. a. U è un sottospazio vettoriale solamente per k = e per tale valore di k risulta dim(u) = e U = L(( ) ( )). b. Risulta dim(w) =ew = L(( ) ( )) di conseguenza si ottiene U + W = R e dim(u \W) = con U\W= L((5 )). c. Si ha dim(w? )=ew? = {(x y z) R x +y =y + z =}. d. Una base ortonormale di W? è formata dal vettore p 4 p 4 p 4 quindi il vettore proiezione ortogonale di ( ) su W? è ( ) p p p p p p = Poiché si ha la somma diretta W W? = R il vettore proiezione ortogonale di ( ) su W è dato da 9 ( ) =

2 Esercizio Sia f : R! R la funzione tale che: f(( )) = f(( )) = a. Dimostrare che f definisce un applicazione lineare. ( punto) b. Determinare la dimensione e una base sia di ker f sia di im f. c. Calcolare f(( )). 4 f(( )) = d. Determinare una base e la dimensione di f (S) dove S è il sottospazio vettoriale di R delle matrici simmetriche.. a. I tre vettori: v =( ) v =( ) v =( ) sono linearmente indipendenti e pertanto formano una base dello spazio vettoriale R quindi per il Teorema Fondamentale delle Applicazioni Lineari esiste ed è unica l applicazione lineare che verifica le condizioni poste dall esercizio. b. La matrice A associata ad f rispetto alla base B =(v v v )dir e alla base canonica C = di R è la seguente A = M BC (f) = 4 Si ha rank(a) = di conseguenza dim(im f) =eimf = L inoltre dim(ker f) =ekerf = L(( 5 7)). C A.. c. Le componenti del vettore ( ) rispetto alla base B sono ( ) di conseguenza f(( )) si ottiene facendo il prodotto di matrici: B C A equindi f(( )) = 6 6 4!.

3 d. Risulta a S = b b c b a b c R e S\im f = b b b b R pertanto dove dim(f (S)) = e f (S) =L(( 4 ) ( 5 7)) ( 4 ) = v v e ( 5 7) = v +v + v. Oppure equivalentemente: Risulta y y S = R y y y y = 4 e le equazioni dell applicazione lineare f sono: 8 y = x + x x >< y = x +x 4x y = x +x >: y 4 = x +x e pertanto ossia dove f (S) = x v + x v + x v R x +x 7x = dim(f (S)) = e f (S) =L(( 4 ) (7 7 )) ( 4 ) = v + v e (7 7 ) = 7v + v. Osservazione: La matrice associata ad f rispetto alla base canonica E =(( ) ( ) ( )) di R e alla base canonica C di R è 9 4 M EC (f) = 7 7 B C Nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R =(Ox y z) =(Oi j k) si considerino i punti A =( ) B =( ) e C =( 4 ). a. Verificare che i punti A B e C non sono allineati calcolare l area del triangolo di vertici A B e C e scrivere l equazione del piano passante per i tre punti. 5 A

4 b. Determinare la retta r passante per il punto A contenuta nel piano e perpendicolare alla retta ( x y = s : y + z = c. Sia la sfera passante per il punto D =( ) e tangente al piano nel punto B esia la sfera di centro Q =( ) e tangente alla retta s. Stabilire la posizione reciproca delle sfere e.. a. Risulta AB!!! = i +4j +k AC = i j k e AB ^ AC! = i 6j + k. Essendo! il prodotto vettoriale AB ^ AC! diverso dal vettore nullo i tre punti A B e C non sono allineati. L area A del triangolo di vertici i punti A B e C è data da: A = k! AB ^! ACk = p 5 mentre il piano passante per i tre punti ha equazione : x +y 5z +=. b. La retta r si può vedere come l intersezione del piano del punto precedente e del piano passante per A e ortogonale alla retta s percui ( x +y 5z += r : x + y z = c. Le due sfere hanno equazioni: :(x ) +(y 6) +(z + ) = 5 : x + y +(z ) = pertanto ha centro P =( 6 ) e raggio R = p 5 mentre ha centro Q =( ) e raggio R = p. La distanza tra i centri è d(p Q) = p 6. Dunque le due sfere sono esterne una all altra poiché risulta: d(p Q) = p 6 > p 5 + p =R + R infatti p 6 > p 5 + p () 6 > ( p 5 + p ) = 7 + p 7 () 5 > p 7 () 75 > 8. Esercizio 4 Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione e sia B =(v v v ) una sua base. Si considerino le forme bilineari simmetriche ': V V! R tali che: ) ker ' = L(v + v ) ) v + v sia un vettore isotropo ) la matrice A associata a ' rispetto alla base B abbia traccia nulla.

5 a. Si verifichi che la matrice A associata alle forme bilineari simmetriche ' rispetto alla base B è b b b A b b b A b Rb6=. b b 4b b. Si classifichino al variare di b R b 6= le forme quadratiche Q associate alle forme bilineari simmetriche ' del punto precedente e per ciascuno dei casi trovati si scriva Q in forma normale. c. Posto b = si determini il sottospazio vettoriale W ortogonale a L(v + v ) rispetto alla forma bilineare simmetrica ' e si specifichi se questi due sottospazi vettoriali sono o meno in somma diretta. a. Se A =(a ij ) S(R ) è la matrice associata rispetto alla base B ad una qualsiasi forma bilineare simmetrica ' richiesta allora la condizione ker ' = L(v + v ) equivale a a + a = a + a = a + a =. La condizione che v + v sia un vettore isotropo equivale a a +a + a =. La condizione che la matrice A abbia traccia nulla equivale a a + a + a = da cui si ottiene la matrice indicata nel testo dell esercizio. b. Gli autovalori della matrice A sono = = p b = p b pertanto per ogni b R b 6= la forma quadratica Q è degenere di segnatura ( ) e quindi la sua forma normale è Q(x) =X X dove (X X X ) sono le componenti del vettore x rispetto ad una base secondo la quale Q assume tale forma. c. Per definizione W contiene i vettori x tali che '(x v +v ) = ossia in notazione matriciale x x A = 4 quindi si ottiene che W = x = x v + x v + x v R x x x =. Il vettore v + v essendo isotropo appartiene a W quindi i sottospazi vettoriali W e L(v + v ) non sono in somma diretta.

6 Esercizio 5 Si consideri lo spazio vettoriale R [x] dei polinomi nella variabile x a coe minore o uguale a. Siano le due forme lineari così definite: cienti reali di grado : R [x]! R p(x) 7! p(); : R [x]! R p(x) 7! p( ). a. Si dimostri che C =( ) è una base dello spazio vettoriale (R [x]) duale di R [x]. b. Si determini la base C di R [x] dicuic è la base duale.. a. Poiché dim((r [x]) )=dim(r [x]) = per verificare che C =( ) è una base è su ciente dimostrare che le due forme lineari e sono linearmente indipendenti. Si consideri quindi la seguente combinazione lineare: + =O ( R) dove O indica la forma lineare nulla su R [x]. Si applichi la precedente forma lineare combinazione lineare delle forme e ai vettori della base B =(x)dir [x] ottenendo: () + () = ) + = (x)+ (x) = ) = da cui segue = = ossia le forme lineari e sono linearmente indipendenti e pertanto C è una base di (R [x]). b. Sia C =(p (x)p (x)) la base richiesta. Ponendo: p (x) =a + bx p (x) =c + dx con a b c d R per definizione di base duale si ha: i (p j (x)) = ij ( apple i j apple ) dove ij indica il di Kronecker per cui si ottiene il seguente sistema lineare: 8 >< >: a +b = a b = c +d = c d = da cui segue: C = x 4 4 x.

7 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria Prova scritta del luglio Versione Esercizio In R spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine ad elementi reali si consideri il sottospazio vettoriale W = X R AX = XA dove A = k k R. a. Determinare la dimensione e una base di W al variare di k R. ( punto) b. Rispetto al prodotto scalare di R che rende ortonormale la base standard determinare al variare di k R la dimensione e una base del complemento ortogonale W? di W. c. Rispetto al prodotto scalare di R che rende ortonormale la base: B = determinare al variare di k R la dimensione e una base del complemento ortogonale W di W. a. Per ogni valore di k R risulta dim(w) = e W = L b. Si ottiene per ogni valore di k R dim(w? )= e W? = L k. k c. Si deve determinare rispetto alla base standard di R la matrice simmetrica B =(b ij ) del prodotto scalare di R che rende ortonormale la base B. Si ottiene B = B A. 4.

8 Le equazioni di W sono ( 4x + x 4 = (k )x (k )x = pertanto per ogni valore di k R risulta dim(w )= e W = L 4 k k. Esercizio Sia f : R [x]! R [x] l endomorfismo dello spazio vettoriale R [x] dei polinomi in x acoe cienti reali di grado minore o uguale a definito da: 8 f() = h + x >< f(x) =x (h R). >: f(x )=hx +x a. Determinare al variare di h R la dimensione e una base di ker f ediimf. b. Determinare al variare di h R la dimensione e una base di f(k) edif (K) dovek è il sottospazio vettoriale di R [x] dei polinomi divisibili per x. c. Stabilire al variare di h R se l endomorfismo f è diagonalizzabile. d. Posto h = determinare una base C di R [x] tale che la matrice B = M CC (f) associata all endomorfismo f rispetto a tale base sia triangolare superiore. a. La matrice associata all endomorfismo f rispetto alla base B =(xx )dir [x] è A = M BB (f) h h A h R. Se h 6= risulta rank(a) = quindi dim(ker f) =edim(imf) = pertanto ker f = {} eimf = R [x] dunque f è un automorfismo di R [x]. Se h = risulta rank(a) = quindi dim(ker f) = dim(im f) =esihakerf = L( +x) eimf = L(x x ). b. Si ha K = {p(x) R [x] p() = } = L( +x x + x )e f( +x) = h x f( x + x )=(h )x +x

9 che risultano essere linearmente indipendenti per ogni h R pertanto per ogni valore di h R risulta dim(f(k)) = e f(k) =L( h x (h )x +x ). Se h 6= l endomormismo f è invertibile e la matrice associata all endomorfismo inverso f è h A = h B h A di conseguenza in questo caso il sottospazio f (K) è generato dai polinomi le cui componenti rispetto alla base B si ottengono facendo i seguenti prodotti tra matrici: A e A e pertanto dim(f (K)) = e f (K) =L h + +h h x 6+h x +. x Se h = allora risulta dim(f (K)) = e f (K) =L +x + x. c. Il polinomio caratteristico di A è P ( )=(h )( )( ). Se h 6= allora f ha tre autovalori distinti per cui f è diagonalizzabile. Se h = allora f ha due autovalori: = di molteplicità e = di molteplicità inoltre risulta V = L( + x x + x ) e pertanto f è diagonalizzabile. Se h = allora f ha due autovalori: = di molteplicità e = di molteplicità inoltre risulta V = L(x) e pertanto f non è diagonalizzabile. Ricapitolando: f risulta diagonalizzabile per ogni h 6=. d. Posto h = si ha 8> < >: f() = + x f(x) =x f(x )=x +x e gli autospazi associati agli autovalori di f sono: V = L(x) per = V = L(x + x ) per =.

10 Considerata quindi la base C =(x x + x ) allora la matrice associata ad f rispetto a tale base è B = M CC (f) A ossia è una matrice triangolare superiore. Esercizio Nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R =(O x y z) si considerino i tre piani: : x +y + z = : x + y + z = : x + hy + z += (h R). a. Determinare i valori di h se esistono a nché il piano appartenga al fascio proprio di piani individuato da e e per tali valori trovare i parametri omogenei ( µ) che permettono di scrivere l equazione del piano come combinazione lineare delle equazioni di edi. b. Determinare h se esiste in modo tale che le rette r = \ ed s = \ siano parallele. ( punto) c. Determinare le coordinate del punto Q simmetrico di P =( ) rispetto al piano e scrivere l equazione della sfera di diametro il segmento di estremi P e Q ecentrosul piano. d. Sia F il fascio di sfere che contiene e ammette come piano radicale. Tra tutte le sfere del fascio F determinare: ) la sfera di raggio minimo ) la sfera passante per il punto O =( ). a. appartiene al fascio proprio di piani individuato da e solamente per h = e per tale valore l equazione di si ottiene per ( µ) =( ). b. La retta r è parallela al vettore r =( ) mentre la retta s è parallela al vettore s =(h h) pertanto le due rette sono parallele per ogni h 6=. c. Il simmetrico del punto P rispetto al piano è i l p u n t o Q = 4 mentrelasfera hacentroc coincidente con il punto medio del segmento PQ e raggio dato da d(p C) per cui ha equazione: : x y 6 + z 7 =

11 d. La sfera di raggio minimo è poiché è la sfera del fascio con il centro sul piano radicale mentre la sfera del fascio passante per l origine O ha equazione cartesiana x + y + z + x + y z =. Esercizio 4 Si consideri la forma quadratica Q: R! R così definita: Q(x) =4xz y +z dove x =(x y z) R. a. Scrivere Q in forma canonica e determinare una base di R rispetto alla quale Q assume tale forma. b. Scrivere Q in forma normale e determinare una base di R rispetto alla quale Q assume tale forma. c. Nello spazio rispetto al riferimento cartesiano R =(Oxyz) riconoscere la quadrica Q di equazione: Q(x y z) =5 scriverla in forma canonica e determinare il cambiamento di riferimento cartesiano rispetto alla quale Q assume tale forma. a. La matrice associata alla forma quadratica Q rispetto alla base canonica di R è A A. I suoi autovalori sono = 4 di molteplicità e = di molteplicità di conseguenza una forma canonica di Q è Q(x) = 4(x ) (y ) (z ) dove (x y z ) sono le componenti del vettore x rispetto alla base ortonormale di R formata dai vettori: v = p5 p v = p5 p v =( )

12 b. La forma normale di Q è Q(x) =X Y Z dove (X Y Z) sono le componenti del vettore x rispetto alla base formata dai vettori: e = v e = v e = v. c. La quadrica Q è un iperboloide a due falde di equazione in forma canonica: Q : (x ) 5 4 (y ) 5 (z ) 5 = scritta rispetto al riferimento cartesiano R =(O x y z ) ottenuto dal riferimento cartesiano R =(O x y z) mediante il movimento rigido di equazioni: x x B C y A = y C A z z dove la matrice P = p p5 5 p p5 5 C A è ortogonale speciale ossia tale che det(p ) =. Esercizio 5 Sia C l insieme dei numeri complessi dotato della struttura di spazio vettoriale reale. Si consideri la funzione: : C! C z 7! z che ad ogni numero complesso associa il suo complesso coniugato. a. Si dimostri che è un automorfismo di C (ossia un isomorfismo di C con se stesso). b. Si scriva la matrice associata a rispetto alla base B =(+i +4i). a. La linearità di segue facilemente dalle proprietà della coniugazione di numeri complessi infatti si ha: (z + z )=z + z = z + z = (z )+ (z ) ( z) = z = z = (z) 6

13 per ogni z z z C e per ogni R. Per dimostrare che è un automorfismo è su ciente dimostrare che è iniettiva essendo C uno spazio vettoriale di dimensione (su R). Si ha: ker = {z C (z) =} = {z C z =} = {}. Oppure in modo equivalente è su traduce nel fatto che ciente ricondare la seguente proprietà: z = z che si =id C equindi è un automorfismo di C con inverso se stesso. b. Sia B =(i) la base canonica di C. La matrice associata a rispetto a B è A = pertanto la matrice A associata ad f rispetto alla base B è data da A = P AP dove P indica la matrice del cambiamento di base da B a B ossia: P =. 4 Poiché risulta si ottiene P = A = / / 5 5.! 7

14 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria Prova scritta del 5 settmbre Versione Esercizio Sia S(R ) lo spazio vettoriale reale delle matrici simmetriche di ordine. a. Verificare che ponendo h f = h h f = h h f = h h si ottiene per ogni valore reale di h un ben definito endomorfismo f : S(R )!S(R ). ( punto) b. Scrivere la matrice A associata all endomorfismo f rispetto alla base B = di S(R ) e determinare al variare di h R la dimensione e una base di ker f ediimf. c. Determinare al variare di h R la dimensione e una base sia di f(k) chedif (K) dove K è il sottospazio vettoriale a b K = S(R ) b + c =. b c d. Stabilire per quali valori di h R l endomorfismo f è diagonalizzabile. h h a. Le tre matrici sono linearmente indipendenti per ogni h valore di h pertanto formano una base di S(R ). Quindi per il Teorema Fondamentale delle Applicazioni Lineari si ottiene un ben definito endomorfismo per ogni h R.

15 b. La matrice associata ad f rispetto alla base B = S(R )è A h h( h) h (h ) h Risulta det(a) =4h dunquedet(a) = se e solo se h =. Quindi per ogni h 6= f è un isomorfismo per cui ker f = Se h =siha A A e pertanto dim(ker f) = ker(f) =L dim(im f) = im(f) =L A.. di eimf = S(R ). c. Risulta a K = b b c S(R ) b + c = = L pertanto h f(k) =L h( h ) h h edim(f(k)) = per ogni h 6= mentre per h =sihadim(f(k)) = e f(k) =L. D altra parte si ha f x (K) = y y z y +(h + )z = = L h + h + edim(f (K)) = per ogni h R. d. Gli autovalori di f sono: = = =h. Pertanto se h 6= eh 6= l endomorfismo f ha tre autovalori distinti e quindi è diagonalizzabile. Se h = gli autovalori di f sono: = di molteplicità e = di molteplicità. Poiché l autospazio relativo all autovalore ha dimensione l endomorfismo è diagonalizzabile. Se h = gli autovalori di f sono: = di molteplicità e = di molteplicità. Poiché l autospazio relativo all autovalore ha dimensione l endomorfismo non è diagonalizzabile.

16 Esercizio Si consideri la forma quadratica sullo spazio vettoriale R 4 dove x =(x x x x 4 ) R 4. Q(x) =x + x +x +x 4 +4x x +x x 4 a. Determinare la segnatura di Q e scrivere la forma quadratica sia in forma canonica sia in forma normale. b. Determinare una base rispetto alla quale la forma quadratica Q si scrive in forma normale. c. Determinare una base per il sottospazio vettoriale W? ortogonale del sottospazio vettoriale W = {(x x x x 4 ) R 4 x + x = x x = x + x 4 =} rispetto alla forma bilineare simmetrica associata alla forma quadratica Q. Calcolare inoltre W\W?. d. Sia I l insieme dei vettori isotropi per la forma quadratica Q. Trovare due sottospazi vettoriali Z e Z di R 4 che verifichino le seguenti condizioni: (a) Z I e Z I; (b) Z \Z = {o}; (c) dim(z )=dim(z ) =. a. La matrice associata alla forma quadratica Q rispetto alla base canonica di R 4 è A = B A che ha i seguenti autovalori: = di molteplicità = di molteplicità = di molteplicità pertanto la segnatura di Q è ( ) e una sua forma canonica è data da: Q(x) =y +y + y y 4 dove (y y y y 4 ) sono le componenti del vettore x rispetto ad una base ortonormale B =(e e e e 4 ) formata da autovettori della matrice A mentre la forma normale di Q è data da: Q(x) =z + z + z z 4.

17 b. Una base ortonormale B del punto precedente è ad esempio formata dai vettori e = p p e = p p e = p p e 4 = p p pertanto una base B =(f f f f 4 ) rispetto alla quale la forma quadratica Q si scrive in forma normale è ad esempio formata dai seguenti vettori: f = p e = p6 p 6 f = p e = f = e = f 4 = e 4 = p p p 6 p 6 p p c. Risulta W = L(( )) pertanto si ottiene equindi W? = {(x x x x 4 ) R 4 x x + x x 4 =} W? = L(( ) ( ) ( )). Poiché le componenti del vettore ( ) che forma una base di W verificano l equazione che definisce W? risultachew\w? = W. d. Rispetto alla base B =(f f f f 4 ) per cui la forma quadratica Q si scrive in forma normale i vettori f + f 4 e f + f 4 sono vettori isotropi e linearmente indipendenti. Pertanto ponendo Z = L(f + f 4 )ez = L(f + f 4 ) si ottengono due sottospazi vettoriali che verificano le tre condizioni richieste. Esercizio Nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R =(O x y z) sono date le rette: con h R. r : ( x + y = x y + z 4= 8 >< x = ht s : y =+ht >: z = +t (t R) a. Trovare il valore per parametro reale h per cui le rette r ed s risultano parallele e per tale valore di h determinare l equazione del piano che contiene le due rette. 4

18 b. Sia la circonferenza ottenuta intersecando la sfera : x + y + z 4x y 4z = con il piano : x 4y + z + =. Determinare le equazioni della retta tangente a nel punto A =( ). c. Tra tutte le sfere contenenti la circonferenza del punto precedente determinare quella passante per il punto B =( ) e quindi studiare la posizione reciproca di tale sfera con la retta r. a. Le rette r ed s sono parallele per h = e il piano che le contiene ha equazione cartesiana x + y + z 6 =. b. La retta tangente alla circonferenza nel punto A si può individuare come intersezione del piano su cui giace la circonferenza con il piano tangente alla sfera nel punto A ossia ( x 4y + z += x += c. La sfera passante per la circonferenza e per il punto B ha equazione cartesiana La retta r è esterna alla sfera. Esercizio 4 : x + y + z +4x 4y +4z + 4 =. Nel piano rispetto ad un riferimento cartesiano R =(O x y) è data la conica C :x 4xy y 6x +=. Verificare che si tratta di una iperbole e ridurla a forma canonica esplicitando le equazioni del cambiamento di riferimento. Determinare inoltre le coordinate del centro e le equazioni degli asintoti di C (nel sistema di riferimento R). (4 punti) L iperbole C in forma canonica ha equazione: X Y = ovvero X 6 Y 4 = che si ottiene con il cambiamento di riferimento di equazioni! x p!! p5 5 X = + y p p5 5 Y 5!.

19 Nel sistema di riferimento R l iperbole C ha centro di coordinate ( hanno equazioni: 8x + y = 4x 7y 9=. ) mentre i suoi asintoti Esercizio 5 a. Nello spazio vettoriale R si considerino la base canonica B =(( ) ( ) ( )) e la base B =(( ) ( ) ( 5)). Determinare la matrice A associata all omomorfismo identità id su R (tale che id(x) =x per ogni x R ) rispetto alla base B nel dominio e alla base B nel codominio ossia A = M BB (id). b. Determinare la matrice A associata all identità su R rispetto alla base B nel dominio e alla base B nel codominio ossia A = M B B (id). ( punto) c. Verificare che A non è diagonalizzabile. Dedurre che A non è diagonalizzabile. Spiegare perché questo non è in contraddizione con il fatto che l identità è evidentemente un omomorfismo diagonalizzabile. a. Sia P la matrice del cambiamento di base dalla base B alla base B : P A. 5 Risulta allora A = P ossia A = 5 5 C A. b. Risulta A = P. c. L identità è associata alla matrice unità I R (diagonale) se si considera la stessa base nel dominio e nel codominio. Le matrici A e A non sono pertanto simili ad I e quindi non necessariamente sono diagonalizzabili. Gli autovalori di A = P sono 5 e con molteplicità rispettivamente e ma il rango di A I è q u i n d i A non è diagonalizzabile di conseguenza (perché?) non lo è neppure A = P. 6

20 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria Prova scritta del 7 gennaio Esercizio Nello spazio vettoriale reale R si considerino i seguenti sottospazi vettoriali: x x W = R x x x x x 4 =x x x = x + x 5x x 4 = 4 Z = L 4 5. a. Determinare una base e la dimensione sia di W\Zsia di W + Z. b. Determinare per quali valori di k R la matrice k A = appartiene a W + Z e per tali valori di k decomporre in tutti i modi possibili la matrice A in una somma A + A con A W e A Z. (4 punti) c. Calcolare la proiezione ortogonale rispetto al prodotto scalare standard di R di B = 4 sia su W\Zsia su (W \Z)?. a. Risulta per cui si ricava dim(w) = dim(z) = dim(w + Z) = dim(w \Z)= W = L Z = L W + Z = L W\Z= L 4 5

21 b. La matrice A appartiene a W + Z solamente per k = 7 e per tale valore di k si decompone nella somma A + A con 7 t t A = W +t t 6+t 4+t A = Z. t t c. La matrice B = è ortogonale alla matrice 4 standard di R pertanto si ha: - la proiezione ortogonale di B su W\Zè : - la proiezione ortogonale di B su (W \Z)? è : B = Esercizio 4 rispetto al prodotto scalare Si consideri lo spazio vettoriale V riferito ad una base ortonormale positiva B =(i j k). Dato il vettore a = i j +k si consideri l applicazione lineare f : V! V che ad ogni vettore x di V associa il vettore proiezione ortogonale di x su a. a. Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base B. b. Determinare la dimensione e una base sia di ker f sia di im f. c. Determinare la dimensione e una base di f(w) edif (W) dovew = L(a b) con b = j +4k.. a. L endomorfismo f è definito come per ogni x V quindirisulta f(x) = x a kak a f(i) = 6 a f(j) = 6 a f(k) = a pertanto la matrice associata ad f rispetto alla base B è M BB (f) = C A.

22 b. Geometricamente è evidente che risulta im f = L(a) ker f =(imf)? = {x V x a =} = L(i + j i + k) quindi dim(im f) =edim(kerf) =. c. Si ha a W ) f(w) =imf = L(a) Esercizio im f W ) f (W) =V. Nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R = (O x y z) sono dati i tre punti P =( ) P =( ) e P =( 4). a. Scrivere l equazione del piano passante per i punti P P e P. ( punto) b. Determinare la retta r contenuta nel piano passante per il punto P e perpendicolare alla retta ( x z = s : y +z = c. Determinare centro e raggio della sfera passante per il punto A =( ) e tangente al piano : x y =nelpuntob =( ). a. Il piano passante per P P P è : x 5y +z +=. b. La retta cercata ha equazioni parametriche 8 >< x =+t r : y =t >: z = +t (t R). c. La sfera cercata ha centro C =( ) e raggio R = p 5. Esercizio 4 Si consideri la matrice quadrata di ordine A k k A dove k R.

23 a. Dire per quali valori di k la matrice A ammette l autovalore. b. Posto k = dire se A è diagonalizzabile ed in caso a ermativo determinare una matrice invertibile P che diagonalizza A. a. La matrice A ammette l autovalore se e solo se det(a I) =. Poiché A I k k risulta det(a I) =k(k +). Pertanto A ammette l autovalore se e solo se k =ok =. b. Posto k =risulta A che ha polinomio caratteristico P ( ) =( )( + )( ) quindi A è diagonalizzabile poiché ha tre autovalori distinti: = = =. Una matrice invertibile P che diagonalizza A è P A infatti risulta Esercizio 5 P AP A Si consideri la funzione ': R R! R definita come A A. '(A B) =tr(ab) 8A B R dove R è lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine e tr(c) indica la traccia della matrice C. a. Verificare indicando le proprietà della traccia utilizzate che:. ' è lineare nel primo argomento. ' è simmetrica. Pertanto ' è una forma bilineare simmetrica sullo spazio vettoriale R. 4

24 b. Scrivere la matrice associata a ' rispetto alla base canonica di R. c. Determinare la segnatura della forma quadratica associata alla forma bilineare simmetrica '. Èveroche' definisce un prodotto scalare in R? d. Verificare che se A è una matrice non nulla diagonalizzabile allora '(A A) >. a. Per ogni A A B R risulta '(A + A B)=tr((A + A )B) =tr(a B + A B)= =tr(a B)+tr(A B)='(A B)+'(A B) inoltre per ogni A B R e per ogni R risulta '( A B) =tr(( A)B) =tr( (AB)) = tr(ab) = '(A B) avendo utilizzato la linearità della traccia. Per ogni A B R risulta b. Posto si ha '(A B) =tr(ab) =tr(ba) ='(BA). x x A = x x 4 y y B = y y 4 AB = x y + x y x y + x y 4 x y + x 4 y x y + x 4 y 4 e pertanto l espressione polinomiale della forma bilineare simmetrica ' rispetto alla base canonica di R è '(A B) =tr(ab) =x y + x y + x y + x 4 y 4 quindi la matrice associata a ' rispetto alla base canonica di R è M = B A. c. Il polinomio caratteristico della matrice M calcolata al punto precedente è P ( )=( ) ( + ) pertanto la segnatura della forma quadratica associata alla forma bilineare ' è ( ). Ne segue che ' non definisce un prodotto scalare poiché la forma quadratica ad essa associata non è definita positiva.! 5

25 Si può anche osservare che: esistono matrici A R tali che '(A A) < ad esempio per A = '(A A) = ; si ha oppure che esistono matrici non nulle A R tali che '(A A) = ad esempio A = e pertanto ' non può essere un prodotto scalare. d. Sia A una matrice non nulla diagonalizzabile allora A è simile ad una matrice diagonale D = con 6= ossia esiste una matrice invertibile P tale che D = P AP equindia = PDP. Ne segue che risulta A =(PDP )(PDP )=PD P dove D = ossia la matrice A è simile alla matrice diagonale D e pertanto '(A A) =tr(a )=tr(d )= + >. ; 6

26 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria Prova scritta del 9 febbraio Esercizio Sia f l endomorfismo dello spazio vettoriale R definito come: per ogni (x x x ) R. f((x x x )) = (x + kx x + x kx ) (k R) a. Stabilire per quali valori di k R l endomorfismo f è invertibile e per tali valori di k determinare l endomorfismo inverso. b. Stabilire per quali valori di k R l endomorfismo f è diagonalizzabile e per tali valori di k determinare una base di R formata da autovettori. c. Posto k = determinare la dimensione e una base di f(k) edif (K) dovek è il seguente sottospazio vettoriale di R : K = L(( ) ( 4)). a. La matrice associata ad f rispetto alla base canonica di R è k A A k quindi: f è invertibile se e solo se A è una matrice invertibile se e solo se det(a) =k 6=. Per ogni k 6= l endomorfismo f è i n v e r t i b i l e e i l s u o i n v e r s o f è l endomorfismo di R che ha come matrice associata rispetto alla base canonica la matrice inversa della matrice A ossia la matrice k B C b. Il polinomio caratteristico di f è : A = k k. C A P ( )= ( )( )( k)

27 pertanto se k 6= ek 6= allora f ha tre autovalori distinti = = = k dunque f è diagonalizzabile. Per tali valori di k una base di autovettori è ad esempio ( ) (k ) (k k (k )(k )). Per k = f ha due autovalori: = di molteplicità e = di molteplicità. L autospazio relativo all autovalore ha dimensione pertanto in questo caso f non è diagonalizzabile. Per k = f ha due autovalori: = di molteplicità e = di molteplicità. L autospazio relativo all autovalore ha dimensione pertanto in questo caso f non è diagonalizzabile. c. Dato K = L(( ) ( 4)) risulta f(( )) = ( ) f(( 4)) = ( ) per cui D altra parte ( f(k) =L(( )) dim(f(k)) =. 4) / im f = L(( ) ( )) e dunque edim(f (K)) =. Esercizio f (K) =f (K\im f) =f (L(( ))) = L(( ) ( )) Si consideri la forma bilineare simmetrica ': R 4 R 4! R la cui espressione polinomiale rispetto alla base canonica di R 4 è la seguente: '(x y) =x y +x y 4 +x 4 y per ogni x =(x x x x 4 ) y =(y y y y 4 ) R 4. Sia inoltre Q la forma quadratica associata alla forma bilineare simmetrica '. a. Classificare Q determinarne la segnatura e scrivere Q in forma normale esplicitando una base rispetto alla quale Q assume tale forma. b. Si consideri il seguente sottospazio vettoriale di R 4 : W = L(( ) ( )). Determinare delle equazioni una base e la dimensione del sottospazio vettoriale W ortogonale di W rispetto a '. Calcolare inoltre W\W. c. Determinare a partire dalla forma normale di Q una base di R 4 formata da vettori isotropi.

28 a. La matrice associata a ' eaq rispetto alla base canonica di R 4 è A = B A. Gli autovalori della matrice A sono: = m = = m = = m = pertanto la forma quadratica Q è degenere e indefinita di segnatura ( ). La forma normale di Q è Q(x) =z + z z dove (z z z z 4 ) sono le componenti del vettore x R 4 rispetto ad esempio alla base B = e = p e = p p e = p p e 4 =( ) b. Risulta dim(w )=e W = {(x x x x 4 ) R 4 x + x =} = L(( ) ( ) ( )) quindi edim(w\w ) =. W\W = L(( )) = ker ' c. I vettori v = e + e v = e + e v = e + e + p e e v 4 = e 4 che hanno componenti rispetto alla base B rispettivamente v = e + e $ (z z z z 4 )=( ) v = e + e $ (z z z z 4 )=( ) v = e + e + p e $ (z z z z 4 )=( p ) v 4 = e 4 $ (z z z z 4 )=( ) sono quattro vettori isotropi (lo si vede dalla forma normale di Q) e linearmente indipendenti pertanto tali vettori formano una base di R 4. Esercizio Nello spazio sia fissato un riferimento cartesiano R =(O x y z) =(O i j k).

29 a. Verificare che le rette ( x +z = r : y + z = 8 >< x =t s : y = +t >: z = t (t R) sono parallele e determinare il piano che le contiene. b. Determinare i piani paralleli al piano :x y +z + = che intersecano la sfera :x + y + z +4z 5 = lungo una circonferenza di raggio p 5. c. Determinare i piani tangenti alla sfera che sono ortogonali al vettore v = p j k. a. Il piano che contiene le rette r ed s ha equazione cartesiana x + y +z =. b. I piani paralleli a che intersecano lungo una circonferenza di raggio p 5 sono :x y +z = :x y +z + =. c. I piani tangenti a che sono ortogonali a v sono Esercizio 4 : p y z +4= : p y z 8=. Nel piano rispetto ad un riferimento cartesiano R =(O x y) è data la famiglia di coniche dipendente dal parametro reale a R. C a : a x +axy + y +xy +x = a. Classificare le coniche della famiglia C a al variare del parametro a R. Inoltre per i valori del parametro per cui si ha una conica degenere determinare le equazioni delle rette in cui si spezza tale conica. b. Posto a uguale al minimo intero tale che la conica C a sia una iperbole determinare le equazioni del movimento rigido che permette di ottenere il riferimento cartesiano rispetto al quale tale iperbole si scrive in forma canonica. (4 punti) 4

30 a. Si ottiene una conica degenere se e solo se a = e per tale valore del parametro l equazione della conica è C : y +xy +x = che si fattorizza come segue: C :(y + )(x + y ) = per cui C si spezza nell unione delle due rette di equazioni: y += x + y = incidenti nel punto ( ). Per a 6= si ottengono coniche non degeneri ovvero: per a< per a = per a> si hanno delle ellissi si ha una parabola (a 6= ) si hanno delle iperboli. b. Il minimo intero per cui C a è una iperbole è a = la cui equazione è C : x +4xy + y +x = e la sua forma canonica è X 9 Le equazioni del movimento rigido usato sono x y C A = p p p p Y =. X C B Y C A + C A. Esercizio 5 Si consideri lo spazio vettoriale R [x] dei polinomi nella indeterminata x a coe cienti reali di grado minore o uguale a. Si determini la base duale C della base C =(+x +x) dir [x] rispetto alla base B duale della base canonica B =(x)dir [x]. Siano B =(x) la base canonica di R [x] eb =( ) la sua base duale. La matrice P del cambiamento di base da B a C è P =. 5

31 La matrice Q del cambiamento di base da B a C è di conseguenza se C =( ) si ha: 8 >< Q =( t P ) = = + C A >: = + 6