1. Cambiamenti di coordinate affini Esempio 1.1. Si debba calcolare l integrale doppio. (x + y) dx dy =

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1 . Cambiamenti di coordinate affini Esempio.. Si debba calcolare l integrale doppio (x + y) dx dy essendo il parallelogramma di vertici (, ), (, ), (3, 3), (, 3) nel quale é possibile riconoscere, vedi Figura, l immagine del quadrato Q di vertici opposti (, ), (, ) tramite la trasformazione affine ( ) ( ) ( ) x u = y 3 v Riesce pertanto (x + y) dx dy = = 6 Q ( [(u + v) + (3v)] det 3 du (u + 4v) dv = 8 ) dudv = Osservazione.. Cosa si sarebbe potuto dire del valore del precedente integrale doppio pensando di servirsi del Teorema della Media? (x + y) dx dy = (ξ + η)area() = 6(ξ + η) e quale punto piú candidabile del centro (.5,.5) del parallelogramma dal momento che la funzione integranda é lineare?

2 Figura. Il parallelogramma e il quadrato Q Infatti (x + y) dx dy = 8 = 6(.5 +.5) Esempio.3. Utilitá di un cambio di coordinate affini. Si debba calcolare il seguente integrale x + y dxdy, = {(x, y) : x+y, x y } + (x y)

3 . CAMBIAMENTI I COORINATE AFFINI 3 Figura. Il dominio La funzione integranda é positiva e quindi l integrale richiesto rappresenta il volume del solido Figura 3. Il volume del solido: dal piano grigio, z = alla cupola grafico in rosso, il tutto disegnato in corrispondenza ai punti (x, y). Consideriamo la trasformazione affine Φ(u, v) { x = (u + v) Φ(u, v) = y = (u v) Φ([, ] [, ]) = con ( ) A =

4 4 e l inversa Φ (x, y) = { u = x + y v = x y, Φ () = [, ] [, ] R u,v Riesce inoltre det Φ(u, v) = = La formula del cambiamento di coordinate é la seguente x + y + (x y) dxdy = u Φ(u, v) dudv = [,] [,] + v = u + v dudv = + v dv udu = [,] [,] = 4 + v dv = π 6 Figura 4. Il grafico della u, u [, ], v [, ] e +v il piano z = in grigio.. Le coordinate polari Siano r < R e α < β π, sia Q il rettangolo Q = [r, R] [α, β]

5 e si indichi con (ρ, θ) i punti di Q. Si consideri la funzione. LE COORINATE POLARI 5 Φ : R R : Φ(ρ, θ) = { x = ρ cos θ y = ρ sin θ. L immagine di Q tramite Φ risulta essere l intersezione della corona circolare di raggio interno r e raggio esterno R con l angolo di apertura α β : se α = e β = π, l immagine di Q è la corona anzidetta, se inoltre r =, l immagine è il disco di centro l origine e raggio R. Calcoliamo l area dell immagine Φ(Q) usando la formula (??) : Area(Φ(Q)) = dxdy = det Φ(ρ, θ) dρdθ = Φ(Q) Q β R α r det Φ(ρ, θ) dρdθ. La matrice jacobiana e il suo determinante sono, nel caso delle coordinate polari, ( ) cos θ ρ sin θ Φ(ρ, θ) =, det Φ(ρ, θ) = ρ sin θ ρ cos θ quindi Area(Φ(Q)) = β R α r ρdρdθ = R r (β α). Si ritrova, per r l area del cerchio () lim lim r + α + lim R r β π (β α) = πr = πr. Osservazione.. I risultati ottenuti sono corretti anche se per giustificare la () non basta la nostra formula dell area perché la funzione Φ non soddisfa le ipotesi del teorema per ρ = : si perde l invertibilitá. Infatti il segmento verticale {} [, π] ha come immagine un solo punto, l origine. In altre parole la funzione Φ non è iniettiva. Il problema può essere rimosso, contentiamoci di averlo segnalato.

6 6.. Integrazione in coordinate polari. Proposizione.. Sia F una funzione continua sul disco chiuso di raggio R > centrato in (, ). Allora π [ R ] () F (x, y)dxdy = dθ F (ρ cos θ, ρ sin θ)ρdρ. B(,R) Esempio.3. Calcolare l integrale doppio seguente: + x + y dx dy, : x + y si sostituisce ad x e ad y rispettivamente ρ cos(θ) e ρ sin(θ) si sostituisce al blocco dx dy il blocco ρ dρ dθ si estende l integrale doppio in ρ e θ alla regione Q tale che (ρ, θ) Q (x, y) + x + y dx dy = π dθ + ρ ρ dρ = π + ρ ρ dρ = π 3 ( ) Figura 5. L integrale + x + y dx dy rappresenta il volume tra il piano z = in grigio e il grafico di + x + y, x + y in rosso.

7 3. CAMBIAMENTI I COORINATE IN INTEGRALI TRIPLI 7 3. Cambiamenti di coordinate in integrali tripli L algoritmo di sostituzione delle coordinate negli integrali doppi si estende in modo del tutto analogo al caso di integrali tripli. Siano x = ϕ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w) gli elementi della trasformazione Φ che si intende adottare, funzioni regolari e invertibili, l integrale f(x, y, z) dx dy dz si trasforma al modo seguente si sostituiscono nella funzione integranda f le x, y e z con le corrispondenti ϕ(u, v, w),ψ(u, v, w) e χ(u, v, w) si sostituisce il blocco dx dy dz con essendo det Φ(u, v, w) du dv dw det Φ(u, v, w) = ϕ u ϕ v ϕ w ψ u ψ v ψ w χ u χ v χ w Si calcola l integrale f [ϕ(u, v, w), ψ(u, v, w), χ(u, v, w)] det Φ(u, v, w) du dv dw Q essendo Q tale che (u, v, w) Q (x, y, z) Tenere sempre presente che lo scopo del cambiamento di coordinate é quello di approdare con esso ad un integrale che presenti minori difficoltá di quello originale. 3.. Coordinate sferiche. In questo caso la trasformazione Φ é definita come segue x = ρ cos φ sin θ Φ = Φ(ρ, φ, θ) = y = ρ sin φ sin θ ρ, θ [, π], φ [, π]. z = ρ cos θ,

8 8 La matrice Jacobiana è la seguente: cos φ sin θ ρ sin φ sin θ ρ cos φ cos θ Φ(ρ, φ, θ) = sin φ sin θ ρ cos φ sin θ ρ sin φ cos θ. cos θ ρ sin θ Il determinante della matrice Jacobiana è ρ sin(θ). 3.. La sfera. Applichiamo le coordinate sferiche per calcolare il volume della sfera B(, R) di centro l origine e raggio R Volume(B(, R)) = dx dy dz = ρ sin θ dρ dθ dφ, B(,R) dove Q = [, R] [, π] [, π]. R Volume(B(, R)) = ρ dρ Q π sin θ dθ π dφ = 4 3 πr3.