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1 Compito del 23 marzo 24 - Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti hanno più risposte corrette, e si considerano superati quando queste sono segnate tutte. 1. Il tempo di assestamento T a di un sistema del secondo ordine stabile: dipende solo dalla pulsazione naturale ω n; dipende solo dal coefficiente di smorzamento δ; dipende solo dalla parte reale dei poli; dipende solo dalla parte immaginaria dei poli Il segnale = 2sin(3t) é l ingresso del sistema. L uscita : s 2 (s+1) tende a zero; tende ad un valore costante non nullo; tende al valore di regime del tipo =A sin(3t + φ) (A e φ derivano da G(j3)); tende all infinito. 3. Il diagramma di Bode delle ampiezze di G(jω)=(1.1jω): è uguale a quello di G a(jω)=(1.1jω) 1 ; è ottenuto ribaltando attorno all asse ln ω quello di G a(jω)=(1.1jω) 1 ; è uguale a quello di G b (jω)=(1+.1jω); 4. Se la pendenza del diagramma di Bode delle ampiezze di un sistema a fase minima é non positiva per ogni valore della pulsazione: la fase é non positiva per qualsiasi ω; la fase é positiva per qualsiasi ω; la fase puó essere sia positiva che negativa. 5. Sia dato un sistema G(s) con tre poli reali stabili e nessuno zero. Posto G(s) in retroazione con un controllore C(s) = K>, si ottiene un sistema: sempre stabile K > esiste un valore di K per cui un polo (reale) diventa instabile esiste un valore di K per cui due poli (complessi coniugati) diventano instabili 6. Dato un sistema di tipo 1, l errore a regime è nullo per ingresso a gradino r(t) =R è costante per ingresso a rampa r(t) =R t è costante per ingresso a parabola r(t) =R t 2 7. La influenza sull uscita di variazioni parametriche di un sistema G(s) può essere diminuita utilizzando un solo controllore ad azione in avanti? No, mai Si,masoloseilsistemaè stabile Si, sempre 8. La coordinata σ A dell intersezione degli asintoti del luogo delle radici èdatada: σ A = 1 n n 1 pi σ A = 1 ( n n m 1 pi m 1 zi) σ A = 1 ( m n m 1 zi n 1 pi) 9. Una rete ritardatrice ha: l effetto benefico di ridurre il guadagno alle alte frequenze l effetto benefico di ritardare la fase in un certo range di frequenze un ritardo di fase φ m =9 o alle alte frequenze 1. Sia D(s) il regolatore utilizzato per controllare, in uno schema in retroazione, il sistema G(s). Nella sintesi del regolatore é possibile operare una cancellazione polo-zero: se un polo instabile di D(s) cancella uno zero instabile di G(s) se uno zero instabile di D(s) cancella un polo instabile di G(s) se un polo stabile di D(s) cancella uno zero stabile di G(s) se uno zero stabile di D(s) cancella un polo stabile di G(s)

2 Compito del 23 marzo 24 (secondo parziale) - Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti hanno più risposte corrette, e si considerano superati quando queste sono segnate tutte. 1. Il diagramma di Bode delle ampiezze di G(jω)=(1.1jω): è uguale a quello di G a(jω)=(1.1jω) 1 ; è ottenuto ribaltando attorno all asse ln ω quello di G a(jω)=(1.1jω) 1 ; è uguale a quello di G b (jω)=(1+.1jω); 2. Se la pendenza del diagramma di Bode delle ampiezze di un sistema a fase minima é non positiva per ogni valore della pulsazione: la fase é non positiva per qualsiasi ω; la fase é positiva per qualsiasi ω; la fase puó essere sia positiva che negativa. 3. L errore a regime in risposta al gradino unitario (errore di posizione) per un sistema con funzione di anello L(s), se è ben definito, si calcola come: e p = 1 1+L() e p = 1 L() e p = L() 1+L() 4. L anticipo di fase ottenibile attraverso una rete anticipatrice è un effetto negativo che deve essere opportunamente compensato non può mai essere superiore a 6 o è sempre un effetto benefico 5. Sia dato un sistema G(s) con tre poli reali stabili e nessuno zero. Posto G(s) in retroazione con un controllore C(s) = K>, si ottiene un sistema: sempre stabile K > esiste un valore di K per cui un polo (reale) diventa instabile esiste un valore di K per cui due poli (complessi coniugati) diventano instabili 6. Dato un sistema di tipo 1, l errore a regime è nullo per ingresso a gradino r(t) =R è costante per ingresso a rampa r(t) =R t è costante per ingresso a parabola r(t) =R t 2 7. La influenza sull uscita di variazioni parametriche di un sistema G(s) può essere diminuita utilizzando un solo controllore ad azione in avanti? No, mai Si,masoloseilsistemaè stabile Si, sempre 8. La coordinata σ A dell intersezione degli asintoti del luogo delle radici èdatada: σ A = 1 n n 1 pi σ A = 1 ( n n m 1 pi m 1 zi) σ A = 1 ( m n m 1 zi n 1 pi) 9. Una rete ritardatrice ha: l effetto benefico di ridurre il guadagno alle alte frequenze l effetto benefico di ritardare la fase in un certo range di frequenze un ritardo di fase φ m =9 o alle alte frequenze 1. Sia D(s) il regolatore utilizzato per controllare, in uno schema in retroazione, il sistema G(s). Nella sintesi del regolatore é possibile operare una cancellazione polo-zero: se un polo instabile di D(s) cancella uno zero instabile di G(s) se uno zero instabile di D(s) cancella un polo instabile di G(s) se un polo stabile di D(s) cancella uno zero stabile di G(s) se uno zero stabile di D(s) cancella un polo stabile di G(s)

3 Compito del 23 marzo 24 - Problemi Riportare la soluzione di ciascun problema nello spazio apposito. 1. Si consideri la seguente equazione differenziale: ÿ(t)+6ẏ(t)+13 =3ẍ(t)+32ẋ(t)+117 a) Si determini la corrispondente funzione di trasferimento Y (s) X(s) b) Sfruttando le proprietà delle funzioni di trasferimento e delle trasformate di Laplace calcolare l andamento dell uscita quando in ingresso si ha =2e 7t. 2. Siadatoilseguenteschemaablocchi. d(t) G 4 - G 1 G 2 + G 1(s) = 1 s +1 G 2(s) = s +27 s +3 G 3 = s +5 s +27 G 4(s) = 1 (s +1)(s +3) G 3 a) Determinare le funzioni di trasferimento G x(s) =Y (s)/x(s) eg d (s) =Y (s)/d(s) ovex(s),d(s),y(s) sono rispettivamente le trasformate di Laplace dei segnali (ingresso), d(t) (disturbo) e (uscita). b) Determinare il valore a regime di quando = 5ed(t) = ; c) Determinare il valore a regime di quando = ed(t) = 4 + 2sin(2t); d) Determinare il valore a regime di quando = 1 e d(t) =sin(2t); 3. Si consideri lo schema a blocchi di figura. e(t) R(s) G(s) - dove R(s) =R 1(s)R 2(s) con R 1(s) = 1 1+τs e R2(s) =, s 1+ατs a) Disegnare i diagrammi (asintotici) di Bode di R 1(s)G(s). b) Riportare i valori della pulsazione di incrocio ω c, del margine di fase M f edelmarginediampiezzam a di R 1(s)G(s). c) Utilizzando le formule di inversione (τ = M cos ϕ ω sin ϕ M cos ϕ 1, α = ) determinare i valori di τ e α della rete M(M cos ϕ) anticipatrice R 2(s) affinché la funzione d anello L(s) =R(s)G(s) abbia pulsazione di incrocio ω c =4rad/sec e margine di fase M f =65 o. d) Disegnare i diagrammi (asintotici) di Bode di L(s). 4. Con riferimento allo schema dell esercizio 3, in cui si considerino K(s +1) e R(s) = (s +66) a) Determinare per quali valori di K il sistema in retroazione è stabile. b) Determinare K in modo tale che l errore di posizione (e p( )) a fronte di un ingresso a gradino di ampiezza 4sia.1 5. Si tracci in modo qualitativo il luogo delle radici del sistema in retroazione dell esercizio 3, considerando K(s+1) e R(s) =, alvariaredik>. Si determinino con esattezza gli asintoti ed il baricentro del s luogo.

4 Compito del 23 marzo 24 (secondo parziale) - Problemi Riportare la soluzione di ciascun problema nello spazio apposito. 1. Si consideri lo schema a blocchi di figura. e(t) R(s) G(s) - dove R(s) =R 1(s)R 2(s) con R 1(s) = 1 1+τs e R2(s) =, s 1+ατs a) Disegnare i diagrammi (asintotici) di Bode di R 1(s)G(s). b) Riportare i valori della pulsazione di incrocio ω c, del margine di fase M f edelmarginediampiezzam a di R 1(s)G(s). c) Utilizzando le formule di inversione (τ = M cos ϕ ω sin ϕ M cos ϕ 1, α = ) determinare i valori di τ e α della rete M(M cos ϕ) anticipatrice R 2(s) affinché la funzione d anello L(s) =R(s)G(s) abbia pulsazione di incrocio ω c =4rad/sec e margine di fase M f =65 o. d) Disegnare i diagrammi (asintotici) di Bode di L(s). 2. Con riferimento allo schema dell esercizio 1, in cui si considerino K(s +1) e R(s) = (s +66) a) Determinare per quali valori di K il sistema in retroazione è stabile. b) Determinare K in modo tale che l errore di posizione (e p( )) a fronte di un ingresso a gradino di ampiezza 4sia.1 3. Si tracci in modo qualitativo il luogo delle radici del sistema in retroazione dell esercizio 1, considerando K(s+1) e R(s) =, alvariaredik>. Si determinino con esattezza gli asintoti ed il baricentro del s luogo.

5 Compito del 23 marzo 24 - Diagrammi di Bode Diagrammi di Bode di R 1(s)G(s) Bode Plot Magnitude (db) Phase (degrees) Frequency log scale Magnitude (db) Diagrammi di Bode di L(s) Bode Plot Phase (degrees) Frequency log scale