La parabola terza parte Sintesi

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1 La parabola terza parte Sintesi [ ] Qual è l equazione generale della parabola con l asse di simmetria orizzontale ( cioè parallelo all asse x )? Con quale trasformazione si ricava questa equazione da quella della parabola di equazione y = ax 2 + bx + c? L equazione della parabola è x = ay 2 + by + c con a, b, c numeri reali ed a diverso da 0. La trasformazione x y y x che da un punto di vista geometrico scambia le ascisse con le ordinate e rappresenta una simmetria rispetto alla retta di equazione y = x modifica l equazione y = ax 2 + bx + c ( parabola con l asse di simmetria verticale ) nella forma x = ay 2 + by + c ( parabola con l asse di simmetria orizzontale ). [ 2 ] Descrivi le caratteristiche della parabola di equazione x = ay 2 + by + c al variare dei suoi coefficienti in R. << Un equazione della forma x = ay 2 + by + c con a, b, e c numeri reali ed a 0 ha come grafico una parabola avente : la concavità verso destra se a > 0, verso sinistra se a < 0 ; come asse di simmetria ( orizzontale ) la retta di equazione y = come vertice il punto V( Δ ; 4a come fuoco il punto F( - Δ 4a ; b 2 a ) e come direttrice la retta di equazione y = b 2 a ) dove Δ = b2 4ac ; + Δ - 4a. b 2 a ; [ 3 ] Che relazione esiste tra le coordinate del vertice e del fuoco delle due parabole di equazioni y = ax 2 + bx + c e x = ay 2 + by + c? Hanno le coordinate scambiate.

2 [ 4 ] ESEMPIO DI COME SI DISEGNA IL GRAFICO DI UNA PARABOLA CON L ASSE DI SIMMETRIA ORIZZONTALE Esempio : Disegnare il grafico della parabola di equazione x = y 2 + 4y 3. In questo caso a = ; b = 4 e c = 3. ) La concavità è verso sinistra ; 2 ) l asse di simmetria ha come equazione y = 2 ; 3 ) l ordinata del vertice è yv = 2 ; l ascissa del vertice si ottiene sostituendo 2 ad y nell equazione della parabola e svolgendo i calcoli : xv = f( 2 ) = ( 2 ) 2 + 4( 2 ) 3 =, quindi il vertice è V( ; 2 ) ; 4 ) Calcoliamo le coordinate di almeno altri due punti del grafico : y x [ 5 ] Quante condizioni indipendenti sono necessarie per individuare l equazione di una parabola? In generale 3 condizioni indipendenti, una per ognuno dei tre parametri a, b e c che compaiono nell equazione y = ax 2 + bx + c oppure x = ay 2 + by + c. Quindi nel caso più generale possibile per determinare l equazione di una parabola, se non si conosce un metodo più abbreviato, occorre risolvere un sistema di tre equazioni rispetto alle tre incognite a, b e c.

3 Tali condizioni possono ad esempio essere dei seguenti tipi : ) le coordinate di un punto che appartiene al grafico forniscono una condizione di primo grado ; 2 ) l equazione dell asse di simmetria fornisce una condizione di primo grado ; 3 ) le coordinate del fuoco forniscono due condizioni, una di primo ed una di secondo grado ; 4 )l equazione della direttrice fornisce una condizione di secondo grado; 5 ) la condizione di tangenza ad una retta fornisce una condizione di secondo grado ; 6 ) la conoscenza delle coordinate del vertice fornisce due condizioni di primo grado, nel senso che conoscendo entrambe le coordinate del vertice possiamo scrivere subito l equazione della parabola in modo che contenga solo il parametro a con esponente. IN PARTICOLARE : L equazione di una parabola con l asse di simmetria verticale si può scrivere nella forma dove V( x0, y0 ) è il y y0 = a( x x0 ) 2 vertice della parabola. Questo perché la traslazione di componenti T( x0, y0 ), applicata alla parabola di equazione y = ax 2, sposta il vertice della parabola stessa dall origine O( 0 ; 0 ) al punto V( x0 ; y0 ) e dopo la traslazione l equazione della parabola è proprio y y0 = a( x x0 ) 2. Applicando la trasformazione x y y x alla precedente equazione si ottiene che l equazione di una parabola con l asse di simmetria orizzontale si può scrivere nella forma x x0 = a( y y0 ) 2 dove V( x0, y0 ) è il vertice della parabola. [ 6 ] ESEMPI SVOLTI : Esempio : Determina l equazione della parabola con l asse di simmetria verticale ( cioè parallelo all asse y o coincidente con esso ) e che passa per i punti A( 3 ; 2 ), B ( 2 ; ) e C( ; 2 ). L equazione della parabola deve essere della forma y = ax 2 + bx + c. Siccome il punto A appartiene al grafico della parabola sostituendo nella sua equazione al posto di x l ascissa di A ed al posto di y l ordinata di A si deve ottenere una uguaglianza vera ( è la condizione di appartenenza di un punto al grafico di una equazione ) :

4 2 = a( 3 ) 2 + b( 3 ) + c cioè 9a 3b + c = 2 Analogamente con B otteniamo = a( 2 ) 2 + b( 2 ) + c cioè 4a 2b + c = e con C otteniamo 2 = a( ) 2 + b( ) + c cioè a b + c = 2. Otteniamo quindi il seguente sistema di primo grado rispetto alle incognite a, b e c : ) 9a 3b + c = 2 4a 2b + c = a b + c = 2 Con sostituzione ricavando c dalla terza equazione e sostituendo nelle altre otteniamo 2 ) c = 2 a + b 9a 3b + ( 2 a + b ) = 2 4a 2b + ( 2 a + b ) = 3 ) La seconda e la terza equazione formano un sistema di due equazioni rispetto alle due incognite a e b. Risolvendolo otteniamo 8a 2b = 4 4 ) 4a b = 2 3a b = 3 ovvero 3a + b = a = e sostituendo in 3a b = 3 otteniamo 3 b = 3 ovvero b = 6 quindi c = 2 ( ) + ( 6 ) = 7. L equazione della parabola è y = x 2 6x 7. }. ESEMPIO2 : Determina l equazione della parabola con l asse di simmetria verticale che ha come fuoco il punto F( ; 5 4 per il punto P( 3 ; 5 ). ) e che passa L equazione della parabola deve essere della forma y = ax 2 + bx + c. ) L appartenenza del punto P al grafico della funzione fornisce l equazione 9a + 3b + c = 5. b 2 ) L ascissa del fuoco fornisce l equazione =, ovvero b = 2a. 2 a 2 -b + 4ac 3 ) L ordinata del fuoco conduce all equazione = 5 4a 4, ovvero b 2 + 4ac = 5a. 4 ) Quindi otteniamo il sistema : b = 2a b 2 + 4ac = 5a 9a + 3b + c = 5.

5 5 ) Applichiamo il metodo di sostituzione : b = 2a ( 2a ) 2 + 4ac 5a = 0 9a + 3( 2a ) + c = 5 6 ) 4a 2 + 4ac 5a 3a + c = 5 7 ) c = 5 3a 4a 2 + 4a( 5 3a ) 5a = 0 8 ) 4a a 2a 2 5a = 0 ; 9 ) 6a 2 + 5a + = ) Δ = b - 4ac = ( + 5 ) 2 4( 6 )( + ) = 289 = 7 2 > 0 a,2 = -b ± Δ -5 ±7 = = - e + ; 2a 2(-6) 6 83 ) Con a = - si ottiene c = 5 3( - ) = + e b = 2( Quindi una soluzione del problema è y = - x x ) = ) Con a = + si ottiene c = 5 3( + ) = + 2 e b = 2( + ) = 2. Quindi la seconda soluzione del problema è y = x 2 2x + 2. ESEMPIO 3 : Determina l equazione della parabola che ha come fuoco il punto F( 2 ; 3 ) e come direttrice la retta di equazione y =. Sia P( x ; y ) un punto generico appartenente al grafico della parabola e sia H( x ; ) la proiezione ortogonale di P sulla direttrice ( e quindi tale che PH rappresenta la distanza di P dalla direttrice ). ) Per definizione di parabola deve essere PF = PH, cioè ) (x - 2) +(y - 3) = (x - x) +(y -) ; 3 ) ( x 2 ) 2 + ( y 3 ) 2 = ( y ) 2 ; 4 ) x 2 4x y 2 6y + 9 = y 2 2y + ; 5 ) 4y = x 2 + 4x + 2 ; 6 ) y = + 4 x2 x 3. [ 7 ] Sai che per studiare la posizione reciproca fra i grafici di una retta e di una parabola occorre risolvere il sistema formato dalle loro equazioni. Spiega i tre casi che si possono presentare quando l equazione risolvente del sistema è di secondo grado ed il caso in cui l equazione risolvente del sistema è di primo grado rispondi usando al massimo 20 righe. Svolgimento : Se l equazione risolvente del sistema è di secondo grado, indicato con il discriminante di tale equazione ci sono tre casi :

6 se > 0 la retta e la parabola sono secanti perché i loro grafici hanno due punti in comune le cui coordinate sono rappresentate dalle due soluzioni del sistema ; se = 0 la retta e la parabola sono tangenti e le coordinate del punto di tangenza sono rappresentate dall unica soluzione ( doppia ) del sistema ; se < 0 la retta e la parabola sono esterne perché i loro grafici non hanno punti in comune. Invece se l equazione risolvente del sistema è di primo grado la retta è parallela all asse di simmetria della parabola ed il suo grafico è secante a quello della parabola in un unico punto le cui coordinate sono rappresentate dall unica soluzione del sistema. [ 8 ] Quali sono le rette che, pur non essendo tangenti ad una parabola, hanno un solo punto di intersezione con essa? Come si distingue il caso della retta tangente da quest ultimo dal punto di vista algebrico? rispondi usando la massimo 6 righe. Svolgimento : Sono le rette parallele all asse di simmetria della parabola : in questo caso l equazione risolvente del sistema formato dalle equazioni della retta e della parabola è di primo grado e la retta è secante alla parabola in un unico punto le cui coordinate sono rappresentate dall unica soluzione del sistema considerato. [ 9 ] Qual è la condizione necessaria e sufficiente affinché i grafici di una retta e di una parabola siano tangenti? rispondi usando al massimo 5 righe. Svolgimento : Che sia uguale a 0 il discriminante dell equazione di secondo grado risolvente del sistema formato dalle equazioni della retta e della parabola. [ 0 ] 0.. Qual è l equazione dell asse x? y = Qual è l equazione dell asse y? x = Qual è l equazione di una generica retta non verticale? y = mx + q dove m è il coefficiente angolare e q l ordinata del punto di intersezione con l asse y Qual è l equazione di una generica retta non verticale e passante per l origine O( 0 ; 0 )? y = mx 0.5. Qual è l equazione di una generica retta orizzontale? y = q 0.6. Qual è l equazione di una generica retta verticale? x = k

7 0.7. Qual è l equazione della retta bisettrice del primo e del terzo quadrante? y = x 0.8. Qual è l equazione della retta bisettrice del secondo e del quarto quadrante? y = x Qual è la relazione tra i coefficienti angolari di due rette parallele e non verticali? Sono uguali Qual è la relazione tra i coefficienti angolari di due rette perpendicolari e non parallele agli assi coordinati? m = - cioè uno è l opposto del reciproco dell altro. m Qual è la forma generale dell equazione di una retta in forma implicita? ax + by + c = 0. [ ] Qual è l equazione di una generica retta non verticale passante per il punto P( x0 ; y0 ) e di coefficiente angolare m? y y0 = m( x x0 ) [ 2 ] Come si determina l equazione della retta passante per i due punti distinti A( x ; y ) e B( x2 ; y2 )? ) Se i due punti hanno uguale ascissa, cioè se x = x2, la retta è verticale con equazione del tipo x = k, cioè x = x. 2 ) Se i due punti hanno uguale ordinata, cioè se y = y2, la retta è orizzontale con equazione del tipo y = q, cioè y = y. 3 ) Nel caso generale, quando i due punti hanno diverse ascisse e diverse ordinate, la retta è obliqua con equazione della forma y = mx + q, dove : y2- y dapprima si calcola il coefficiente angolare m= x 2 - x quindi si scrive l equazione della retta di coefficiente angolare m e passante per A, oppure per B : y y = m( x x ) oppure y y2 = m( x x2 ) [ 3 ] ESEMPIO : Studia la posizione reciproca tra la retta di equazione y = 2x + 4 e la parabola di equazione y = x 2 +, determinando le coordinate degli ( eventuali ) punti in comune ai due grafici. Tale retta e tale parabola sono esterne, tangenti o secanti? Svolgimento : ) y = 2x ) x 2 + = 2x + 4 y = x 2 +

8 3 ) x 2 2x 3 = 0 ; 4 ) = b 2 4ac = ( 2 ) 2 4( )( 3 ) = 6 = 4 2 > 0 x = 2 4 = - e 3 2 ( ) Con x = si ottiene y = 2( ) + 4 = + 2 con x2 = 3 si ottiene y2 = 2( 3 ) + 4 = 0. La retta e la parabola sono secanti perché i loro grafici si intersecano nei due punti A( ; + 2 ) e B( 3 ; 0 ). ESEMPIO 2 : Determina l equazione della retta parallela a quella di equazione y = 8x + e tangente alla parabola di equazione y = x 2 + 4x + 3. Svolgimento : Sappiamo che due rette parallele devono avere lo stesso coefficiente angolare, quindi la retta tangente deve avere coefficiente angolare 8 e quindi una equazione della forma y = mx + q con m = 8, ovvero y = 8x + q, dove il valore di q deve essere determinato in modo che la retta sia tangente alla parabola. Iniziamo a risolvere il sistema formato dalle equazioni di tale retta tangente e della parabola : y = 8x + q y = x 2 + 4x + 3 Usando il metodo di sostituzione abbiamo : x 2 + 4x + 3 = 8x + q ovvero x 2 4x + 3 q = 0. Tale equazione è della forma ax 2 + bx + c = 0 con a =, b = 4 e c = 3 q. Il suo discriminante è Δ = b 2 4ac = ( 4 ) 2 4( )( 3 q ) = q = 4 + 4q. PERCHE LA RETTA SIA TANGENTE ALLA PARABOLA TALE DISCRIMINANTE DEVE ESSERE UGUALE A 0, quindi 4 + 4q = 0. Questa è una equazione di primo grado rispetto all incognita q. Risolvendola otteniamo q =. La retta tangente ha come equazione y = 8x. ESEMPIO 3 : Determina le equazioni delle due rette passanti per il punto P( 2; 2 ) e tangenti al grafico della parabola di equazione y = x 2 4x + 3. Svolgimento : P( 2 ; 2 ) tangenti a y = x 2 4x + 3. L equazione di una generica retta passante per P ha equazione y + 2 = m( x 2 ), ovvero y = mx 2m 2, dove m è il coefficiente angolare. Iniziamo a risolvere il sistema formato da una generica retta passante per P e dall equazione della parabola stessa :

9 y = mx 2m 2 y = x 2 4x + 3 Usando il metodo di sostituzione abbiamo : x 2 4x + 3 = mx 2m 2, quindi x 2 4x mx + 2m + 5 = 0 ; x 2 + ( 4 m )x + 2m + 5 = 0. L equazione risolvente è della forma ax 2 + bx + c = 0 con a = ; b = 4 m ; c = 2m + 5. Il discriminante di tale equazione risolvente è Δ = b 2 4ac = ( 4 m ) 2 4( + )( 2m + 5 ) = m 2 + 8m + 6 8m 20 = m 2 4 cioè Δ = m 2 4. AFFINCHE LA RETTA SIA TANGENTE ALLA PARABOLA TALE DISCRIMINANTE DEVE ESSERE UGUALE A 0. Quindi Δ = 0, cioè m 2 4 = 0 e quindi m = 2 ed m2 = + 2. Consideriamo nuovamente y = mx 2m 2; sostituendo m = 2 otteniamo y = 2x + 2 ; sostituendo m2 = 2 otteniamo y = 2x 6. Quindi le due rette tangenti hanno equazioni y = 2x + 2 e y = 2x 6. ESEMPIO 4 : Determinare l equazione della retta tangente al grafico della parabola di equazione y = x 2 + 4x + 4 nel suo punto di ascissa Svolgimento : L ordinata del punto di ascissa è f( ) = ( ) 2 + 4( ) + 4 = 9, quindi il punto di tangenza è P( ; 9 ) : L equazione di una generica retta passante per P ha equazione y 9 = m( x ), ovvero y = mx m + 9, dove m è il coefficiente angolare. Iniziamo a risolvere il sistema formato da una generica retta passante per P e dall equazione della parabola stessa : y = mx m + 9 y = x 2 + 4x + 4 Usando il metodo di sostituzione abbiamo : x 2 + 4x + 4 = mx m + 9, quindi x 2 + 4x mx + m 5 = 0 ; x 2 + ( 4 m )x + m 5 = 0. L equazione risolvente è della forma ax 2 + bx + c = 0 con a = ; b = 4 m ; c = m 5. Il discriminante di tale equazione risolvente è Δ = b 2 4ac = ( 4 m ) 2 4( + )( m 5 ) = m 2 8m + 6 4m + 20 = m 2 2m + 36 cioè Δ = m 2 2m AFFINCHE LA RETTA SIA TANGENTE ALLA PARABOLA TALE DISCRIMINANTE DEVE ESSERE UGUALE A 0. Quindi Δ = 0, cioè m 2 2m + 36 = 0.

10 Risolvendo tale equazione rispetto ad m otteniamo mp = + 6. Sostituendo tale valore in y = mx m + 9 abbiamo y = 6x + 3. ESEMPIO 5 : Determina l equazione della parabola con l asse di simmetria verticale, che ha come vertice il punto V( 2 ; 4 ) ed è tangente alla retta di equazione y = 8x 4. Svolgimento : L equazione della parabola deve essere della forma y 4 = a( x + 2 ) 2 dove il valore di a deve essere determinato in modo che la retta di equazione y = 8x 4 sia tangente. Iniziamo a risolvere il sistema ) y 4 = a( x + 2 ) 2 2 ) y = ax 2 + 4ax + 4a + 4 y = 8x 4 ovvero y = 8x 4 con il metodo di sostituzione. Otteniamo ax 2 + 4ax + 4a + 4 = 8x 4 ovvero ax 2 + 4ax + 8x + 4a + 8 = 0 ax 2 + ( 4a + 8 )x + 4a + 8 = 0. Il discriminante di tale equazione è Δ = b 2 4ac = ( 4a + 8 ) 2 4a( 4a + 8 ) = 6a a a 2 32a = 32a Affinché la retta sia tangente alla parabola tale discriminante deve essere uguale a 0, quindi otteniamo 32a + 64 = 0 ; 32a = 64 ; a = 2. Sostituendo 2 al posto di a nell equazione y 4 = a( x + 2 ) 2 si ottiene y 4 = 2( x + 2 ) 2 ovvero y = 2x 2 + 8x + 2.