Esercitazione del 14 gennaio f(x) = e x x2 x 2. { e x2 +2x+2 e x2 2. se x [ 1, 2] ; {

Transcript

1 Esercitazione del gennaio 0 Esercizio. Tracciare il diagramma della funzione f(x) = e x x x. Svolgimento.. La funzione risulta definita, positiva e continua x R.. Si ha f(x) = e x +x+ se x < x >, e x se x [, ]. 3. Risulta: * lim x ± f(x) = lim x ± e x +x+ = 0, dunque la retta y = 0 è un asintoro orizzontale; * Non esistono asintoti verticali, nè obliqui.. Si ha risulta f (x) = f (x) = ( x + )e x +x+ se x < x >, xe x se x [, ] ; > 0, se x ((, ) (0, )), < 0, se x ((, 0) (, + )). 5. La funzione non è derivabile per x =, x = ; infatti risulta lim f (x) = lim ( x + +x+ x x )e x = e lim f (x) = lim x + x xex = e lim f (x) = lim( x + )e x +x+ = e lim f (x) = lim xe x = e () x + x x x 6. Risulta f (0) = 0 e x = 0 è un punto di minimo relativo, mentre i punti x = e x = risultano di massimo relativo. 7. La derivata seconda, dove è definita, è positiva. 8. La funzione non ha punti di flesso In figura il grafico della funzione. Esercizio. Data la matrice risulta 0 A = A = AA = 0 0 = ()

2 Figura : Grafico della funzione dell esercizio. Esercizio 3. La retta passante per il punto P = (a, b) e di parametri direttori (l, m) ha equazioni parametriche x = a + tl y = b + tm, t parametro Dunque, la retta passante per il punto P = (, 3) e parallela al vettore v = i + j ha equazioni parametriche x = t y = t 3, t parametro Esercizio. Una retta di equazione cartesiana ax+by+c = 0 ha parametri direttori (l, m) = ( b, a). Dunque, la retta s passante per il punto P = (, ) e parallela alla retta r di equazione x = + t cartesiana r : x y = 0 ha equazioni parametriche s : y = + t e equazione cartesiana s : x y 3 = 0 Due rette, t e r di parametri direttori, rispettivamente, (l t, m t ) e (l r, m r ) sono perpendicolari se l t l r + m t m r = 0. Dunque la retta, t passante per il punto P = (, ) e perpendicolare alla retta r : x y = 0 ha parametri direttori (l t, m t ) tali che x = + t l t +m t = 0; quindi (l t, m t ) = (, ) e risulta t : ovvero t : x+y = 0. y = t Esercizio 5. Determinare il valore del parametro reale t in modo che i vettori v = 3i+tj k e w = 6i j 3k siano ortogonali. Svolgimento. Deve essere, per la condizione di ortogonalità di due vettori, 3 6 t + ( ) ( 3) = 0 da cui segue t = 6. Esercizio 6. Calcolare ln(x + ) x dx

3 Svolgimento. Applicando la formula di integrazione per parti, scegliendo come fattore differenziale g(x) =, si ha x ln(x + ) dx = ln(x + ) + x x x(x + ) = x ln(x + ) + ( x x + ) dx = x ln(x + ) + ln x ln x + + k con k R Esercizio 7. Calcolare x 3 x x + 3 x 3x + Svolgimento. Risulta dx x 3 x x + 3 = (x 3x + )(x + ) + quindi x 3 x x + 3 x 3x + Allora x 3 x x + 3 x 3x + = x + + dx = (x + ) dx + x 3x + x 3x + dx Essendo Q(x) = x 3x + = (x )(x ), si determinano A e B tali che Essendo, per x R \, }, (x )(x ) = A x + B x A x + B x = (A + B)x (A + B) (x )(x ) deve essere = (A + B)x (A + B), x R ovvero A + B = 0 (A + B) = (3) da cui A = e B =. e quindi la (3) si riscrive come (x )(x ) = x + x Pertanto si ha x 3x + dx = = log x + log x + c = log x x + c x dx x dx Dunque x 3 x x + 3 x 3x + dx = x 3 + x + log x x + c

4 Esercizio 8. Calcolare x + 0 (x )(x + x + ) dx Svolgimento. L equazione (x )(x + x + ) = 0 si scinde nelle due equazioni x = 0 e x + x + = 0: la prima ha come radice, la seconda ha radici complesse. Si pone Eliminando i denominatori si ha x + 0 (x )(x + x + ) = A x + Bx + C x + x + x + 0 = A(x + x + ) + (Bx + C)(x ) da cui segue A =, B =, C =. Si ha dunque x + 0 (x )(x + x + ) dx = x dx x + x + x + dx Il primo integrale a secondo menbro vale log(x ) = log(x ) ; per il secondo integrale si ha x + x + x + dx = x + x + x + dx + 3 (x + /) + ( d(x + /) 3/) = log(x + x + ) + 6 arctan x + (/) + c 3 3/ Quindi, in definitiva, si ha x + 0 (x )(x + x + ) Esercizio 9. Tracciare il diagramma della funzione Svolgimento. (x ) dx = log x + x + 3 arctan x + + c 3 f(x) = e x. La funzione è definita per ogni x log ; è positiva per x > log, negativa per x < log. La retta di equazione x = log è asintoto verticale; la retta y = 0 è un asintoto orizzontale per x +, la retta y = / è asintoto orizzontale per x. La funzione è decrescente e convessa per x > log, decrescente e concava x < log. Il grafico è in figura ; in blu l asintoto orizzontale. Esercizio 0. Calcolare il limite Svolgimento. Si ha cos x + log(cos x) lim x 0 x

5 Figura : Grafico della funzione dell esercizio 9. cos x = x + x + o(x5 ) log( + y) = y y + o(y ) Posto y = x + x + o(x5 ) si ha y = ( x + x + o(x5 )) = x + o(x ) e quindi log(cos x) = x + x + o(x5 ) ) ( x + x + o(x5 ) + o(x ) = x x + o(x ) Dunque cos x + log(cos x) lim x 0 x = ( x + x + o(x5 )) x x + o(x ) x = lim x 0 (3/)x x = 8 5