Elementi di Psicometria (con laboratorio software 1)

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Lidia Nanni
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1 Elementi di Psicometria (con laboratorio software 1) ADD - 01-Concetti ulteriori (v. 1.0, 24 marzo 2019) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

2 Indici di posizione - Quantili Dopo aver ordinato i valori di una distribuzione, possiamo suddividere l intera distribuzione di frequenza in n parti uguali. Se divisa in 100 parti, Centili (C 1, C 2..., C 99 ) o Percentili (P 1, P 2... ) se divisa in 10 parti, Decili (D 1, D 2..., D 9 ) se divisa in 4 parti, Quartili (Q 1, Q 2, Q 3 ) se divisa in 3 parti, Terzili Notate che D 1 = P 10, e così via Q 1 = P 25, Q 2 = P 50 = D 5 è anche chiamato Mediana, Q 3 = P 75 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

3 Quartili I quartili suddividono la distribuzione in 4 parti uguali Q 1 Q 2 Q 3 Si usano solitamente il primo e il terzo quartile (Q1 e Q3) Q1 ha sotto di sé il 25% dei dati 25% 75% Q2 ha sotto di sé il 50% dei dati 50% 50% Q3 ha sotto di sé il 75% dei dati 75% 25% G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

4 Quartili: formule La posizione in cui cadono un quartile si trova con: Q 1 = 1 (N + 1) (N + 1) = 4 4 Q 2 = 2 2(N + 1) (N + 1) = = N Q 3 = 3 3(N + 1) (N + 1) = 4 4 Se la posizione trovata non è un intero, si tronca (ovvero si usa l intero inferiore) Una volta trovata la posizione si identifica il valore del quartile (il valore che corrisponde alla posizione) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

5 Quartili Esempio Q1 = (1/4)*(15+1)=16/4=4 Q1=8 Q2 = (15+1)/2 = 8 Q2=16 Q3 = (3/4)*(15+1)=48/4=12 Q3=24 Esercizio Q1 =? 2 Q2 =? 3 Q3 =? G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

6 Quartili Esempio Q1 = (1/4)*(15+1)=16/4=4 Q1=8 Q2 = (15+1)/2 = 8 Q2=16 Q3 = (3/4)*(15+1)=48/4=12 Q3=24 Esercizio Q1 =? 2 Q2 =? 3 Q3 =? Soluzione N=6; pos=1.75; Q1=2 2 N=6; pos=3.5; Q2=5 3 N=6; pos=5.25; Q3=10 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

7 Spss: n-tili (Frequenze) In Statistiche... Quartili calcola i quartili Punti di divisione divide in n parti uguali Percentili : scrivere il/i percentile/i deciderato/i e Aggiungi Qui abbiamo chiesto: i quartili, i terzili e il 45esimo percentile G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

8 Spss: Esplora... Dopo aver scelto le variabili, metterle in Variabili dipendenti poi click-are su Statistiche... scegliere Percentili e Quindi, click-are su Continua Poi OK G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

9 Spss: Esplora... Esplora non permette di scegliere i percentili, ma fornisce alcuni valori notevoli I tre quartili e i valori corrispondenti al 5% e 10% su entrambi i lati. Questi valori hanno particolarmente senso con variabili normali (capiremo più avanti). G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

10 Misure di variabilità: campo di variazione Il campo di variazione o gamma (di oscillazione) o range o intervallo (per SPSS) è la differenza fra il valore massimo e quello minimo gamma = max min Esempio valori campo var = =10 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

11 Misure di variabilità: differenza interquartilica La differenza interquartilica (DI, IQR) è la differenza fra il terzo e il primo quartile IQR = Q 3 Q 1 Esempio e corrisponde al 50% centrale dei valori della distribuzione valori Q3-Q1 IQR La semi-differenza interquartilica è la metà dell IQR e corrisponde al 25% dei valori sopra o sotto la mediana G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

12 Diagramma a scatola e baffi Il diagramma a scatola e baffi (box-and-whiskers) è stato ideato da Tukey nell ambito della EDA (Exploratory data analysis). È più spesso chiamato box-plot Tukey's Boxplot max Q3 Mdn Q1 La scatola è formata dai valori corrispondenti al primo e al terzo quartile min La linea spessa dentro la scatola corrisponde alla mediana I baffi rappresentano cose diverse in base ai software: come primo approccio useremo i valori minimo e massimo G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

13 Grafico a scatola [Box-plot] (I/R) Tukey's Boxplot max Q3 Mdn Q1 variabile ordinata: N=41; min=22; Q1(10)=27; Mdn(21)=34; Q3(31)=42; max=54 min G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

14 Grafico a scatola In realtà i box-plot di SPSS ed R non visualizzano i valori minimo e massimo Al loro posto viene usata la semi-differenza interquartilica moltiplicata per 1,5; in una distribuzione normale, questo valore è quasi sempre oltre il massimo e oltre il minimo (quindi si visualizzano max e min) inoltre visualizzano i singoli valori anomali (i valori oltre i baffi), evidenziando quindi le code asimmetriche L utilità dei box-plot è più evidente se si incrociano con una variabile categoriale, perché si possono fare confronti sulle distribuzioni dei sotto-campioni G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

15 Grafico a scatola (I/R) Vendita biglietti cinema variabile ordinata: SIQR: ( )/2 * 1.5 = 57 baffi: =127 e =317 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

16 Grafico a scatola (I/R) suddiviso (N/O) Fondamentalismo Per ogni valore della variabile di raggruppamento, viene prodotto un box-plot In questo modo si possono vedere le differenze di distribuzione CrNPr CrPr NCrNPr NCrPr Credente G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

17 Spss: Box-plot (Esplora) Spss produce i box-plot tramite Analizza Statistiche descrittive Grafici... Esplora... e dal pulsante assicuratevi di aver attivato una delle prime due opzioni di Grafici a scatola Se avete selezionato più variabili, Un grafico ogni dipendente produce grafici separati Dipendenti insieme produce un unico grafico G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

18 Spss: Box-plot Esempio di box-plot di Spss i pallini indicano anomali con z 2: gli asterischi con z 3 i numerini indicano il caso statistico G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

19 Misure di normalità: curtosi e asimmetria Curtosi: è il grado di piattezza della curva della densità delle frequenze rispetto ad una curva particolare che è la normale (in SPSS, valore di riferimento = 0); Probabilità Curva normale con M=0 (sd=1) Asimmetria: è il grado di asimmetria della curva della densità delle frequenze rispetto ad una curva particolare che è la normale (valore di riferimento = 0); x G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

20 Cos è la sommatoria La somma di un certo numero di valori (anche diversi fra loro) è indicata con il simbolo sommatoria ( ) Perciò N X i i=1 (3, 4, 5)=12 significa sommare tutti i valori che la variabile X può assumere iniziando con il primo valore (i=1) fino al valore N-esimo (i=n) Contatore Valori G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

21 Sommatoria Si possono usare anche versioni più sintetiche: Xi o X che significano la stessa cosa, in quanto si sottintendono gli indici Se si usano più indici ( Xij ) si fa riferimento a due diversi contatori (ad es. per indicare gli elementi di riga e di colonna di una tabella) In una tabella, il primo indice indica le righe e il secondo le colonne I totali rispetto ad un certo contatore si indicano con un punto ( X.j, Xi. e X.. ) X.j -> totale di colonna Xi. -> totale di riga X.. -> totale generale G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

22 Sommatoria La sommatoria può essere usata come un altro tipo di operazione Valori X ( X ) 2 X (12) 2 50 È diverso sommare i quadrati X 2 o elevare a quadrato una somma ( X ) 2 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

23 Sommatoria: Regole Proprietà e regole della sommatoria (con X e Y variabili) 1 La sommatoria di una somma equivale alla somma delle sommatorie: (X + Y ) = X + Y 2 La sommatoria di una differenza equivale alla differenza delle sommatorie: (X Y ) = X Y 3 Ma la sommatoria di un prodotto non equivale al prodotto delle sommatorie: XY X Y 4 Quindi anche la sommatoria di una potenza non equivale alla potenza di una sommatoria: X 2 ( X ) 2 Suggerimento Potete fare delle prove a mano o in Excel seguendo gli esempi e gli esercizi del primo capitolo del testo. G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

24 Sommatoria: Regole Proprietà e regole della sommatoria (con k=costante, X e Y variabili) 5 La sommatoria di una costante equivale a N volte la costante: k = Nk 6 Sommare una costante a dei valori equivale a sommare N volte la costante alla somma dei valori: (X + k) = X + Nk 7 Analogamente per la sottrazione: (X k) = X Nk 8 Moltiplicare una costante a dei valori equivale a moltiplicare la costante alla somma dei valori: kx = k X Suggerimento Potete fare delle prove direttamente in SPSS quando avrete iniziato a studiarlo. G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 23

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