Meccanica Primo compito d'esonero B 4 Maggio 2011

Transcript

1 Esercizio n. 1 Si consideri la uida indicata in fiura. Nel tratto BC, di lunhezza L vi è attrito con coefficiente di attrito dinamico µ d ; altrove non vi è attrito. Il tratto CD è un arco di circonferenza di raio R, il cui centro è in O. Dopo il punto D la uida continua rettilinea, tanente all'arco di cerchio in D, quindi si raccorda con un tratto orizzontale fino al punto E dove si trova una molla, non deformata, di costante elastica k. La quota del punto C rispetto al piano orizzontale è h 1. Un punto materiale di massa m parte dal punto A, posto alla quota h A, con velocità nulla. 1. Si calcoli la velocità di m nel punto C.. Si calcoli il raio imo tale che la massa m rimana a contatto della uida anche nel tratto CD, non si stacchi cioè dalla uida prima di raiunere il punto D (il semento OD forma con la verticale un anolo θ. 3. Assumendo che R la massa m continua la discesa luno la uida fino a E e poi comprime la molla. Si calcoli la massima compressione della molla; Dopo aver compresso la molla, la massa inverte la velocità e compie il percorso inverso. 4. Con quale velocità m ripassa per C? Valori numerici: h A =195 cm, L=1.5 m, µ d =0.615, θ= 45, h 1 =113 cm, m=315, k=100 N/m Esercizio n. Un blocco di massa m1 posto su un piano orizzontale è connesso tramite un filo, inestensibile e di massa trascurabile che scorre su una puleia di massa trascurabile priva d'attrito, ad un secondo blocco di massa m. Tra la massa m1 e il piano vi è attrito con coefficienti di attrito, statico e dinamico, µ s e µ d. Il blocco m1 è connesso ad una molla di costante elastica k e lunhezza a riposo L 0. L'altro estremo della molla (punto O è fisso. a. Si calcoli l'intervallo di valori possibili per la costante elastica k della molla, se si osserva che il sistema può rimanere in equilibrio (masse ferme con la molla estesa fino alla lunhezza L1. b. Per k= k eff (il valore di keff è indicato in calce si calcoli la tensione del filo con fermo e in situazione di equilibrio (forza totale su nulla. c. Per k= k eff si assuma poi che al tempo t =0 la molla vena allunata fino a L 1 e che le masse siano ferme. A questo punto le due masse venono lasciate libere di muoversi. Si calcoli il valore della ima distanza fra la massa m1 ed il punto O nel moto successivo. d. Nelle condizioni descritte al punto c si calcoli la tensione del filo al tempo t=0. e. Si calcoli quanto tempo è necessario per raiunere la condizione di ima distanza. Valori numerici: =0.95 k, m = 1.9 k, L 0 =78 cm, L 1 =95 cm, µ s =0.68, µ d =0.55, k eff =85N/m 1

2 Es. n. 1 soluzione 1 Durante il percorso AB si conserva l'eneria meccanica totale. Durante il percorso BC l'eneria meccanica totale viene ridotta dal lavoro delle forze d'attrito L attrito = µ d ml : K C + U C = K A + U A + L attrito = U A ml essendo la massa inizialmente ferma. Si ha quindi 1 mv c = m(h A ml = m(h A L da cui si ricava v c = (h A L =1.00 m/s. Il punto D si trova alla quota h D = h 1 R + Rcosθ La velocità alla quota del punto D è data, applicando un'espressione analoa a quella ricavata al punto 1, dalla v D = (h A h D L. Affinché il punto materiale possa muoversi su una traiettoria circolare di raio R deve essere soetto ad una forza "centripeta" di modulo F c = mv D R. Tale accelerazione può essere fornita, nel nostro caso, solo dalla componente della forza peso luno il raio mcosθ. Al diuire del raio il valore della forza centripeta richiesta aumenta per cui possiamo definire il valore imo R per cui si abbia mv D = m (h A (h 1 (1 cosθ L = mcosθ (h A (h 1 (1 cosθ L = cosθ h A h 1 + cosθ µ d L = cosθ ( 3cosθ = (h 1 + µ d L h A = (h 1 + µ d L h A ( 3cosθ si ricava quindi R =84.5 cm. 3 supponendo che il punto materiale iuna quindi in E con la sua velocità ve orizzontale possiamo calcolare la massima compressione della molla. La velocità ve è ancora data da v E = (h A h E L = (h A L =4.76m/s, l'eneria cinetica del punto materiale si trasforma in eneria potenziale della molla quando questa è massimamente compressa: 1 kδ = 1 mv E = m(h A L da cui ricaviamo Δ = m(h µ L A d =7.0 cm K 4 successivamente la molla si decomprime ed il punto materiale viene avviato a ripercorrere la uida in verso opposto. Fino al punto C il punto è soetto solo a forze conservative pertanto iunerà in C con la stessa velocità con cui è transitato precedentemente vc = 1.00 m/s.

3 Es. n. soluzione Il filo è inestensibile e di massa trascurabile pertanto: i moduli deli spostamenti (ed anche delle velocità e delle accelerazioni delle due masse sono uuali (a1=a=a la tensione luno il filo rimane costante in modulo, quindi se τ 1 e dal filo rispettivamente sulle masse m1 ed m τ 1 = τ = τ Assumiamo un asse x orizzontale positivo verso destra e l'asse y rivolto verso l'alto. a Affinchè le due masse siano in equilibrio si deve avere: k(l 1 x ˆ + F attrito s + + R N + τ 1 = 0 m + τ = 0 τ sono le forze applicate Proiettando suli assi cartesiani dalla seconda eq. otteniamo τ = τ = m, dalla prima equazione R N = ; k(l 1 ± F s attrito + τ = k(l 1 ± F s attrito + m = 0 dove il seno della forza d'attrito statico dipende dal confronto fra la forza elastica e la forza peso della massa m. La massima forza d'attrito statico che può essere esercitata dal piano sul corpo m1 è pari a attrito ( F s max = µ s R n = µ s. Se L1 > L0 e la forza elastica si oppone alla forza τ, la forza che cerca di mettere in moto il corpo è pari a m k(l1 L0 e tale forza deve essere sempre ore (in modulo a µs m1: m µ s Da questa diseualianza otteniamo due relazioni: se m >0 otteniamo m µ s e quindi k m µ s (L 1 =7.4N/m se invece m < 0 allora m µ s e quindi k max m + µ m s 1 =147 N/m. (L 1 b Per qualsiasi valore di k<k<kmax, e quindi anche per k=keff, essendo il sistema fermo in equilibrio, si ha che la tensione del filo τ = τ = m =18.6 N c Sia quindi k=keff e sia x(t=0=l1. Per i due punti materiali di massa m1 ed m, che subiscono lo stesso spostamento s, possiamo scrivere l'equazione k(s + µ d + m = ( + m ṡ La forza d'attrito non è una forza conservativa e cambia seno al variare del verso del moto. Si avranno pertanto delle "pseudo oscillazioni" con ampiezza decrescente e con "pseudo periodo" T pseudo = π ω dove ω pseudo = k e quindi T pseudo = π m +. + m k 3

4 La condizione di ima distanza di m1 dal punto O si ha alla fine della prima "semi oscillazione": in tale condizione la forza d'attrito ha compiuto il lavoro L attrito = µ d (L 1. Visto che al tempo t=0 e nell istante in cui m1 ha la ima distanza da O i due punti materiali sono fermi (eneria cinetica di m1 ed m nulla possiamo leare la variazione di eneria potenziale al L attrito. Se h0 ed h rappresentano la quota della massa m al tempo t=0 e t=t rispettivamente la variazione di eneria potenziale ravitazionale è pari a U d filo inestensibile, è anche U d molla è data da el U d el U d U el 0 = 1 k(d 1 k(l 1 = 1 k(d U el 0 = 1 k(d U 0 = m (h d h 0 ma, essendo il U 0 = m (L 1. La variazione dell eneria potenziale della L 0 4L 1 + 4L 1 L 0 = 1 k(d + L 0 L 0 4L 1 L 0 + 4L 1 L 0 =. 4L 1 + L 0 (L 1 Si ha quindi L attrito = (U d U el 0 + (U d U el 0 = m (L k(d 4L 1 + L 0 (L 1 µ d (L 1 = m (L 1 1 k(l 1 (L 1 + d + kl 0 (L 1 µ d = m 1 k(l 1 + d + kl 0 da cui d = k (µ d + k(l 0 - L 1 + m d=1.9 cm d In questa condizione (t=0 la molla è elonata al massimo (s(t=0=l1, le masse sono ferme ( s (t = 0 = 0, la massa m è accelerata verso l'alto con accelerazione a = s. Dalla k(s + µ d + m = ( + m ṡ per s=l1 otteniamo k(l 1 + µ d + m = ( + m s (t = 0 quindi s (t = 0 = k(l L + µ m + m 1 0 d 1 = 5.1ms ( + m per cui si ha τ + m = m s (t = 0 da cui τ = m m s (t = 0=66.3N e La distanza ima da O viene raiunta dalla massa m1 dopo la prima mezza "pseudooscillazione" per cui per t = T pseudo = π + m k =0.575 s 4

5 5