Ricerca Operativa A.A. 2007/ Dualità in Programmazione Lineare

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1 Ricerca Operativa A.A. 2007/ Dualità in Programmazione Lineare Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare 10.1 Soluzione di un problema di PL: punti di vista Problema di PL: Trovare il valore ottimo della funzione c T x su un poliedro P = {x 0 : Ax = b}. Punto di vista usuale (primale): 1. considero tutti gli x P (o i soli vertici di P) 2. calcolo c T x 3. scelgo il valore minimo Punto di vista alternativo (duale): 1. ipotizzo un valore c 0 per la funzione obiettivo 2. verifico c 0 c T x, x P (o vertici) 3. scelgo il valore di c 0 massimo min c T x Ax = b x 0 max c 0 c 0 c T x, x P c 0 c T v * z * c T v 1 c T v 2cT v 3 c T v 4 c T v 6 c T v 7 c T x Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare 10.2

2 Disuguaglianze valide Consideriamo il problema: max c 0 s.t. c T x c 0, x P (o soli vertici di P) Trovare il massimo c 0 che sia termine noto di una disuguaglianza del tipo c T x c 0, soddisfatta da tutti i punti di P (disuguaglianza valida per P). Si tratterebbe di risolvere un problema con 1 variabile (c 0 ) e tanti vincoli quanti sono i punti x P (o, per il teorema fondamentale della programmazione lineare, i vertici di P). In questo modello, x agisce da parametro e non da variabile: al variare di x in P (o nei vertici di P) si generano dei vincoli diversi. Ad esempio, fissando x = x, si ottiene il vincolo c 0 z, dove z è uno scalare z = c T x. Comunque troppi vincoli! [infiniti o ( ) n ] m Serve una caratterizzazione algebrica delle disuguaglianze del tipo c T x c 0, valida per P Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare 10.3 Disuguaglianze valide: condizioni sufficienti Cerchiamo condizioni (necessarie e sufficienti) perché c T x c 0 sia valida per P. x P Ax = b u T Ax = u T b, u R m Scegliamo opportuni u (moltiplicatori delle combinazioni lineari dei vincoli). Sotto la condizione u T A c T (ed essendo x 0) si ha: c T x u T Ax = u T b c T x u T b, x P Con l ulteriore condizione u T b c 0 si ha: In sintesi Cioé { u T A c T c T x u T b c 0 c T x c 0, x P u T b c 0 è condizione sufficiente perché c T x c 0 sia valida per P. u R m : u T A c T u T b c 0 c T x c 0, x P Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare 10.4

3 Disuguaglianze valide: condizioni necessarie Le condizioni sono anche necessarie (Se P ): Dimostrazione c T x c 0 valida per P u R m : u T A c T u T b c 0 validità c 0 z = min{c T x : x P } z limitato il simplesso converge alla soluzione ottima di base [x B, x F ]. Scegliamo u T = c T B B 1 : a) c T = c T c T B B 1 A = c T u T A c T 0 (x è ottimo) c T u T A b) c 0 z = c T x = c T B x B + ct F }{{} x F = c T B B 1 b = u T b c 0 u T b. =0 Lemma (caratterizzazione algebrica delle disuguaglianze valide): Dato P = {x R n : Ax = b, x 0}, P : c T x c 0, x P u R m : u T A c T u T b c 0 Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare 10.5 Coppia di problemi primale-duale (forma asimmetrica) minc T x Ax = b x 0 osserv. iniziali maxc 0 c T x c 0 x P lemma maxc 0 c 0 u T b c T u T A ottimo c 0 =u T b maxu T b c T u T A u R PROBLEMA PROBLEMA PRIMALE DUALE variabile x j R + vincolo c j u T A j vincolo a T i x = b i variabile u i R costi c T termini noti c T termini noti b i costi b i Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare 10.6

4 Duale di un prolema in forma simmetrica Nella forma asimmetrica siamo partiti da un PL in forma standard con l obiettivo di minorare c T x con c 0 : minc T x : Ax = b, x 0 c T x (1) u T Ax = (2) u T b c 0 (1) variabile primale x 0 vincolo duale di disuguaglianza c T u T A. (2) vincolo primale di uguaglianza variabile duale u non vincolata in segno. Consideriamo il problema primale nella forma (canonica) c T x u T Ax u T b c 0 minc T x : Ax b, x 0 u T A c T se u 0 (vincolo di variabile duale 0) min c T x s.t. Ax b x 0 max u T b s.t. u T A c T u 0 Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare 10.7 Trasformazioni primale-duale In generale, bisogna considerare singolarmente ciascuna variabile e ciascun vincolo. Primale (min) Duale (max) a T i x b i u i 0 a T i x b i u i 0 a T i x = b i x j 0 x j 0 x j libera u i libera u T A j c j u T A j c j u T A j = c j Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare 10.8

5 Esempio min 10x 1 +20x 2 s.t. 2x 1 x 2 1 x 2 +x 3 2 x 1 2x 3 = 3 3x 2 x 3 4 x 1 0 x 2 0 x 3 libera = max u 1 +2u 2 +3u 3 +4u 4 s.t. u 1 0 u 2 0 u 3 libera u 4 0 2u 1 +u 3 10 u 1 +u 2 +3u 4 20 u 2 2u 3 u 4 = 10 Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare 10.9 Teoremi della dualità Il duale del duale coincide con il primale Dimostrazione (ricordando che (XY ) T = Y T X T ): min c T x s.t. Ax b x 0 max u T b s.t. u T A c T u 0 max y T ( c) s.t. y T ( A T ) b T y 0 Sostituendo x a y si ha l asserto min y T c s.t. y T A T b T y 0 min u T b s.t. u T A c T u 0 min c T y s.t. Ay b y 0 min ( b T )u s.t. ( A T )u c T u 0 Teorema della dualità forte : i valori ottimi (se esistono finiti) delle funzioni obiettivo del primale e del duale coincidono. P = {x 0 : Ax b} P z = min{c T x : x P }, z finito Dim. Deriva dalle precedenti osservazioni z = ω = = max{u T b : u T A c T, u 0} Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare 10.10

6 Teoremi della dualità Nota: il teorema della dualità forte NON vale se il problema primale è illimitato o impossibile. Teorema della dualità debole : P = {x 0 : Ax b}, P D = {u 0 : u T A c T }, D x P, ū D Dimostrazione: ū T b ū T A x c T x u T 0 b Ax x 0 u T A c T ū T b c T x max = min u T b c T x Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare Teoremi della dualità Corollario: casi possibili. (PP) : z = min{c T x : Ax 0, x 0} (PD) : ω = max{u T b : u T A c T, u 0} (PD) Finito Illimitato Impossibile Finito 1 (z =ω ) NO NO (PP) Illimitato NO NO 2 Impossibile NO 3 4 Dimostrazione. Caso 1. Da dualità forte. Casi 2 e 3. Da dualità debole. Caso 4. Dalla seguente coppia primale/duale (entrambi i problemi sono impossibili) min x 1 max u 1 + u 2 s.t. x 1 + x 2 1 s.t. u 1 u 2 = 1 x 1 x 2 1 u 1 u 2 = 0 x 1, x 2 libere x 1, x 2 0 Gli altri casi sono esclusi dalla dualità debole/forte Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare 10.12

7 Interpretazione economica: problema della dieta c j : costo unitario alimento j (j = 1..n); a ij : tasso di presenza della sostanza i (i = 1..m) nell alimento j; b i : fabbisogno minimo sostanza i (in grammi). Punto di vista di un allevatore variabile decisionale x j : quantità (in grammi) della sostanza j da acquistare. n z = min c j x j (minimizzare i costi) s.t. n a ij x j b i, i = 1..m (soddisfazione fabbisogni) x j 0, j = 1..n Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare Interpretazione economica: problema della dieta Duale ω = max s.t. m b i u i (1) m a ij u i c j, j = 1..n (2) u i 0, i = 1..m Interpretazione: punto di vista di un produttore di mescole sintetiche - variabile decisionale u i : prezzo unitario di vendita della mescola di sostanza i. - obiettivo (1): massimizzare i ricavi di vendita (l allevatore acquista la quantità di sostanze di cui necessita, cioé b i al prezzo u i ) - vincolo (2): competitività dei prezzi di vendita, altrimenti l allevatore preferirà acquistare gli alimenti attualmente sul mercato. - dualità debole: ω z. Il guadagno del produttore di mescole e la spesa dell allevatore si limitano a vicenda. - Dualità forte: ω = z. Il mercato tende all equilibrio: se i mercati diminuiscono i c j, il produttore dovrà diminuire gli u i. Se aumentano i c j, anche il produttore può aumentare gli u i. Il mercato offrirà all allevatore alternative economicamente equivalenti. Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare 10.14

8 Interpretazione economica: problema dei trasporti c ij : costo unitario di trasporto dal magazzino i = 1..I al centro j = 1...J; a i : disponibilità nel magazzino i; b j : richiesta del cliente j. Punto di vista di un azienda di produzione variabile decisionale: x ij : quantità trasportata da i a j. I J z = min c ij x ij (minimizzare i costi) s.t. s.t. J x ij a i, i = 1..I I x ij b j, j = 1..J x ij 0, i = 1..I,j = 1..J (disponibilità magazzini) (richiesta clienti) Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare Interpretazione economica: problema dei trasporti Duale ω = max I a i u i + J b j v j (1) s.t. u i + v j c ij, i = 1..I,j = 1..J (2) u i 0, i = 1..I v j 0, j = 1..J Interpretazione: punto di vista di una ditta di trasporti che acquista i prodotti nei magazzini, cura il trasporto e poi li vende ai clienti. - variabili decisionali u i 0: prezzo unitario di acquisto dei prodotti nel magazzino i (in valore assoluto); v j 0: prezzo di vendita al cliente j. - Domande: sotto quali condizioni la ditta di trasporti riuscirà ad avere in appalto il servizio di trasporto (da vincoli duali)? Quanto potrà guadagnare al massimo (da dualità debole/forte)? Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa Dualità in Programmazione Lineare 10.16