Rette 1. Matematica con Elementi di Statistica

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1 Rette 1 nel piano cartesiano ogni equazione di primo grado a +b +c = 0 con a e b non contemporaneamente nulli, rappresenta una retta e viceversa ogni retta può essere descritta con un equazione di questo tipo. due equazioni con coefficienti a, b, c proporzionali rappresentano la medesima retta, ad esempio: = 0 e = 0 CASI PARTICOLARI: 1. a = 0 : b +c = 0 rappresenta una retta orizzontale 2. b = 0 : a +c = 0 rappresenta una retta verticale

2 Rette 2 se b 0 l equazione della retta può essere riscritta, risolvendo rispetto ad = m+q dove m = a b, q = c b m si chiama coefficiente angolare, rappresenta la pendenza q rappresenta l ordinata dell intersezione con l asse verticale CONSIDERAZIONI: 1. una retta (con b 0 passa per l origine O = (0,0) se e solo se q = 0 2. due rette di equazioni = m+q e = m +q sono parallele se e solo se m = m 3. due rette di equazioni = m+q e = m +q sono perpendicolari se e solo se m = 1 m

3 Rette = m + q 1 = m 1 +q 2 = m 2 +q sottraendo membro a membro 2 1 = m( 2 1 ) m = , 2 O 1 2

4 Rette 4 RETTA PER DUE PUNTI: l equazione della retta passante per due punti assegnati P = ( 1, 1 ) e Q = ( 2, 2 ) può essere scritta = 1 2 1, = ( 1 )+ 1 EQUAZIONE PARAMETRICA: consiste nell esprimere e come funzioni di una variabile ausiliaria t (parametro) { = 0 +α t = 0 +β t descrive il moto di un punto, che percorre una retta con velocità uniforme e che all istante t = 0 si trova in P 0 = ( 0, 0 )

5 Funzione 1 il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze tale corrispondenza può essere data in svariati modi: da un rilevamento empirico da una formula (legge) ESEMPI: 1. la temperatura in un certo luogo in un dato intervallo di tempo 2. la quotazione giornaliera del Dollaro in Euro in un dato periodo 3. lo spazio percorso nel tempo da un corpo in caduta libera: s = 1 2 g t2 (moto uniformemente accelerato) 4. la relazione tra i lati, di un rettangolo di area unitaria = 1 da cui si ricava: = 1

6 Funzione 2 - Definizione Una funzione f è una legge che ad ogni elemento di un certo insieme D (dominio) fa corrispondere uno ed un solo elemento di un secondo insieme C (codominio). Si dice che è l immagine di tramite f e si scrive = f(). ESEMPI: 0 D f : D C C 0 = f() f : = f() 1. funzione costante: ogni funzione definita sul dominio D tale che f( 1 ) = f( 2 ) 1, 2 D 2. funzione identità: id D : D D definita da id D () = 3. successioni: funzioni definite Æ su f Æ : Ê i valori si indicano con a 1, a 2,, a n, anzichè f(1), f(2),, f(n),

7 Grafico COORDINATE CARTESIANE sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso utile nelle applicazioni) f() P = (, f() ) Sia = f() una funzione reale di variabile reale GRAFICO DI = f() insieme delle coppie (, f()) O

8 Funzioni - Esempi ESEMPI (funzioni reali di una variabile reale): 1. = f() = 2+1, Ê retta 2. = f() = 1, 0 iperbole equilatera 3. = f() =, 0 { 0 per É 4. = f() = É 1 per / funzione di Dirichlet si dice che f() è il valore della funzione f in variabile indipendente variabile dipendente

9 Funzioni Iniettive e Suriettive una funzione f : D C si dice iniettiva se elementi distinti di D hanno immagini distinte: 1 2 f( 1 ) f( 2 ) o, equivalentemente: f( 1 ) = f( 2 ) 1 = 2 una funzione f : D C si dice surgettiva se ogni elemento del codominio C è immagine di di qualche elemento del dominio. In simboli: C D / f() = una funzione f : D C contemporanemente iniettiva e surgettiva si dice biunivoca

10 Funzioni Biunivoche una funzione ESEMPI: f : D C si dice BIUNIVOCA (bigettiva) se ogni C è immagine di uno ed un solo elemento D. 1. D = C Ê = = 2 +1 è biunivoca: C è immagine di = 1 ( 1) D = C Ê = + = è biunivoca: C è immagine di = D Ê =, C Ê = + = 2 è biunivoca: C è immagine di =. 4. D Ê = +, C Ê = = 2 non è biunivoca: < 0 non è immagine di alcun. 5. D Ê =, C Ê = + = 2 non è biunivoca: = 4 è immagine di = ±2.

11 Insiemi di Numeri Reali INTERVALLI LIMITATI a,b Ê intervallo chiuso [a,b] = { Ê / a b} intervallo aperto (a,b) = { Ê / a < < b} intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra [a,b) = { Ê / a < b} intervallo chiuso a destra e aperto a sinistra (a,b] = { Ê / a < b} INTERVALLI ILLIMITATI a,b Ê [a,+ ) = { Ê / a} (,b] = { Ê / b} (a,+ ) = { Ê / > a} (,b) = { Ê / < b} (,+ ) = Ê Ê + = [0,+ ) = { Ê / 0} Ê = (,0] = { Ê / 0} INTORNI 0 Ê, δ > 0 si dice sl intorno del punto 0 di raggio δ l insieme: ( 0 δ, 0 +δ) = { Ê / 0 δ < < 0 +δ} = I δ ( 0 )

12 Operazioni sulle Funzioni OPERAZIONI ARITMETICHE: date due funzioni f(),g() a valori reali, sull intersezione dei due domini, si possono definire: 1. funzione somma: s() = f()+g() 2. funzione differenza: d() = f() g() 3. funzione prodotto: p() = f() g() 4. funzione quoziente: q() = f() se g() 0 g() ESEMPI: 1. somma: f() =, g() = 5 (f +g)() = prodotto: f() =, g() = +5 (f g)() = (+5) = quoziente: f() = +3, g() = 2 1 f +3 () = g f() =, g() = 2, h() = 5 f g h () = 2 5 qual è il dominio?

13 Funzioni Monotone 1 una funzione f : A Ê Ê si dice strettamente crescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) < f( 2 ). debolmente crescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ). strettamente decrescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) > f( 2 ). debolmente decrescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ). = f() = f() = f() 1 = f() O 1 2 O 1 2 O 1 2 O 1 2

14 Minimi e Massimi 1 minimo (detto anche minimo assoluto (globale)): 0 è punto di minimo se f() f( 0 ), A (dominio) massimo (detto anche massimo assoluto (globale)): 0 è punto di massimo se f() f( 0 ), A (dominio) minimo relativo (locale): si dice che in 0 la funzione ha un punto di minimo relativo se vicino a 0 assume solo valori maggiori o uguali di f( 0 ) ovvero 0 è punto di minimo relativo se δ > 0 tale che f() f( 0 ), ( 0 δ, 0 +δ) massimo relativo (locale): si dice che in 0 la funzione ha un punto di massimo relativo se vicino a 0 assume solo valori minori o uguali di f( 0 ) ovvero 0 è punto di massimo relativo se esiste δ > 0 tale che f() f( 0 ), ( 0 δ, 0 +δ)

15 Minimi e Massimi di Funzione - 2 = f() O a b punto di minimo assoluto, f( 1 ) valore minimo assoluto; 2 punto di massimo relativo, f( 2 ) valore massimo relativo; 3 punto di minimo relativo, f( 3 ) valore minimo relativo; b punto di massimo assoluto, f(b) valore massimo assoluto.