Corso di Fisica Velocità ed Accelerazione. Prof. Francesco Di Capua a.a. 2018/19

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1 Corso di Fisica Velocità ed Accelerazione Prof. Francesco Di Capua a.a. 2018/19

2 breve riassunto lez. precedente

3 VeBore posizione Per descrivere il moto occorre definire la posizione di un punto nello spazio Si uflizza una terna di assi cartesiani in cui si introduce un vebore posizione r = xˆ i + yˆ j + zk ˆ Se il punto si muove rispebo al riferimento di assi cartesiani, il vebore posizione sarà una funzione del tempo r r(t) = x(t)ˆ i + y(t) ˆ j + z(t) k ˆ Il moto di un corpo sarà noto se si conosce la dipendenza dal tempo delle tre componenf x(t), y(t), z(t)

4 Velocità La rapidità con cui un vebore posizione cambia rispebo ad un sistema di riferimento è chiamata velocità Velocità media di un corpo in un intervallo di tempo Δt v = r r f i = Δr t t Δt f i Nel caso ad una dimensione v = (x x )ˆ i f i t t f i = Δx i ˆ Δt Dal punta di vista geometrico la velocità media è il rapporto dei catef del rebangolo in figura: cioè è la pendenza della reba che unisce le due posizioni finale ed iniziale nella curva spazio-tempo

5 Velocità istantanea La velocità istantanea è uguale al valore del rapporto Δx/Δt (velocià media) quando l intervallo di tempo Δt tende a zero Dal punto di vista matema@co si esprime con il conceao di limite del rapporto incrementale Al tendere di Δt a zero anche Δx tende a zero, il loro rapporto (velocità media) tende alla Velocità istantanea (tangente alla curva all istante t) v ist (t) = lim Δt 0 Δx Δt La velocità istantanea è in altre parole in ogni istante t la tangente alla curva x(t), tale pendenza è data dal valore della derivata di x rispeao al tempo t v ist (t) = lim Δt 0 Δx Δt = d dt x(t) ( ) Derivata rispeao alla variabile t della funzione x(t)

6 Esercizio: Velocità media ed istantanea(1) La posizione di una parfcella che si muove lungo l asse x varia nel tempo secondo l espressione x = 4t + 2t 2 Determinare lo spostamento della par@cella da t=0 a t=1s e da t=1s a t=3s Lo spostamento nell intervallo AB è Δx AB = 4(1) + 2(1) 2 [ 4(0) + 2(0) 2 ] Δx AB = = 2m Allo stesso modo nell intervallo BD Δx BD = 4(3) + 2(3) 2 [ 4(1) + 2(1) 2 ] Δx BD = [ 4 + 2] = +8m

7 Esercizio: velocità media ed istantanea(2) Negli stessi intervalli di tempi calcolare la velocità media v x = Δx AB Δt AB v x = Δx BD Δt BD = 2m 1s = 8m 2s = 2m /s = +4m /s Trovare la velocità istantanea in ogni istante t Δx = x f x i = 4(t + Δt) + 2(t + Δt) 2 [ 4t + 2t 2 ] Δx = 4t 4Δt + 2(t 2 + Δt 2 + 2tΔt) + 4t 2t 2 Δx = 4Δt + 2Δt 2 + 4tΔt v x = Δx Δt = 4Δt + 2Δt 2 + 4tΔt Δt = 4 + 2Δt + 4t

8 Esercizio: velocità media ed istantanea(3) v x = Δx Δt = 4Δt + 2Δt 2 + 4tΔt Δt Δx v ist (t) = lim Δt 0 = 4 + 4t Δt oppure = 4 + 2Δt + 4t v ist (t) = d dt A t=1 v ist =0, a t=3 v ist =8m/s ( x(t) ) = d dt Time (s) Speed (m/s) ( 4t + 2t 2 ) = 4 + 4t 4 12 v ist (t) 4 (t)

9 un passo indietro (es. vebori)

10 Esercizio Un esploratore è sorpreso da una nevicata mentre sta ritornando al campo base. Per ritornare al campo avrebbe dovuto camminare per 5.5 km verso Nord (θ=90 ) invece scopre di aver viaggiato per errore per 9.9 km in direzione che si discosta da Est di 25.3 verso Nord (θ=25.3 ). QuanF km deve ancora percorrere l esploratore una volta scoperto l errore per ritornare al campo? N Spostamento errato esploratore A x = Acos(25.3 ) = 9.9cos(25.3 ) = 8.95km A y = Asen(25.3 ) = 9.9sen(25.3 ) = 4.23km O 25.3 E Campo Base B x = 0 B y = S Per raggiungere il campo base occorre compiere uno spostamento R R x = B x A x = 8.95km R y = B y A y = ( )km =1.27km R = R 2 x + R 2 y = 9.04km

11 Esercizi VeBori Il vebore A, direbo in direzione i (asse x), è aggiunto al vebore B, che ha modulo pari a 7.0 m. La somma è un vebore che punta in direzione posifva dell asse j (asse y), con un modulo pari a 3 volte quello di A. Quanto vale il modulo di A? A = a 1ˆ i B = b 1ˆ i + b 2 ˆ j B = b b 2 2 = 7.0m! C = A! + B = c 2 ˆ j C = A + B = 3A c 1 = a 1 + b 1 = 0 c 2 = b 2 b 1 = a 1 b 2 = 3a 1 B = b b 2 2 = 7.0m b b 2 2 = 49.0m 2 a (3a 1 ) 2 = 49.0m 2 10a 1 2 = 49.0m 2 a 1 = 2.2m

12 Velocità nello spazio a 3 dimensioni v ist (t) = lim Δt 0 v v ist (t) = lim Δt 0 Δr Δt v ist (t) = d dt ( r(t) ) v ist = lim Δt 0 Δr Δt = d dt ( x(t) )ˆ i + d dt ( y(t) ) ˆ j + d dt ( z(t) ) k ˆ Il veaore velocità nello spazio ha come componen@ le derivate delle componen@ del veaore posizione rispeao al tempo v = dx dt 2 + dy dt 2 + dz dt 2 modulo della velocità

13 Sommario: concebo di velocità Variazione nel tempo della posizione, legge del moto Velocità media, pendenza della reba che unisce due posizioni nella curva spazio tempo Velocità istantanea è il limite della velocità di media quando l intervallo di tempo tende a zero, tangente alla curva x(t) La velocità è la derivata della funzione x(t) rispebo al tempo v = (x f x i )ˆ i t f t i = Δx i Δt ˆ v ist (t) = lim Δt 0 Δx Δt = d dt ( x(t) )

14 Accelerazione La rapidità con cui la velocità varia rispebo al tempo si chiama accelerazione Un moto di un corpo che avviene a velocità costante è ad accelerazione nulla Si definisce accelerazione media di un corpo in un certo intervallo di tempo a = v f v i t f t i = Δv Δt a = v f v i t f t i = Δv Δt Nel caso di una dimensione il modulo del veaore accelerazione media è a x = v xf v xi t f t i a x = a x i ˆ = Δv x Δt

15 Accelerazione istantanea Derivata della velocità rispebo al tempo a ist (t) = lim Δt 0 a = lim Δt 0 Δv Δt = d dt v(t) ( ) se la velocità è costante nel tempo, la sua derivata è nulla e l accelerazione è nulla dimensioni fisiche [ a ist (t)] = m s 2 a ist (t) = d ( dt v(t) ) = d 2 dt ( r(t) ) derivata seconda rispeao al tempo del veaore posizione

16 Accelerazione istantanea(2) L accelerazione ad un dato istante è data dalla pendenza della curva velocità-tempo Per il moto unidimensionale: a x = d dt v x(t) = d dt a ist = a xˆ i d dt x(t) = d 2 dt Quando la velocità diminuisce (pendenza tangente negafva) l accelerazione è negafva, quando la velocità aumenta, l accelerazione è posifva x(t) ( )

17 Esempio Data una legge oraria: x(t) =18m + (12m /s)t (1.2m /s 2 )t 2 Determinare l accelerazione: Derivata prima rispeao al tempo di x(t): v(t) = (12m /s) 2 (1.2m /s 2 )t = (12m /s) (2.4m /s 2 )t Derivata seconda rispeao al tempo di x(t): a(t) = 2.4m /s 2 Nota: partendo da una dipendenza spazio-tempo quadrafca si oeene un accelerazione costante

18 Moto con accelerazione costante In molf Fpi di mof l accelerazione è costante. In tal caso l accelerazione media è uguale a quella istantanea Accelerazione istantanea a x = a x = Δv x Δt = v xf v xi t f t i Accelerazione media ponendo t f =t e t i =0 a x = v x(t) v x 0 t 0 v x (t) = v x 0 + a x t La velocità al generico istante t varia linearmente con il tempo

19 Moto con accelerazione costante(2) Si può inoltre scrivere l espressione della velocità media: v x = x x 0 t 0 x = x 0 + v x Per una velocità che aumenta linearmente con il tempo la velocità media su un intervallo di tempo è sempre data dalla media aritme@ca tra velocità all istante iniziale e la velocità all istante finale x = x 0 + v x (t) + v x 0 2 t = x 0 + v x (t)t 2 x = x 0 + (v x 0 + a x t)t 2 + v x 0 t 2 t v x = v x (t) + v x 0 2 v x (t) = v x 0 + a x t + v x 0 t 2 = x 0 + v x 0 t a xt 2

20 Moto con accelerazione costante (3) x(t) = x 0 + v x 0 t a x t 2 La posizione x(t) varia quadra@camente con il tempo È semplice dimostrare che si passa da posizione x ad accelerazione a applicando due volte l operazione di derivazione e viceversa si passa da a ad x applicando due volte l integrazione

21 Integrazione e derivazione x = x 0 + v x 0 t a xt 2 a x = costante derivata x(t) integrale x(t) v x = d dt x(t) = v x 0 + a xt v x = a x t + v x0 derivata v(t) integrale v x (t) a x = d dt v x (t) = a x x = 1 2 a x t 2 + v x0 t + x 0

22 Riassumendo (sul moto con accelerazione costante) x = x 0 + v x 0 t a x t 2 v x = v x0 + a x t x = x 0 + v x 0 (v x v x0 a x ) a x (v x v x0 a x ) 2 t = v x v x0 a x v x 2 = v x a x (x x 0 )

23 Esempio 1 Un auto viaggia alla velocità costante di 45 m/s Al passaggio davanf una moto della polizia dopo un secondo viene inseguita. La polizia inizia un inseguimento con un accelerazione di 3m/s 2 Dopo quanto tempo la polizia raggiunge l auto? La polizia inizia l inseguimento dopo un tempo t=1s, l auto viaggiando alla velocità di 45 m/s, si trovera dopo 1s distante 45 m dalla polizia (consideriamo dunque una posizione iniziale x i = 0, per la polizia, e x i = 45 m per l auto in corsa L auto si muove a velocità costante (accelerazione nulla) x f = x i + v ist t at 2 x AUTO = 45m + (45m /s) t Per la moto che parte da ferma si ha (x i =0 v xi =0 e a x =3 m/s 2 ) x f = x i + v xi t a x t 2 x POLIZIA = 1 2 (3m /s2 )t 2

24 Esempio 1 La polizia raggiunge l auto al tempo t in cui vale x AUTO = x POLIZIA x POLIZIA = 1 2 (3m /s2 )t 2 = x AUTO = 45m + (45m /s) t 3 2 t 2 45t 45 = 0 t = 30.97s x POLIZIA = 1 2 (3m /s2 )(30.97s) 2 =1438.7m x AUTO = 45m + (45m /s)30.97s =1438.7

25 Esempio 2 Un tennista colpendo la pallina ne cambia la sua velocità da 0 a 40 m/s (144 km/h). La pallina resta abaccata alla raccheba per 0.5 m durante la babuta. Calcolare l accelerazione v x 2 = v x a x (x x 0 ) a x = v x 2 2(x x 0 ) = (40m /s) m =1600m /s2 Dopo la babuta la velocità della pallina resta costante (accelerazione nulla). Calcolare il tempo di reazione che deve avere l altro tennista per rispondere considerando che il campo è lungo 25m x = x 0 + v x 0 t a x t 2 x x 0 = v x 0 t 25m = (40m /s)t t = 0.62s