x + 1 x = x2 1 x 2 = 1 1 x 2., l equazione equivale a ln(1 + 3x) < 1 ; 1 + 3x < e ; x < e 1 3
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- Natalia Romano
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1 A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 08/9 PROVA INTERMEDIA DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05//08 Domanda. Trovare quoziente e resto della divisione di 3 + per + Possiamo usare la divisione di Ruffini. 0 3 Pertanto il quoziente è Q) = + e il resto è R = 3. Domanda. Abbiamo Semplificare l espressione + + = + + = + = =. Domanda 3. Risolvere l equazione e +/ = Con la condizione di esistenza 0, l equazione equivale a + = ln ; = ln ; = ln. Domanda 4. Risolvere la disequazione ln + 3) < 0 Con la condizione di esistenza + 3 > 0, cioè > 3, l equazione equivale a ln + 3) < ; + 3 < e ; < e 3. Tenendo conto della condizione di esistenza le soluzioni sono 3 < < e 3. Domanda 5. Disegnare nel piano cartesiano l insieme delle soluzioni della disequazione + + < 0 La disequazione si può scrivere come +) < e quindi si tratta della regione delimitata da un iperbole con asintoti paralleli agli assi cartesiani, centro in, 0) e rami che stanno nei corrispondenti del secondo e quarto quadrante. Il centro non soddisfa la disequazione 0 < è falsa) e quindi la regione è quella evidenziata in grigio.
2 A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 08/9 ln ln e ln e ln Domanda 6. Ottenendolo con le trasformazioni elementari, si disegni il grafico della funzione f) = ln Le trasformazioni sono riportate qui sopra. Domanda 7. Si determini l immagine cioè l insieme dei valori) della funzione f : [, ] R, con f) = ) Il grafico della funzione è rappresentato in blu qui a fianco. Si osservi che f ) = 9 4 e f) =. Pertanto l insieme dei valori che la funzione assume nell intervallo [, ] è l intervallo [ 9 4, 0]. Domanda 8. Si calcoli il lim 0 ln ) e / Con l algebra dei limiti ln ) lim = ln 0 ) = ln0+ ) 0 e / e /0 e = 0 + =. / 9/4 Domanda 9. Si calcoli la derivata della funzione f) = e +/ f ) = e +/ + e +/ ) = e +/ ). Domanda 0. Si trovino gli eventuali punti stazionari della funzione f) = + La derivata è f ) = +. I punti stazionari si cercano annullando la derivata e quindi risolvendo l equazione + = 0 =, che però è impossibile. Non ci sono punti stazionari.
3 A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 08/9 3 PROVA INTERMEDIA DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05//08 Domanda. Trovare quoziente e resto della divisione di per + Possiamo usare la divisione di Ruffini Pertanto il quoziente è Q) = 3 + e il resto è R = 3. Domanda. Abbiamo Semplificare l espressione + + = = + = =. Domanda 3. Risolvere l equazione e / = 3 Con la condizione di esistenza 0, l equazione equivale a = ln 3 ; = ln 3 ; = ln 3. Domanda 4. Risolvere la disequazione ln 3) < 0 Con la condizione di esistenza 3 > 0, cioè < 3, l equazione equivale a ln 3) < ; 3 < e ; > e 3. Tenendo conto della condizione di esistenza le soluzioni sono e 3 < < 3. Domanda 5. Disegnare nel piano cartesiano l insieme delle soluzioni della disequazione + + < 0 La disequazione si può scrivere come +) < e quindi si tratta della regione delimitata da un iperbole con asintoti paralleli agli assi cartesiani, centro in 0, ) e rami che stanno nei corrispondenti del secondo e quarto quadrante. Il centro non soddisfa la disequazione 0 < è falsa) e quindi la regione è quella evidenziata in grigio.
4 A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 08/9 4 Domanda 6. Ottenendolo con le trasformazioni elementari, si disegni il grafico della funzione f) = Le trasformazioni sono riportate qui sopra. Domanda 7. Si determini l immagine cioè l insieme dei valori) della funzione f : [, ] R, con f) = +) Il grafico della funzione è rappresentato in blu qui a fianco. Si osservi che f ) = e f ) = 9 4. Pertanto l insieme dei valori che la funzione assume nell intervallo [, ] è l intervallo [ 9 4, 0]. e / Domanda 8. Si calcoli il lim 0 + ln Con l algebra dei limiti e / lim 0 + ln = e/0 + ln0 + ) = e = 0+ = 0. 9/4 / Domanda 9. Si calcoli la derivata della funzione f) = e + f ) = e + + e + = e+ + ). Domanda 0. Si trovino gli eventuali punti stazionari della funzione f) = + ln La derivata è f ) = +. I punti stazionari si cercano annullando la derivata e quindi risolvendo l equazione + = 0 = =, che però non è accettabile. Non ci sono punti stazionari.
5 A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 08/9 5 PROVA INTERMEDIA DI MATEMATICA II parte Vicenza, 09//08 ESERCIZIO. Data la funzione f) = e se ne disegni un grafico, servendosi delle trasformazioni elementari. Si determinino il sup f e l inf f e si dica se ci sono punti di massimo o di minimo locali/globali) Si scriva l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 =. Si scriva infine l espressione della funzione fln ), semplificandola. Le trasformazioni grafiche elementari della funzione esponenziale sono le seguenti. e e e e e Dal grafico possiamo affermare che i valori che la funzione f assume sono dati dall intervallo [0, + ). Quindi il sup f l estremo superiore di f) è + f non è superiormente limitata) e l inf f l estremo inferiore di f) è 0. Non ci sono punti di massimo, ma c è un punto di minimo globale, = 0, in cui f assume il suo valore minimo 0. Per scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = dobbiamo prima scrivere l espressione della funzione togliendo il valore assoluto. Possiamo scrivere Dato che allora abbiamo f) = e = { e se e 0 e se e < 0. e 0 e 0 0, f) = { e se 0 e se < 0. Pertanto, per avere l equazione della retta tangente in 0 =, serve la seconda espressione, quella per < 0. Dato che per < 0 si ha f ) = e, abbiamo L equazione è quindi Infine, per quanto riguarda l ultima domanda, si ha f) = e = e e f ) = e. = f 0 ) + f 0 ) 0 ) cioè = e e + ). fln ) = e ln = e ln =. ESERCIZIO. Data la funzione { f) = 0 ) 0 < + 3 se ne disegni un grafico, usando le trasformazioni grafiche elementari. Si dica se alla funzione f è applicabile il teorema di Rolle nell intervallo [, + 3 ]. Si trovi infine in quali punti è verificata la tesi del teorema. Il grafico sulle negative è una retta per l origine di pendenza. Le trasformazioni della funzione polinomiale sono riportate nella pagina seguente. Tema del 09//08 II parte Prova intermedia)
6 A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 08/9 6 ) ) Il grafico della funzione f è qui a destra. Stabilire se il teorema di Rolle è applicabile significa stabilire se le sue ipotesi sono verificate. Queste sono: funzione continua nell intervallo [, + 3 ], derivabile nei punti interni a tale intervallo e infine uguale valore agli estremi, cioè f) = f + 3). Iniziamo dalla più semplice, l ultima. Si ha f) = ) = e f + 3) = + 3 ) = 3 =. + 3 Passiamo alla continuità. Possiamo affermare che f è certamente continua negli intervalli [, 0 ) e 0, + 3 ], dato che in questi è una trasformazione di funzioni elementari. Occorre verificare la continuità in = 0. Il grafico ci dice che f è continua in 0, ma facciamolo anche con la definizione. La funzione è continua da sinistra in 0, dato che in = 0 e in un intorno sinistro di 0 coincide con la funzione lineare. Quindi è sufficiente verificare la continuità in zero da destra. Faccio notare che da destra non possiamo utilizzare lo stesso argomento di prima, dato che nel punto = 0 la funzione assume il suo valore attraverso la funzione lineare, mentre a destra è una funzione di secondo grado. La continuità anche da destra deriva dall uguaglianza tra f0) = 0 = 0 e lim f) = lim 0 + ) ) = ) = La funzione è dunque continua in tutto l intervallo [, + 3]. Passiamo alla derivabilità. In modo analogo a quanto fatto con la continuità, possiamo affermare che la funzione f è certamente derivabile negli intervalli, 0 ) e 0, + 3 ), dato che in questi è trasformazione di funzioni elementari. Possiamo scrivere { f se < < 0 ) = ) se 0 < < + 3. Quindi si ha f 0) = lim f ) = lim 0 0 ) = e f +0) = lim f ) = lim ) = Pertanto f è derivabile anche in = 0. Il teorema di Rolle è dunque applicabile. Passiamo all ultima domanda: in quali punti è verificata la tesi del teorema. La tesi è che c è un punto interno all intervallo in cui la derivata si annulla. Tale punto non può essere ovviamente negativo e non è nemmeno = 0, perché abbiamo appena trovato che f 0) =. Con le positive f ) = ) si annulla in = ed è quindi questo l unico punto che verifica la tesi del teorema. ESERCIZIO 3. Data la funzione f) = + e se ne determini il dominio e si calcolino i limiti significativi. Si calcoli la derivata di f e si trovino i punti stazionari. Si disegni un possibile grafico di f. Si dica infine quante soluzioni ha l equazione f) + = 0. Non ci sono condizioni di esistenza da porre. La funzione è definita in tutto R. I limiti significativi sono pertanto + e. Il primo si può fare con l algebra dei limiti. lim f) = lim + e ) = + + e = = Il secondo è una forma indeterminata. lim f) = lim + e ) = + e + = + = +. Tema del 09//08 II parte Prova intermedia)
7 A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 08/9 7 In modo poco formale ma sostanzialmente corretto possiamo osservare che e è un infinito di tipo esponenziale e quindi prevale sull infinito di tipo potenza ). Il limite è allora +. Più rigorosamente possiamo usare un cambio di variabile per ricondurci al confronto standard. Ponendo = t il limite diventa lim t + e t ) = lim t + t + et te t + e t ). Tra parentesi il primo termine tende a zero confronto standard) e il terzo tende ugualmente a zero in quanto è una forma +. Quindi il limite è ora nella forma + = +. Il segno della funzione non è richiesto. La derivata di f è f ) = e. I punti stazionari si cercano annullando la derivata. Quindi f ) = 0 e = 0 e = = ln = ln. Questo è l unico punto stazionario della funzione. Dato che i limiti sono entrambi + e quello trovato è l unico punto stazionario, questo non può essere che il punto di minimo globale della funzione. In ogni caso il facile studio del segno della derivata porta a questa conclusione. f ) > 0 e > 0 e < < ln > ln. La funzione è quindi decrescente fino a ln e poi crescente. Per disegnare un grafico più preciso è utile calcolare f ln ) = ln + e ln = ln + = ln, che è un valore negativo. Un possibile grafico di f è riportato qui sotto a sinistra. ln ln ln ln Concludiamo con l ultima domanda: quante soluzioni ha l equazione f) + = 0. Faccio notare che non viene chiesto di trovare questi punti, ma solo di dire quanti sono. L equazione equivale a f) = e quindi significa cercare in quanti punti la funzione assume il valore. Nel grafico si può trovare facilmente l altezza della funzione all origine, cioè l intersezione tra il grafico e l asse verticale. Si ha f0) = e 0 =. Pertanto, dato che il minimo della funzione è certamente minore di, la funzione assume il valore in due punti, di cui uno è = 0 e l altro è un minore di ln vedi grafico qui sopra a destra). Non siamo in grado di risolvere l equazione +e =, cioè +e =, dato che questa non rientra in nessuna delle categorie che abbiano studiato: non è un equazione intera e non è un equazione esponenziale dei casi che sappiamo risolvere. Invito gli studenti a riflettere sul fatto che tra le equazioni esponenziali quelle in cui la compare ad esponente) abbiamo un metodo per trovare una soluzione esatta soltanto in casi particolari. Tema del 09//08 II parte Prova intermedia)
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