Lo studio del campo di tensione e di deformazione esistente in una qualsiasi struttura, in conseguenza dell applicazione di sollecitazioni esterne, è

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1 Lo studio del campo di tensione e di deformazione esistente in una qualsiasi struttura, in conseguenza dell applicazione di sollecitazioni esterne, è di fondamentale importanza per poterne definire il margine di sicurezza.

2 Si consideri una barra di materiale omogeneo con un estremo vincolato e l altro sollecitato da una forza assiale, applicata al baricentro della sezione. Si immagini il tirante costituito da tante fibre assiali. La forza è applicata solo alla fibra centrale. Le altre fibre vengono messe in carico per effetto della coesione tangenziale.

3 Si consideri una barra di materiale omogeneo con un estremo vincolato e l altro sollecitato da una forza assiale, applicata al baricentro della sezione. La distribuzione di forza tra le fibre del tirante non è uniforme nell intorno del punto di applicazione del carico. Tuttavia, per effetto della coesione tangenziale, allontanandosi dal punto di applicazione della forza, la sollecitazione si estende all intera sezione del tirante. d una distanza pari ad un diametro circa dal punto di applicazione, la distribuzione di forza può essere considerata uniforme. Oltre questa distanza possono essere trascurati gli effetti locali del carico. Si immagini il tirante costituito da tante fibre assiali. La forza è applicata solo alla fibra centrale. Le altre fibre vengono messe in carico per effetto della coesione tangenziale. Si consideri una barra di materiale omogeneo con un estremo vincolato e l altro sollecitato da una forza assiale, applicata al baricentro della sezione. Si può immaginare che le fibre del tirante siano soggette a forze elementari f la cui somma corrisponde al carico esterno. f f Se ci si pone il problema progettare la barra, ovvero di stabilire quale diametro essa debba avere per resistere ad una determinata forza, è necessario effettuare una prova sperimentale su una barra simile, realizzata con lo stesso materiale e con la stessa sezione resistente.

4 Misura delle prestazioni del materiale: La prova di trazione La forza applicata dalla macchina al provino viene incrementata gradualmente fino alla rottura. 0 Trasduttore di spostamento Macchina di trazione-compressione da 0 tonn Cella di carico per la misura della forza Misura delle prestazioni del materiale: La prova di trazione La forza applicata dalla macchina al provino viene incrementata gradualmente fino alla rottura. max max è il carico massimo al quale il provino può resistere. 0 Macchina di trazione-compressione da 0 tonn max 4

5 Misura delle prestazioni del materiale: La prova di trazione max La forza applicata dalla macchina al provino viene incrementata gradualmente fino alla rottura. max Rottura max è il carico massimo al quale il provino può resistere. 0 Grafico ottenuto dalla prova di trazione l max Il valore misurato max nella prova di trazione dipende certamente dal materiale con cui il provino è realizzato ma dipende anche dalla sezione resistente : dunque la prova non caratterizza il materiale. max Utilizzando il valore max per progettare un tirante si è costretti ad eseguire una prova su una barra identica, con la medesima sezione. max confronto Rottura max Se, però, si utilizza il rapporto per confrontare le due situazioni allora non è più necessario ripetere la prova per ogni diverso valore della sezione ; in questo caso sarà sufficiente una sola prova, eseguita su un provino di area resistente qualsiasi, 0, per prevedere il carico di rottura di qualunque componente soggetto a trazione. max 5

6 Il valore limite Rottura è indipendente dalla sezione e può quindi essere considerato una caratteristica del materiale. Utilizzando tale valore limite, il progetto del tirante, ovvero la determinazione dell area della sezione necessaria a sopportare il carico, previsto dalla specifica, risulta agevole. Dalla prova di trazione si ricava Limite Rottura confronto Rottura max max 0 0 max L area della sezione del tirante necessaria per resistere alla forza senza che si verifichi la rottura si calcola semplicemente Rispetto al valore minimo necessario è opportuno mantenere un margine di sicurezza XS X L 0 S Tensione ammissibile X L S L 0 Relazione di progetto max Introducendo il concetto di sforzo specifico, ovvero di forza per unità di area si può scrivere: f a area a f Considerando, con maggiore aderenza alla realtà, che la sezione sia un continuo e non un numero discreto di fibre, la sommatoria precedente si può scrivere come integrale calcolato sulla sezione: d Nell ipotesi che la distribuzione di forza sia uniforme nella sezione si può scrivere: N m Pa è la grandezza che deve essere confrontata con il valore limite consentito dal materiale: L 6

7 Per effetto del carico la barra subisce un allungamento l (o un accorciamento, in dipendenza dal verso della forza). l l f l 0 nche in questo caso è conveniente ragionare in termini specifici piuttosto che assoluti. l 0 l f l Dividendo l allungamento per la lunghezza della barra si ottiene l allungamento specifico: ε l f l l 0 0 l l 0 L allungamento specifico è detto deformazione È possibile definire la deformazione in modo diverso: ε l f dl l ln l l f l0 0 l ε l 0 l ε ln l f 0 La deformazione così definita è detta ingegneristica La deformazione così definita è detta logaritmica o anche deformazione vera (true strain) Per effetto del carico la barra subisce un allungamento l (o un accorciamento, in dipendenza dal verso della forza). l 0 l f l l ε ε l 0 Deformazione ingegneristica f Deformazione logaritmica 0 ln l l Oltre alla variazione di lunghezza nella direzione di applicazione del carico, si osserva un altro effetto: 0 una variazione trasversale di dimensioni, sempre opposta a quella osservata parallelamente alla direzione di applicazione del carico ν coefficiente di Poisson ε trasversale -ν ε longitudinale ν ε trasversale ε longitudinale 7

8 Per molti materiali, entro un certo limite della tensione, esiste un rapporto di proporzionalità tra la forza e l allungamento l. Causa l 0 l f l l K Effetto La costante K è definita anche come rigidezza della struttura. Costante di proporzionalità E K l 0 l E E l 0 La costante K dipende dalla geometria e dal materiale. è un parametro dipendente dal materiale. Ricordando la definizione di tensione ed applicando la definizione di deformazione la relazione tra forza e spostamento può essere scritta in una forma indipendente dalla geometria e legata solo al materiale con cui è costruito il componente: l 0 l f l Tensione Deformazione Normalizzando rispetto all area della sezione si ottiene: l ε l 0 l E l 0 l E E ε l 0 Relazione costitutiva E è detto modulo elastico del materiale o modulo di Young E ε 8

9 max Grafico ottenuto dalla prova di trazione Rottura R Rottura Il grafico della prova di trazione si può rappresentare in termini di tensione e deformazione, invece che forza e spostamento, si ottiene una curva con andamento monotono. l 0 0 Se la tensione è definita in rapporto all area deformata della sezione piuttosto che alla sezione nominale 0 la curva di trazione è monotona. α E tan Il modulo elastico è misurato dalla tangente dell angolo formato tra il tratto rettilineo della curva di trazione e lasse delle ascisse. α ε Grafico ottenuto dalla prova di trazione Per valutare il modulo elastico, tuttavia, non è conveniente utilizzare la curva di trazione a causa della forte incertezza della misura. max Rottura Sono usati quindi altri metodi di misura, generalmente sfruttando la dipendenza da E del comportamento dinamico del materiale. La frequenza propria della barra f è data da una relazione del tipo: 0 f π K M π E l M 0 Se la geometria e la massa sono note si ricava il modulo elastico E. α E tan Il modulo elastico è misurato dalla tangente dell angolo formato tra il tratto rettilineo della curva di trazione e lasse delle ascisse. α ε 9

10 Utilizzando i soli concetti discussi fin ora è già possibile impostare il progetto o la verifica di semplici strutture, costituite da tiranti e puntoni, utilizzando come condizione la resistenza o la rigidezza. l 0 Calcolo a resistenza Specifica: forza applicata coefficiente di sicurezza X s la struttura si considera danneggiata quando la tensione supera il valore limite L Definizione di tensione X s L Relazione di progetto Calcolo a rigidezza (o a deformazione) Specifica: forza applicata lunghezza indeformata del tirante l 0 modulo elastico E la struttura si considera danneggiata quando lo spostamento supera il valore limite l L Relazione forza spostamento K l l l 0 X s E ll E l 0 Relazione di progetto Specifica: tirante a sezione piena circolare retta d carico 0 kn lunghezza del tirante l mm allungamento limite l mm fattore di scurezza X s.5 l 0 Materiale (alluminio): tensione limite L 0 MPa modulo di Young E 70 GPa In base alla specifica si determini il diametro del tirante d Dalla condizione di resistenza si ha: X d s 0 4 π E-6 m 0E6 5.0 mm 4 5 π.6 mm Resistenza rigidezza d.6 mm d 5.7 mm Dalla condizione di rigidezza si ha: l 0 X s E ll E-6 m 9.9 mm 70E d 5.7 mm La condizione di rigidezza è più stringente e richiede un diametro maggiore. 0

11 l 0 d Specifica: tirante a sezione piena circolare retta carico 0 kn allungamento limite l mm fattore di scurezza X s.5 Materiale (alluminio): tensione limite L 0 MPa modulo di Young E 70 GPa In base alla specifica si calcolino le dimensioni del tirante: d ed l 0 Non è più data in specifica la lunghezza l 0 ; le variabili di progetto sono quindi : d ed l 0 La condizione di resistenza non è cambiata quindi i valori dell area e del diametro che rispettano questa condizione sono: X s mm d.6 mm Dimensioni: d.6 mm l mm Dalla condizione di rigidezza si ha: l 0 X s E ll l 0 E ll X s 70E E mmm α h T Si vuole verificare la capacità di carico del martinetto a vite rappresentato nello schizzo B s Sfruttando la simmetria rispetto al piano verticale nel quale giace l asse della vite, è possibile studiare solo metà della struttura. L DTI B 00 mm h 0 mm s 8 mm L tale che 0 < α <60 d (vite) 5 mm Materiale: R 00 MPa Della vite si considera solo metà della sezione.

12 T è la forza totale applicata al martinetto; è la forza applicata alla metà del martinetto in esame. C T 60 0 P Vite V α α P D nalisi delle forze applicate ai vari componenti acendo l equilibrio nel nodo si ottiene: P P senα senα V V acendo l equilibrio nel nodo D ( o C è lo stesso)si ottiene: La forza applicata al tirante centrale è metà di quella applicata in realtà alla vite, della quale però si considera solo metà della sezione resistente. B V cosα V P senα cosα tanα La configurazione più sfavorevole si verifica per il valore minimo di α, quindi 0 T è la forza totale applicata al martinetto; è la forza applicata alla metà del martinetto in esame. C T compressione V 0 P Vite V compressione trazione V P Le forze nei puntoni valgono quindi: D P V senα tanα T 4 senα La forze nel tirante, ovvero nella vite valgono: T tanα compressione compressione B

13 In conclusione si ha: P V senα tanα T 4 senα T tanα rea puntone: rea vite: V P π d 4 4 h s m π m Si assume quale coefficiente di sicurezza X S il valore.5 quindi la tensione ammissibile vale R 00E6 0 X.5 0 S MPa Tensione nella vite: Tensione nei puntoni: V V V P P P V V T tan α T 4 senα P V 0 0 T T tan α V 0 4 senα P 0 In conclusione si ha: P V senα tanα T 4 senα T tanα rea puntone: rea vite: V P π d 4 4 h s m π m Si assume quale coefficiente di sicurezza X S il valore.5 quindi la tensione ammissibile vale Quindi per α 0 si ha: R 00E6 0 X.5 0 S MPa Per la vite: T tan α 0 V tan N Nei puntoni: T 4 senα P sen N La vite risulta essere l elemento debole del sistema. È opportuno, quindi, un aumento di sezione per la vite.

14 In conclusione si ha: P V senα tanα T 4 senα T tanα rea puntone: rea vite: V P π d 4 4 h s m π m Si assume quale coefficiente di sicurezza X S il valore.5 quindi la tensione ammissibile vale R 00E6 0 X.5 0 S MPa L area della vite che assicura la stessa resistenza dei puntoni vale: V T tan α tan m e quindi il diametro vale: 4 4 V d 7. 7 π.45 mm 4

15 Stato di tensione pluriassiale / Trazione pura stato di tensione monoassiale x M M / (6 M) / (π d ) Nel caso generale lo stato di tensione è triassiale Trazione e torsione stato di tensione piano y z x x Stato di tensione in un punto z Dall equilibrio alla rotazione si ha: ( dzdx) dy ( dxdy) dz 0 yz zy z zy yz z zy z dy xy xz yz yx zx zy y yz dy dz yz y zx xz zy yz y dz xy zy z y x x 9 componenti yx dx 6 componenti indipendenti y 5

16 dz z Stato di tensione in un punto area di BCD D normale n αy z y x x C y z C γ x z D z y β n B cos α l cos β m cos γ n x y x B dy n componente della tensione normale al piano dx S x x / S y y / S z z / x l y m z n Stato di tensione in un punto z z D y D z x x y C x z B x xy y x y C Dall equilibrio alla traslazione in direzione x si ottiene: y B xz z x x x x + y xy + z xz 6

17 Stato di tensione in un punto z z D y D z xy x x x y C x z B x y y yz y xy y x y xz x C Dall equilibrio alla traslazione in tutte le direzioni si ottiene: y x B yz z z z xz z x x x + y xy + z xz y x xy + y y + z yz z x xz + y yz + z z x x x + y xy + z xz y x xy + y y + z yz z x xz + y yz + z z S x x / S y y / S z z / x l y m z n x / x / x + y / xy + z / xz y / x / xy + y / y + z / yz z / x / xz + y / yz + z / z 7

18 x x x + y xy + z xz y x xy + y y + z yz z x xz + y yz + z z S x x / S y y / S z z / x l y m z n S xn l S x S yn m S y S zn n S z S x l x + m xy + n xz S y l xy + m y + n yz S z l xz + m yz + n z S xn l x + l m xy + l n xz S yn l m xy + m y + m n yz S zn l n xz + m n yz + n z n componente della tensione normale al piano n S xn + S yn + S zn n l x + m y + n z + ( lm xy + ln xz + m n yz ) x x x + y xy + z xz y x xy + y y + z yz z x xz + y yz + z z S x x / S y y / S z z / x l y m z n S xn l S x S yn m S y S zn n S z S x / l x x + / m x xy + + n y / xz xy + z / xz S y / l xy x + / m xy y + n y yz / y + z / yz S z / l xz x + / m xz yz + n y / z yz + z / z S xn l x + l m xy + l n xz S yn l m xy + m y + m n yz S zn l n xz + m n yz + n z n componente della tensione normale al piano n S xn + S yn + S zn n l x + m y + n z + ( lm xy + ln xz + m n yz ) 8

19 Tensioni principali z D z n xy x x x Il piano BCD è ora orientato parallelamente ad un piano principale. Su BCD quindi 0 e n di conseguenza: n y y yz y xy y x y xz x nx S x ny S y nz S z x B yz z z z xz z C y nx l n l ny m n m nz n n n S x l S y m S z n S x l S y m S z n S x l x + m xy + n xz S y l xy + m y + n yz S z l xz + m yz + n z Tensioni principali l l x + m xy + n xz m l xy + m y + n yz n l xz + m yz + n z l ( - x ) - m xy - n xz 0 - l xy + m ( - y ) - n yz 0 - l xz - m yz + n ( - z ) 0 l + m + n Equazione cubica dello stato di tensione ( - x ) - xy - xz - xy ( - y ) - yz 0 - xz - yz ( - z ) - ( x + y + z ) + ( x y + y z + x z - xy - xz - yz ) + - ( x y z + xy xz yz - x yz - y xz - z xy ) 0 9

20 Tensioni principali - ( x + y + z ) + ( x y + y z + x z - xy - xz - yz ) + - ( x y z + xy xz yz - x yz - y xz - z xy ) 0 Le tensioni principali sono le soluzioni dell equazione cubica dello stato di tensione I coefficienti della cubica devono essere indipendenti dall orientamento del sistema di riferimento scelto I x + y + z I x y + y z + x z - xy - xz - yz I x y z + xy xz yz - x yz - y xz - z xy Le tre quantità I, I e I sono invarianti rispetto all orientamento del sistema di riferimento Tensioni principali z Piano BCD Il sistema di riferimento x y z è orientato con l asse x parallelo alla normale del piano BDC (che è un piano principale) Sul piano BCD deve essere x y x z 0 x y x 0

21 Tensioni principali z z y Il sistema di riferimento x y z è orientato con l asse x parallelo alla normale del piano BDC (che è un piano principale) Piano BCD y z Sul piano BCD deve essere x y x z 0 L unica componente tangenziale diversa da 0 è quindi y z z y x y x Tensioni principali z Piano BCD Il sistema di riferimento x y z è orientato con l asse x parallelo alla normale del piano BDC (che è un piano principale) Sul piano BCD deve essere x y x z 0 L equazione cubica dello stato di tensione calcolata nel sistema x y z diventa: x x y - ( x + y + z ) + + ( x y + y z + x z - y z ) - ( x y z - x y z ) 0 [ - x ] [ ( - y )( - z ) - y z ] 0

22 [ - x ] [ ( - y )( - z ) - y z ] 0 Tensioni principali L equazione ha tre soluzioni x y + z + y - z ( ) + y z y + z - y - z ( ) + y z Tensioni principali: piani di massimo taglio n γ G normale n S l S m S n α β E Il sistema di riferimento è orientato secondo le direzioni principali ricordando l espressione di n : n l x + m y + n z + + ( lm xy + ln xz + m n yz ) e tenendo conto della particolare orientazione del sistema di riferimento, la tensione normale agente sul piano EG è data da: n l + m + n

23 Tensioni principali: piani di massimo taglio La forza risultante agente sul piano EG può essere espressa come somma vettoriale delle sue componenti: r + + r S + S + S r n + r l + m + n ricordando la relazione r - n n l + m + n l + m + n - (l + m + n ) Tensioni principali: piani di massimo taglio l + m + n - (l + m + n ) Calcolando le derivate parziali della rispetto a l m n e uguagliandole a 0 si ottengono i valori dei coseni direttori che individuano i piani di massimo taglio: l 0 m ± ½ n ± ½ l ± ½ m 0 n ± ½ l ± ½ m ± ½ n 0 E i valori del taglio su tali piani sono dati dalle relazioni: ± ½ ( - ) ± ½ ( - ) ± ½ ( - )

24 Tensioni principali: piani di massimo taglio La giacitura dei piani di massimo taglio può essere rappresentata graficamente: l 0 m ± ½ n ± ½ l ± ½ m 0 n ± ½ l ± ½ m ± ½ n 0 ± ½ ( - ) ± ½ ( - ) ± ½ ( - ) Il cerchio di Mohr Y S z Si consideri il piano RS parallelo all asse z ed inclinato di α rispetto all asse x Ipotesi: stato piano di tensione n rea rea P α R X S y R α n x Si immagini ora di spostare il punto di vista sull asse z 4

25 Il cerchio di Mohr Y S x y Si consideri lo stato tensionale sul piano RS Dall equilibrio alla traslazione si ha: X cos α + Xy sen α - cos α - sen α 0 y sin α + Xy cos α - sin α + cos α 0 X cos α Xy cos α α P Xy sen α y sen α rea R X moltiplicando la prima per cos α e la seconda per sin α si ha: X cos α + Xy sin α cos α - cos α + - sin α cos α 0 y sin α + Xy sin α cos α - sin α + + sin α cos α 0 sommando le due equazioni si ottiene: X cos α + y sin α + Xy sin α cos α Il cerchio di Mohr ricordando che: sin α sin α cos α X cos α + y sin α + Xy sin α cos α l equazione precedente può essere riscritta in forma leggermente diversa: ( X cos α + y sin α) + Xy sin α quindi, moltiplicando e dividendo per il primo termine, si ha: / ( X cos α + y sin α) + Xy sin α ricordando, inoltre, che: cos α cos α - sin α da cui si ottiene: + cos α cos α e - cos α sin α si può ancora riscrivere l equazione precedente nella forma seguente: / [ X (+ cos α ) + y (- cosα)] + Xy sin α che equivale a: ½ ( x + y ) + ½ ( x - y ) cos α + xy sen α 5

26 Il cerchio di Mohr tornando ora alle due equazioni di equilibrio: x y X cos α + Xy sen α - cos α - sen α 0 y sin α + Xy cos α - sin α + cos α 0 moltiplicando questa volta la prima per sin α e la seconda per cos α si ha: X sin α cos α + Xy sin α - sin α cos α - sin α 0 y sin α cos α + Xy cos α - sin α cos α + cos α 0 sottraendo le due equazioni si ottiene: ( x - y ) sin α cos α + Xy ( sin α - cos α ) - 0 che equivale a: ½ ( x - y ) sen α - xy cos α Il cerchio di Mohr Y S Le componenti della tensione e sul piano RS e possono dunque essere espresse in funzione delle componenti x e y e dell angolo α mediente le seguenti relazioni: X cos α Xy cos α α P Xy sen α y sen α rea R X ½ ( x + y ) + ½ ( x - y ) cos α + xy sen α ½ ( x - y ) sen α - xy cos α 6

27 Il cerchio di Mohr L angolo α che individua i piani principali può essere ricavato cercando il massimo della funzione (α): ½ ( x + y ) + ½ ( x - y ) cos α + xy sen α ovvero, uguagliando a 0 la derivata d/dα d/dα - ½( x - y ) sin α + xy cos α 0 ( x - y ) sin α xy cos α e quindi tg α xy x - y Il cerchio di Mohr cos α P S α sen α Nel sistema di riferimento orientato secondo le direzioni principali le equazioni di equilibrio si possono scrivere come segue: R rea Posto: ½ ( + ) + ½ ( - ) cos α ½ ( - ) sen α ½ ( + ) δ ½ ( - ) ρ ( - δ ) + ρ 7

28 Il cerchio di Mohr ( - δ ) + ρ δ ½ ( + ) questa è l equazione di un cerchio nel piano δ ρ ½ ( - ) ρ ½ ( x + y ) + ½ ( x - y ) cos α + xy sen α ½ ( + ) + ½ ( - ) cos α Il cerchio di Mohr ½ ( x - y ) sen α - xy cos α ½ ( - ) sen α y x max convenzione sui segni delle tensioni xy + α L angolo α che individua il piano principale rispetto alla direzione x è dato dalla relazione: α tg α xy ( x - y ) 8

29 Il cerchio di Mohr Le tensioni principali possono essere ricavate geometricamente dal cerchio di Mohr se sono note le componenti di tensione nel sistema xy: ½ ( x + y ) + {[( x - y )/] + xy } y x ½ ( x + y ) - {[( x - y )/] + xy } max xy + e il massimo valore del taglio è dato da: xy max {[( x - y )/] + xy } max ( - )/ Il cerchio di Mohr Costruzione del cerchio di Mohr Dati: x y xy x Y y xy - xy X + xy X α - xy Y 9

30 Il cerchio di Mohr x y xy x xy x Il cerchio di Mohr x y xy α 0

31 Il cerchio di Mohr x y xy α Il cerchio di Mohr x y xy α

32 Il cerchio di Mohr y x max xy α Il cerchio di Mohr y x y y xy α

33 Il cerchio di Mohr Caso della trazione pura x / max 0 45 x Il cerchio di Mohr Caso della torsione pura M x M (6 M) / (π d ) max - xy 0 xy 45

34 Il cerchio di Mohr Stato di tensione triassiale max ± ½ ( - ) ± ½ ( - ) ± ½ ( - ) ± ½ ( - ) Esempio di calcolo Il supporto rappresentato nello schizzo è costituito da una barra in alluminio a sezione circolare retta. Si vuol calcolare il diametro in base alla seguente specifica: a L d M 0 kg L Specifica: L 0.5m L 0.5m M 0 kg a 4g 40 m/s Tensione ammissibile max 50 MPa M a N d? Momento flettente Momento torcente Le tensioni principali sono calcolate dall equazione: Nella sezione d incastro si ha: M L M f L f f M t L π d π d 6M 6L t π d π d x + y x y, ± + xy dove 0 x f e y 4

35 Esempio di calcolo Il supporto rappresentato nello schizzo è costituito da una barra in alluminio a sezione circolare retta. Si vuol calcolare il diametro in base alla seguente specifica: a f f, ± + max L M 0 kg L L 6L ± + π d π d π d 6 π d 6 6 ( L + L + L L + L + L π ) ( L + L ) π d ( ) ( ) π max L ( ) d 6 d L + L d Specifica: L 0.5m L 0.5m M 0 kg a 4g 40 m/s Tensione ammissibile max 50 MPa M a N L π d f π 50E6 6L π d [ L ± L + L ] 6.mm Esempio di calcolo Il cerchio di Mohr nella sezione di incastro nel caso L L L L max max ± ½ ( - ) 5

36 Esempio di calcolo Il cerchio di Mohr nella sezione di incastro nel caso L > L L L max ± ½ ( - ) max Esempio di calcolo Il cerchio di Mohr nella sezione di incastro nel caso L 0 L max ± ½ ( - ) max 6

37 Esempio di calcolo P i Il disco rappresentato nello schizzo è soggetto ad una pressione di forzamento. In corrispondenza del raggio interno lo stato tensionale è dato dalle seguenti relazioni: PR i i R e r tensione radiale R e Ri Ri PR i i R + e c R tensione circonferenziale e Ri Ri a 0 la tensione assiale è nulla rc 0 la tensione tangenziale è nulla r ra ca 0 nulle sono anche le altre tensioni di taglio c c e sono quindi tensioni principali c r la a 0 è la terza tensione principale r Esempio di calcolo Disco soggetto ad una pressione di forzamento. Posto: si ha: P i 0 MPa R e 0.5 m R i 0.05 m P i c. 5MPa c r c r 0MPa a 0 r max ( ) (.5MPa ( 0MPa) ). 5MPa 7

38 Esempio di calcolo Disco soggetto ad una pressione di forzamento. P i max max ± ½ ( - ) Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Dati: M m P 0 kw n D 60 mm D 80 mm L 80 mm L 00 mm L 60 mm d 0 mm L L M t Si vuol calcolare lo stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Rapporto di trasmissione L n n M M M r t M M r d d P M m m ω M M m t 8

39 Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. zione dinamica del pignone sulla ruota forza agente sul dente T componente tangenziale R componente radiale ω r ω t Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore orze applicate all albero intermedio T R d D D ω R T L L L 9

40 Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore + Convenzione positiva D D ω R R T T Equilibrio alla rotazione M T T M D t D M m D D 0 T T T D D P m D ω 0 R T tgα T tg0 R T tg0 T Pm D ω Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore T Posto: P 0 kw 0.5 n 000 D 60 mm D 80 mm D D ω R R T T Pm 60 D π n T 796N π 000 D 0.6 T T N D 0.08 R T tgα T tg N R T tg N 40

41 Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Schema dell albero come trave appoggiata agli estremi Piano verticale Piano verticale ω L L L Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Schema dell albero come trave appoggiata agli estremi Piano verticale Piano verticale R ω R L L L 4

42 Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Schema dell albero come trave appoggiata agli estremi Piano verticale Piano verticale R R ω L L L Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Schema dell albero come trave appoggiata agli estremi Calcolo delle reazioni vincolari Equilibrio alla rotazione intorno al punto Piano verticale M 0 R R R B L ( L + L ) + R ( L + L + L ) 0 R R B R ( L + L ) R RB R B ( L + L + L ) L Equilibrio alla traslazione verticale L L L V 0 R + R R RB R + R R B R 0 4

43 Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Schema dell albero come trave appoggiata agli estremi Posto: L 80 mm L 00 mm L 60 mm Piano verticale R R R B R B R B R ( L + L ) R ( L + L + L ) L ( ) 90 ( ) R N B L L L R + R R B R R N Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Schema dell albero come trave appoggiata agli estremi Posto: L 80 mm L 00 mm L 60 mm Piano verticale M V Diagramma dei momenti B M V R L Nm R M V R B M V R B L Nm L L L 4

44 Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Schema dell albero come trave appoggiata agli estremi Piano orizzontale Piano orizzontale L L L Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Schema dell albero come trave appoggiata agli estremi Piano orizzontale Piano orizzontale M t T M t T L L L D 0.6 M t T Nm D 0.08 M t T Nm 44

45 Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Schema dell albero come trave appoggiata agli estremi Piano orizzontale Piano orizzontale T T L L L Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Schema dell albero come trave appoggiata agli estremi Calcolo delle reazioni vincolari Equilibrio alla rotazione intorno al punto Piano orizzontale M 0 T T R R B L L L B R ( L + L ) R ( L + L + L ) 0 T L + T B B T L + T ( L + L ) ( L + L + L ) Equilibrio alla traslazione verticale V 0 R + RB T T R T + T R B 0 45

46 Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Schema dell albero come trave appoggiata agli estremi Posto: L 80 mm L 00 mm L 60 mm Piano orizzontale B R B T L + T ( L + L ) ( L + L + L ) ( ) ( ) R N B T T R R B R T + T R B L L L R N Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Schema dell albero come trave appoggiata agli estremi Posto: L 80 mm L 00 mm L 60 mm Piano orizzontale Diagramma dei momenti M O R L Nm B M O R B L Nm R R B M O M O L L L 46

47 Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Piano verticale M V Momento flettente complessivo nella sezione M M V + M O M V M Nm Piano orizzontale Momento flettente complessivo nella sezione M M V + M O M Nm M O M O L L L Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Momento torcente D 0.08 M t T Nm -M t M t L L L 47

48 Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Stato di tensione nella sezione f M f W f M f πd compressione - f MPa π 0.0 Mf + trazione M f t M t W t M t 6 πd 6 t MPa π 0.0 y M t t t f f z x Esempio di calcolo y Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore f z f t f x f 4. MPa t 40. 6MPa f f, ± + t f f x z MPa.9MPa max 7. (.9) max t tg α f α atg t 7. 7 f 70.0MPa 48

49 Esempio di calcolo Riduttore di velocità ad ingranaggi. Stato di tensione dell albero intermedio del riduttore Il cerchio di Mohr max α t x f 7. 0 y 40.6 t ine 49

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