1 RELAZIONE DELL ESPERIENZA DI LABORATORIO N.3 DEL DICEMBRE 2017 GRUPPO N.3

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1 1 RELAZIONE DELL ESPERIENZA DI LABORATORIO N.3 DEL DICEMBRE 2017 GRUPPO N.3 COMPONENTI DEL GRUPPO: 1. Castronovo Pietro 2. Giuffrè Jasmine 3. Nicoletti Gabriele 4. Palladino Pietro 5. Pellicane Francesco 6. Vutano Beatrice TITOLO Misura del periodo di oscillazione e della costante elastica della molla in un oscillatore armonico semplice. OBIETTIVI Mettendo in pratica le nozioni teoriche acquisite durante il corso delle lezioni: Misurare il periodo di oscillazione di un oscillatore armonico semplice; Determinare la costante elastica di una molla elicoidale. MATERIALE UTILIZZATO Oscillatore armonico semplice: sistema massa-molla; Supporto per l oscillatore; pesetti; Supporto per i pesetti; Cronometro digitale (risoluzione: 0.01s). PER L ANALISI GRAFICA DEI DATI RACCOLTI è stato utilizzato il software SCIDAVIS. CONOSCENZE TEORICHE NECESSARIE AD UN CORRETTO SVOLGIMENTO DELL ESPERIENZA: Conoscenza della forma standard per esprimere l incertezza di una grandezza fisica: x =(x best ± x) Conoscenza delle formule di propagazione degli errori, relativi ed assoluti, nelle misure indirette;

2 Conoscenza degli strumenti in dotazione, delle procedure di misurazione e delle modalità di lettura delle scale; Conoscenza delle leggi fisiche che governano il moto di un oscillatore armonico semplice; Conoscenza delle nozioni di frequenza (relativa ed assoluta), densità di frequenza, media, deviazione standard Conoscenza del software SCIDAVIS, per la rappresentazione e l analisi grafica dei dati, nonchè delle scale log-log e del metodo delle rette di massima e minima pendenza; Conoscenza della procedura di costruzione di un istogramma, sempre tramite SCIDAVIS. 2 PROCEDIMENTO: In laboratorio, dopo aver agganciato la molla elicoidale all apposito supporto, nonchè i pesetti (per una massa complessiva di 35g) alla molla, è stata effettuata, 20 volte per ciascun componente del gruppo, la misura del periodo corrispondente a 10 oscillazioni. Per far partire l oscillatore, si è spinto delicatamente verso l alto il supporto contenente i pesetti, quindi lo si è lasciato libero di muoversi. (per comodità, riportiamo l intero set di 100 misure in Appendice A). In seguito, ogni componente del gruppo ha costruito, a partire dal proprio set di dati, un istogramma, avente in ascisse gli intervalli entro cui cadono i valori misurati, ed in ordinate la f i = F i F i = n i densità di frequenza, dove è la frequenza relativa (il rapporto tra il numero i N di valori che cadono all interno dell i-esimo intervallo ed il numero totale di misure), e Δi rappresenta la larghezza dell i-esimo intervallo (per comodità, tutti i Δi sono stati presi uguali a 0,05s). Inoltre, ciascuno ha ricavato dai propri dati e dal proprio istogramma: La media algebrica dei dati: x = 1 NX x i, N i=1 v u La deviazione standard dei dati: x = t 1 NX (x x), N 1 2 i=1 Il valore centrale del grafico, La deviazione standard tramite l istogramma: dell istogramma calcolata a metà altezza. x, dove λ rappresenta l ampiezza 2 Si riportano di seguito, per ciascun componente, la tabella con la distribuzione dei dati raccolti, l istogramma ed i valori delle quattro grandezze di cui sopra.

3 Operatore n. 1 3 Tabella 1.1 Intervallo ni Fi fi 6,10 x<6,15 1 0,05 1 6,15 x<6,20 1 0,05 1 6,20 x<6,25 3 0,15 3 6,25 x<6,30 8 0,4 8 6,30 x<6,35 4 0,2 4 6,35 x<6,40 2 0,1 2 6,40 x<6,45 1 0,05 1 6,45 x<6, ,50 x<6, ,55 x<6, Istogramma 1.2 Tabella 1.3 VALORE MEDIO ANALITICO (s) 6,28 VALORE CENTRALE DELL ISTOGRAMMA (s) 6,28 DEVIAZIONE STANDARD 0,07 λ/2 0,05

4 Operatore n.2 4 Tabella 2.1 Intervallo ni Fi fi 6,10 x<6,15 4 0,2 4 6,15 x<6,20 6 0,3 6 6,20 x<6,25 2 0,1 2 6,25 x<6,30 1 0,05 1 6,30 x<6,35 3 0,15 3 6,35 x<6, ,40 x<6,45 2 0,1 2 6,45 x 6,50 2 0,1 2 6,50 x<6, ,55 x<6, Istogramma 2.2 Tabella 2.3 VALORE MEDIO ANALITICO (s) 6,24 VALORE CENTRALE DELL ISTOGRAMMA (s) 6,25 DEVIAZIONE STANDARD 0,12 λ/2 0,12

5 Operatore n.3 5 Tabella 3.1 Intervallo ni Fi fi 6,10 x<6,15 1 0,05 1 6,15 x<6,20 2 0,1 2 6,20 x<6,25 3 0,15 3 6,25 x<6,30 4 0,2 4 6,30 x<6,35 2 0,1 2 6,35 x<6,40 3 0,15 3 6,40 x<6,45 1 0,05 1 6,45 x<6,50 2 0,1 2 6,50 x<6,55 1 0,05 1 6,55 x<6,60 1 0,05 1 Istogramma 3.2 Tabella 3.3 VALORE MEDIO ANALITICO (s) 6,31 VALORE CENTRALE DELL ISTOGRAMMA (s) 6,32 DEVIAZIONE STANDARD 0,12 λ/2 0,15

6 Operatore n.4 6 Tabella 4.1 Intervallo ni Fi fi 6,10 x<6, ,15 x<6, ,20 x<6,25 1 0,05 1 6,25 x<6,30 7 0,35 7 6,30 x<6,35 4 0,2 4 6,35 x<6,40 4 0,2 4 6,40 x<6,45 2 0,1 2 6,45 x<6,50 1 0,05 1 6,50 x<6,55 1 0,05 1 6,55 x<6, Istogramma 4.2 Tabella 4.3 VALORE MEDIO ANALITICO (s) 6,33 VALORE CENTRALE DELL ISTOGRAMMA (s) 6,34 DEVIAZIONE STANDARD 0,07 λ/2 0,08

7 Operatore n.5 7 Tabella 5.1 Intervallo ni Fi fi 6,10 x<6,15 1 0,05 1 6,15 x<6,20 3 0,15 3 6,20 x<6,25 1 0,05 1 6,25 x<6,30 3 0,15 3 6,30 x<6,35 5 0,25 5 6,35 x<6,40 2 0,1 2 6,40 x<6,45 1 0,05 1 6,45 x<6,50 4 0,2 4 6,50 x<6, ,55 x<6, Istogramma 5.2 Tabella 5.3 VALORE MEDIO ANALITICO (s) 6,31 VALORE CENTRALE DELL ISTOGRAMMA (s) 6,32 DEVIAZIONE STANDARD 0,12 λ/2 0,10

8 Successivamente, è stato realizzato un istogramma comprendente l intero set di misure, dal quale sono state calcolate, allo stesso modo, media e deviazione standard. Lo riportiamo di seguito. 8 Tabella 6.1 Intervallo ni Fi fi 6,10 x<6,15 7 0,35 7 6,15 x<6, ,6 12 6,20 x<6, ,5 10 6,25 x<6, , ,30 x<6, ,9 18 6,35 x<6, , ,40 x<6,45 7 0,35 7 6,45 x<6,50 9 0,45 9 6,50 x<6,55 2 0,1 2 6,55 x<6,60 1 0,05 1 Istogramma 6.2 Tabella 6.3 VALORE MEDIO ANALITICO (s) 6,30 VALORE CENTRALE DELL ISTOGRAMMA (s) 6,30 DEVIAZIONE STANDARD 0,10 λ/2 0,08

9 Infine, utilizzando questi ultimi dati, è stato calcolato il periodo di un oscillazione, e la relativa indeterminazione, come segue: 9 T best = x 10 q T = = 6, 30s 10 2 x N + 2 strum 10 =0, 630s, e q (0,08) (0, 01) 2 = =0, 003s 10 Concludiamo che l oscillatore armonico in dotazione ha periodo di oscillazione T =(0, 630 ± 0, 003)s. Durante la seconda parte dell esperienza, sono state effettuate, per ogni massa presa in considerazione, 20 misure del periodo di 10 oscillazioni. Le masse utilizzate, considerate prive d errore ed espresse in kg, sono riportate in tabella (7), insieme ai corrispondenti valori del periodo, calcolati come sopra. Tabella 7 Campione N. Massa (kg) Periodo T (s) δt (s) 1 0,015 0,409 0, ,025 0,529 0, ,035 0,630 0, ,045 0,702 0, ,055 0,779 0,004 E stata quindi calcolata, per ciascun periodo, la frequenza angolare! = 2 T T 2. Riportiamo i valori così trovati in tabella (8).! = 2 T, ed il relativo errore Tabella 8 Massa n. Periodo T (s) δt (s) Frequenza angolare ω (rad/s) δω (rad/s) 1 0,409 0,004 15,36 0,15 2 0,529 0,004 11,88 0,09 3 0,630 0,004 9,97 0,06 4 0,702 0,004 8,95 0,05 5 0,779 0,004 8,07 0,04

10 A questo punto, è stato costruito un grafico su scala log-log della frequenza angolare in funzione della massa (grafico (9)). La pendenza della retta così ottenuta è -1/2, e ciò conferma la relazione funzionale (*).! = r k m 10 Grafico 9

11 11 Infine, per calcolare la costante elastica della molla in dotazione, è stata applicata la procedura di linearizzazione. z = 1! 2 A tale scopo, è stato attuato il seguente cambio di variabile:. Riportiamo in tabella (10) i valori di z associati a ciascuna frequenza angolare, con il relativo errore z = 2!! 3 Tabella 9 Massa n. ω (rad/s) δω (rad/s) z (s 2 /rad 2 ) δz (s 2 /rad 2 ) 1 15,36 0,15 0, , ,88 0,09 0, , ,97 0,06 0, , ,95 0,05 0, , ,07 0,04 0, ,00015 Poichè, applicando il cambio di variabile di cui sopra alla (*), si ha! = r k m )!2 = k m ) m = k 1! 2 ) m = kz Costruiamo un grafico della massa in funzione di z (grafico (11)), il quale ci fornirà, attraverso il metodo delle rette di massima e minima pendenza, la miglior stima di k, la costante elastica della molla a nostra disposizione., Come è possibile constatare dal grafico (11), la retta di massima pendenza ha coefficiente angolare kmax=3,391 N/m, mentre la retta di minima pendenza ha coefficiente angolare kmin=3,322 N/m. É a questo punto possibile trovare valore best ed errore per la costante elastica k come: k, e min. k best = k max + k min 2 Tramite le opportune approssimazioni, siamo in grado di concludere che la molla in dotazione ha costante elastica pari a k = k max k =(3, 36 ± 0, 03)N/m. 2

12 Grafico 11 12

13 13 Appendice (A) - tutte le 100 misure della prima parte dell esperienza MISURA OPERATORE 1 OPERATORE 2 OPEERATORE 3 OPERATORE 4 OPERATORE 5 1 6,20 6,34 6,27 6,33 6,26 2 6,24 6,24 6,15 6,32 6,47 3 6,27 6,25 6,24 6,29 6,15 4 6,14 6,31 6,13 6,30 6,41 5 6,26 6,48 6,35 6,28 6,49 6 6,26 6,33 6,45 6,50 6,45 7 6,26 6,41 6,33 6,39 6,22 8 6,25 6,16 6,47 6,22 6,32 9 6,33 6,12 6,50 6,29 6, ,30 6,11 6,15 6,41 6, ,28 6,15 6,34 6,31 6, ,32 6,16 6,20 6,41 6, ,18 6,15 6,56 6,28 6, ,30 6,49 6,25 6,35 6, ,26 6,15 6,29 6,25 6, ,24 6,40 6,40 6,25 6, ,38 6,16 6,36 6,29 6, ,41 6,10 6,38 6,35 6, ,29 6,12 6,26 6,48 6, ,39 6,24 6,21 6,37 6,29

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