Esercizi. 1. Disegnare il grafico qualitativo della seguente funzione:
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1 Esercizi. Disegnare il grafico qualitativo della seguente funzione: f(x) = x 2 per x 0 x per x > 0 e determinarne gli eventuali punti di massimo e minimo assoluti e relativi nell intervallo (,4].
2 Esercizi 2. Disegnare il grafico qualitativo della seguente funzione: f(x) = x 2 per x ln x per x > e determinarne gli eventuali punti di massimo e minimo assoluti e relativi in R.
3 Scale Logaritmiche Scala Logaritmica: sull asse prescelto (ad esempio, l asse x) si rappresenta il punto di ascissa = 0 0 nella direzione positiva si rappresentano, a distanze uguali fra di loro, i punti di ascissa 0, 0 2, 0,... nella direzione negativa si rappresentano, a distanze uguali fra di loro, i punti di ascissa 0, 0 2, 0,... i valori intermedi tra una potenza di 0 e la successiva (ad esempio, 2,,..., 9) sono posizionati in corrispondenza dei valori dei rispettivi logaritmi decimali Applicazioni: rappresentare misure positive con ordini di grandezza molto diversi fra loro linearizzare funzioni esponenziali y = K a x (scale semilogaritmiche) linearizzare funzioni potenza y = A x b (scale logaritmiche)
4 Carta Semilogaritmica Carta Semilogaritmica: scala lineare sull asse delle ascisse X e scala logaritmica sull asse delle ordinate Y (o viceversa) Trasformazione di variabili: X = x Y = log 0 y
5 Carta Logaritmica Carta Logaritmica: scala logaritmica sull asse delle ascisse X e scala logaritmica sull asse delle ordinate Y Trasformazione di variabili: X = log 0 x Y = log 0 y
6 Carte SemiLogaritmiche Data la funzione esponenziale y = K a x, passando ai logaritmi decimali e utilizzando le proprietà dei logaritmi, si ottiene log 0 y = log 0 (K a x ) log 0 y = log 0 K + x log 0 a Ponendo X = x e Y = log 0 y, si ha Y = log 0 K + X log 0 a, che è l equazione di una retta y = mx + q con coefficiente angolare m = log 0 a e intercetta q = log 0 K.
7 Carte Logaritmiche Data la funzione potenza y = K x b, passando ai logaritmi decimali e utilizzando le proprietà dei logaritmi, si ottiene log 0 y = log 0 (K x b ) log 0 y = log 0 K + b log 0 x Ponendo X = log 0 x e Y = log 0 y, si ha Y = log 0 K + b X, che è l equazione di una retta y = mx + q con coefficiente angolare m = b e intercetta q = log 0 K.
8 Carta SemiLogaritmica Esempio ( x y = ) ( log y = log(0.000) + x log 2) Y = 4 X log log
9 Carta Logaritmica Esempio 00 y = x 2 y = x y = x
10 Esercizi Esercizio. (a) In un grafico con scala semilogaritmica è rappresentata la retta di equazione Y = log (log 0 )X. Trovare il legame funzionale tra x e y, dove X = x e Y = log 0 y. (b) Trovare il ( coefficiente ) angolare della retta che rappresenta, su tale scala, la x funzione y =. Dire se tale coefficiente angolare è positivo o negativo. Soluzione: (a) Sostituendo le relazioni X = x e Y = log 0 y nell equazione della retta, si ha: log 0 y = log x log 0 = log 0 x log 0 2 = log 0 x da cui y = x 2. (b) Prendendo i logaritmi di entrambi i membri si ha: ( x log 0 y = log 0 = x log 0, da cui Y = ) quindi m = log 0 < 0. [ log 0 ( 2 )] x
11 Esercizi Esercizio 2. In un grafico con scala logaritmica (scala logaritmica sia sull asse delle ascisse che sull asse delle ordinate) (a) è rappresentata la retta di equazione Y = X+5. Trovare il legame funzionale tra x e y, dove X = log 0 x e Y = log 0 y ; (b) scrivere l equazione della retta che rappresenta su tale scala la funzione y = ( 2x). Soluzione: (a) Sostituiamo le relazioni X = log 0 x e Y = log 0 y nell equazione della retta. Otteniamo log 0 y = log 0 x + 5, da cui y = 0 log x+5 0 = 0 5 (0 log x 0 ) = , cioè y =. x x (b) Prendendo i logaritmi di entrambi i membri si ha: log 0 y = log 0 (2x) 2 = 2 log 0 2x, quindi la retta è Y = 2 X + 2 log 0 2.
12 Esercizi Esercizio. (a) In un grafico in scala semilogaritmica è rappresentata la retta di equazione Y = log (log 0 )X, dove X = x e Y = log 0 y. Trovare il corrispondente legame funzionale tra x e y. (b) Rispondere alla stessa domanda nel caso che sia assegnata su carta logaritmica la retta di equazione Y = log X, dove X = log 0 x e Y = log 0 y. Soluzione: (a) log 0 y = log x log 0 = log 0 (2 x ), da cui y = 2 x. (b) log 0 y = log log 0 x = log 0 x 2 5, da cui y = x2 5.
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