ANALISI MATEMATICA 2 - INGEGNERIA MECCANICA ED ENERGETICA A.A PROVA SCRITTA DEL 28/1/19

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1 ANALISI MATEMATICA - INGEGNERIA MECCANICA E ENERGETICA A.A. 8-9 PROVA SCRITTA EL 8//9 Scrivere nome cognome e numero di matricola in stampatello su tutti i fogli da consegnare. Consegnare solo la bella copia. Solo gli svolgimenti motivati e scritti chiaramente saranno presi in considerazione.. ata la funzione fx y z = x y z + x z + a se ne determinino i punti stazionari in R e la loro natura; b se ne determinino se esistono il massimo e il minimo assoluti nell insieme = {x y z R : x + y + z }. Soluzione. a I punti stazionari di f sono le soluzioni del sistema f x x y z = x + = f y x y z = y = f z x y z = z =. unque l unico punto stazionario è. Per studiarne la natura calcoliamo l hessiano di f che è chiaramente fx y z = che è indipendente da x y z ed è ovviamente indefinito poiché ha autovalori e dunque è un punto di sella. b è la palla chiusa di centro l origine e raggio ed è quindi compatto. Pertanto per il teorema di Weierstarss esistono min f e max f che devono trovarsi su = {x y z R : x + y + z = } in quanto come visto sopra f non ha massimi né minimi relativi in. unque min f e max f vanno cercati tra i punti stazionari di f vincolati a. Questi ultimi in base al metodo dei moltiplicatori di Lagrange sono le soluzioni del sistema x + λx = x λ + = y λy = y + λ = z λz = z + λ = x + y + z =. La seconda equazione ha le soluzioni y = o λ =. Sostituendo quest ultima nella terza equazione si ottiene l equazione impossibile = dunque λ. Analogamente si vede dalla prima equazione che λ. unque il sistema è equivalente a x = λ y = z = +λ x + z =. Sostituendo la prima e la terza equazione nella quarta si ha λ + + λ = + λ + λ = λ λ 6λ = che ha soluzioni λ = ±. I corrispondenti punti stazionari di f vincolati a sono pertanto

2 avendo usato il fatto che ± 6 = 6. Il primo punto è il punto di sella determinato sopra quindi non può essere né un massimo né un minimo. Per quanto riguarda gli altri due si ha f = = + f = = e pertanto min f = max f = +.. Calcolare l integrale x + y dxdydz dove := {x y z R x : +y + z y }. Soluzione. Essendo invariante per x x la parte dispari in x dell integrando dà contributo nullo: x + y dxdydz = y dxdydz In coordinate cilindriche x = r cos θ y = r sin θ z = z il dominio di integrazione si trasforma in { E = r θ z R r } : + z r sin θ = { r θ z R : θ π r e dunque l integrale considerato diventa π dθ sin θ r r dr r dz = r z r dr r r dove si è usato π dθ sin θ = [ cos θ]π =. Facendo allora il cambiamento di variabile r = sin t t [ π ] tramite il quale r = sin t = cos t non negativo per t [ π ] si ottiene π dr r r = cos t sin t cos t = π sin t = π cos t = π. Alternativamente essendo un semi-ellissoide di semiassi e rispettivamente lungo gli assi x y z si possono usare coordinate sferico-ellittiche: x = r cos θ sin ϕ y = r sin θ sin ϕ r θ π ϕ π z = r cos ϕ il cui jacobiano J è chiaramente uguale a quello delle coordinate sferiche con le prime due righe moltiplicate per e dunque det J = r sin ϕ. Essendo allora chiaramente x +y + z = r l insieme di integrazione si trasforma in F = {r θ ϕ R : r θ π ϕ π} e l integrale considerato diventa y dxdydz = π dϕ π dθ = 8 π dϕ sin ϕ π dr 8r sin θ sin ϕ dθ sin θ } dr r = 8 π = π

3 avendo usato π dϕ sin ϕ = π dϕ cos ϕ = π.. Calcolare l integrale curvilineo del campo vettoriale x y fx y = x + y xy + xx + y x + y sulla curva t = t log t t [ ]. Soluzione. Siano P x y = x y x + y Qx y = xy + xx + y xy x + y = x + y + x le due componenti del campo f. Avendosi P y x y = yx + y yx y x + y x + y = y y x x + y Q x x y = yx + y 8x yx + y x + y + = y y x x + y + si vede che f non è irrotazionale e dunque nemmeno conservativo. Si vede anche però che definendo i due campi vettoriali x y f x y = x + y xy x + y f x y = x f è irrotazionale e f = f + f. Inoltre il dominio di f che è R \ { } non è semplicemente conneso ma essendo il sostegno di contenuto nel semipiano {x y R : x > } che è semplicemente connesso f ristretto a tale insieme sarà conservativo. Per determinarne un potenziale calcoliamo xy Ux y = x + y dy = t = x + y = x t = x x + y + gx e iponendo U x = x y x +y si deduce che g x = da cui gx = c quindi anche U è definito su R \ { } e dunque in realtà f è conservativo in tutto il suo dominio. Pertanto f = U log U = + log e d altra parte chiaramente f = t t = e in conclusione f = +log. In alternativa si può applicare il teorema di Gauss-Green all insieme := {x y R : x y log x} la cui frontiera è l unione dei sostegni della curva data e di quelli dei segmenti σ t = t t [ ] e σ t = t t [ log ]. Tenendo allora conto del fatto che l orientazione positiva di è opposta a quella indotta dall orientazione positiva di mentre quelle di σ σ coincidono con quest ultima si avrà log f = f + P t + Q t. + Calcoliamo i due ultimi integrali: log P t = t = log t Q t = + t + = + t = + log + + log. log + log

4 altra parte per il teorema di Gauss-Green e per quanto visto sopra Q f P = x y x y dxdy = dxdy = + x y = x log x x = log. dx log x Pertanto f = log + + log + + log = + log.. Calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale attraverso la superficie fx y z = y x e z Σ = {x y z R : z = 9 x y z } orientata in modo che il versore normale abbia la terza componente non negativa. Soluzione. Per il teorema di Stokes rot f n = f Σ + Σ + e il bordo di Σ Σ = {x y z R : x + y = 9 z = } ha come parametrizzazione positiva t = cos t sin t t [ π]. Pertanto il flusso richiesto è π f = 9 sin t + 7 cos t Σ + π cos t π = sin tdsin t = 9 [ ] π [ ] π sin t t + 7 sin t sin t = 9π. Un altro metodo consiste nel calcolare direttamente il flusso richiesto tramite la definizione. La superficie Σ è cartesiana e dunque un vettore normale positivo è dato da n = x 9 x y y 9 x y = x y inoltre e quindi rot f n = Σ + e e e rot f = det x y z = x + y x e z {x +y 9} x + dxdy = {x +y 9} dxdy = 9π avendo usato nell ultima uguaglianza il fatto che {x + y 9} è invariante per x x e dunque l integrale di x su tale insieme è nullo per parità. 5. ata l equazione differenziale y y y = t t + t > a esprimerne l integrale generale tramite funzioni note e integrali di funzioni note; b dire se esistono soluzioni tali che lim t + yt esista finito e calcolarlo.

5 Soluzione. a Il polinomio caratterstico dell equazione omogenea pλ = λ λ ha le radici distinte λ = λ = e dunque l equazione omogenea ha le soluzioni linearmente indipendenti y t = e t y t = e t con wronskiano e t e W t = t e t e t. Per ottenere una soluzione dell equazione non omogenea è necessario usare il metodo variazione delle costanti non essendo il termine noto un quasi-polinomio. La seconda colonna di W t è dunque W t = e t e t e t = et e t e quindi l integrale generale dell equazione data è yt = ae t + be t e t t b L integrale generale si può riscrivere come yt = ae t + b + t ds e s s s + ds e s s s + + et t e t e t t ds e s s s +. ds e s s s +. Poiché allora chiaramente + ds e s s s+ = + la funzione integranda diverge esponenzialmente per s + si ha t lim t + e t ds e s s s + = lim t + t s ds es s+ e t = = lim e t t t+ t t + e t = lim t + t + = avendo usato la regola di de l Hopital. Si vede allora che il primo e il terzo termine di yt hanno limite finito per t + e dunque affinché esista finito lim t + yt è necessario che b = + s s ds e s+ che è chiaramente finito. Inoltre per tale valore di b si ha usando ancora de l Hopital lim b + t ds e s s b + t s e t ds e s s+ = lim t + s + t + e t = = lim t + t e t t+ e t = 6. In definitiva lim t + yt esiste finito se e solo se b = lim t + yt = 6 =. + ds e s s s+ e in tal caso 5