Lucegrafo. IV a Esperienza del Laboratorio di Fisica Generale II. Teoria. Principio di Huygens
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- Gemma Vecchio
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1 IV a Esperienza del Laboratorio di Fisica Generale II Lucegrafo Teoria Principio di Huygens La propagazione della luce è descritta con un semplificato modello ondulatorio, una costruzione geometrica per determinare la posizione di un nuovo fronte d onda ad un qualche istante a partire dalla conoscenza di un fronte d onda anteriore: Tutti i punti di un dato fronte d onda sono presi come sorgenti puntiformi per la produzione di onde sferiche secondarie che si propagano verso l esterno con velocità caratteristiche delle onde in quel mezzo. Dopo che è trascorso un qualche tempo, la nuova posizione del fronte d onda è la superficie tangente alle onde secondarie. (Un fronte d onda è una superficie che passa attraverso quei punti di un onda che si stanno comportando identicamente. Per esempio, un fronte d onda potrebbe essere una superficie su cui l onda è un massimo). 1
2 Diffrazione di Fraunhofer prodotta da una fenditura singola. Secondo il principio di Huygens, ogni porzione della fenditura si comporta come una sorgente d onde. Quindi la luce proveniente da una porzione della fenditura può interferire con quella proveniente da un altra, e l intensità risultante sullo schermo verrà a dipendere dalla direzione θ. Tutte le onde originate dalla fenditura sono in fase tra loro. Considerando le onde 1 e 3, l onda 1 deve percorrere rispetto all onda 3 un tratto in più pari alla differenza di cammino ottico (a / )sin θ, dove a è la larghezza della fenditura. Nello stesso modo anche la differenza di cammino ottico tra le onde e 4 è (a / )sin θ. Se questa differenza di cammino ottico è esattamente pari a mezza lunghezza d onda (corrispondente a una differenza di fase di ), le due onde si annullano l un l altra e ne risulta interferenza distruttiva. Perciò le onde provenienti dalla metà superiore della fenditura interferiscono in modo distruttivo con quelle provenienti dalla metà inferiore quando (a / )sin θ = /, ovvero quando sin θ = / a. Se dividiamo la fenditura in 4 parti anziché in ed usiamo un ragionamento simile, troviamo che lo schermo è scuro
3 anche quando sin θ = / a. Se dividiamo la fenditura in 6 parti l oscurità sullo schermo si avrà quando sin θ = 3 / a. In generale si ha interferenza distruttiva per sin θ = m / a ( m = ±1,, ±, ±3, ). Quest equazione fornisce i valori di θ per cui la figura di diffrazione ha intensità nulla, cioè, dove si forma una frangia scura. Intensità della figura di diffrazione da fenditura singola. 3
4 Ciascuna zona Δy si comporta come una sorgente di radiazione coerente, e ciascuna contribuisce al campo elettrico totale in qualche punto P dello schermo con un incremento di ampiezza ΔE. L ampiezza del campo elettrico totale E in P si ottiene sommando i contributi di ciascuna zona. Si noti che gli incrementi di ampiezza del campo elettrico tra zone adiacenti sono sfasati di Δβ l uno rispetto all altro, il che corrisponde ad una differenza di cammino ottico Δysin θ. Il rapporto Δβ Δysin θ π può essere scritto come Δβ = = Δysin θ. Per trovare l ampiezza del campo elettrico π totale sullo schermo per ogni valore di θ, dobbiamo sommare gli incrementi d ampiezza dovuti alle singole zone. Per piccoli valori di θ, possiamo assumere che le ampiezze ΔE dovute a ciascuna zona siano le stesse. E conveniente usare diagrammi di fasori come in Fig Quando θ = 0, tutti i fasori sono allineati, come in Fig. 16.9a, poiché le onde provenienti da ciascuna zona sono in fase. In questo caso, l'ampiezza totale nel centro dello schermo è E0 = NΔE, dove N è il numero di zone. L ampiezza Eθ per un qualche piccolo angolo θ è mostrata in figura 16.9b, in cui ogni fasore è sfasato di una quantità Δβ rispetto a quello adiacente. In questo caso si nota che Eθ è la somma vettoriale degli incrementi d ampiezza, e quindi è dato dalla lunghezza della corda. Perciò Eθ < E0. Lo sfasamento totale tra le onde provenienti dalla cima e dal fondo della fenditura è π π β = NΔβ = NΔysin θ = asin θ, dove a = NΔy è la larghezza della fenditura. Aumentando θ, la catena di fasori alla fine forma un percorso chiuso come in Fig. 16.9c. A questo punto la somma vettoriale è zero, cosicché Eθ = 0, il che corrisponde al primo minimo sullo schermo. Poiché in 4
5 , che è il primo minimo della figura di a diffrazione, come visto anche nel paragrafo precedente. Per valori di θ ancora più grandi, la catena a spirale di fasori continua. Per esempio, la Fig. 16.9d rappresenta la situazione corrispondente al secondo massimo, che si ha quando β = ( 3π rad). Il secondo minimo (due spirali complete, non mostrato) corrisponde a β = 70 0 ( 4π rad), che soddisfa la condizione sin θ = / a. Si possono ora ottenere l ampiezza totale e l intensità in ogni punto sullo schermo considerando il caso limite in cui Δy diventa infinitesimo (dy) e N. In questo limite, i diagrammi di fasori in Fig diventano curve continue, come in Fig Da questa figura, vediamo che per un generico angolo θ, l ampiezza dell onda sullo schermo, Eθ, è uguale alla lunghezza della corda, mentre E0 è la lunghezza dell arco. Dal triangolo con un angolo interno pari a β /, vediamo che sin(β / ) = (Eθ / ) / R, dove R è il raggio di curvatura. Inoltre la lunghezza dell arco E0, è uguale al prodotto Rβ, dove β è in radianti. Combinando queste due espressioni β E β abbiamo ovvero Eθ = Rsin = ( 0 )sin, β sin(β / ) Eθ = E0. Poiché l intensità risultante in P, Iθ, è β / proporzionale al quadrato dell ampiezza Eθ, troviamo questa situazione β = NΔβ = π, allora sin θ = sin(β / ) Iθ = I 0, dove I 0 è l intensità a θ = 0 (il β / π massimo centrale) e β = asin θ. Sostituendo questa π sin( asin θ ) espressione nella precedente si ottiene Iθ = I 0. Da questo risultato, vediamo che si π asin θ π hanno dei minimi quando asin θ = mπ, ovvero sin θ = m / a ( m = ±1,, ±, ±3, ), come già trovato nel precedente paragrafo. La figura 16.11a rappresenta un grafico di Iθ ed in Fig b si mostra una fotografia di una figura di diffrazione di Fraunhofer da una fenditura singola. Notare che la maggior parte dell intensità della luce è concentrata nella frangia chiara centrale. 5
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