Registro di Meccanica /19 - F. Demontis 2
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1 Registro delle lezioni di MECCANICA 2 Corso di Laurea in Matematica 8 CFU - A.A. 2018/2019 docente: Francesco Demontis ultimo aggiornamento: 27 dicembre Martedì 25/09/2018, ore: 2(2) Presentazione del corso e dell organizzazione didattica. Breve introduzione storica alla meccanica analitica: da Newton a Hamilton passando per Lagrange. 2. Giovedì 27/09/2018, ore: 2(4) Illustrazione del problema fondamentale della dinamica e importanza di procedure atte ad eliminare le reazioni vincolari. Richiami sulla terminologia: vincoli olonomi, vincoli lisci, spostamenti possibili, spostamenti virtuali e principio dei lavori virtuali. Principio di D Alembert e prima forma delle equazioni di Lagrange. 3. Venerdì 28/09/2018, ore: 2(6) Seconda forma delle equazioni di Lagrange. Richiami sulle equazioni differenziali e sul determinismo lagrangiano. Lagrangiana. Sistemi lagrangiani generali. Richiami sugli integrali primi: Definizione di integrale primo e principali integrali primi. 4. Martedì 02/10/2018, ore: 2(8) Momenti cinetici. Hamiltoniana per un sistema lagrangiano generale. Conservazione dell energia meccanica dedotta dalle equazioni di Lagrange per un sistema soggetto a vincoli olonomi, bilaterali, lisci e fissi. Lagrangiane differenti implicanti le stesse equazioni di moto.
2 Registro di Meccanica /19 - F. Demontis 2 E1. Martedì 02/10/2018, ore: 3(3) Esercitazione Correzione esercizi assegnati per casa (richiami sul calcolo della matrice d inerzia e delle equazioni cardinali). 5. Giovedì 4/10/2018, ore: 2(10) Invarianza in forma delle equazioni di Lagrange per un cambio invertibile di coordinate lagrangiane. Equazione di moto del pendolo semplice determinata tramite le equazioni di Lagrange. 6. Martedì 09/10/2018, ore: 2(12) Richiami sulle curve: ascissa curvilinea, triedrio di Frenet e formule di Frenet- Serret. Studio del moto di un punto materiale P vincolato ad una curva liscia e fissa (in particolare, determinazione della reazione vincolare). Esempio: determinazione della reazione vincolare nel caso del pendolo semplice. Impostazione del problema dello studio del moto di un punto materiale P vincolato ad una superficie liscia e fissa. 7. Venerdì 12/10/2018, ore: 2(14) Nozioni di base sulle superfici: definizione, esempi, curve su una superficie, spazio tangente in un punto, versore normale alla superficie, prima forma quadratica fondamentale. Equazioni delle geodetiche su una superficie. Caratterizzazione del moto di un punto vincolato a stare su una superficie liscia e fissa in assenza di forze attive (moto spontaneo). 8. Martedì 16/10/2018, ore: 2(16) Equazioni delle traiettorie (geodetiche) di un punto vincolato stare su una superficie liscia e fissa scritte in forma normale e introduzione dei simboli di Christoffel. Simmetrie e leggi di conservazione: Teorema di Noether (senza dimostrazione).
3 Registro di Meccanica /19 - F. Demontis 3 9. Venerdì 19/10/2018, ore: 2(18) Potenziali generalizzati: definizione e loro caratterizzazione. Il caso della forza di Lorentz. E2. Venerdì 19/10/2018, ore: 2(5) Esercitazione Esercizi sulla determinazione delle configurazioni di equilibrio e delle equazioni di moto (equazioni di Lagrange) di un sistema meccanico soggetto a vincoli olonomi, bilaterali, lisci, fissi e soggetto a una sollecitazione conservativa (esercizio tratto da un tema assegnato come prova d esame). 10. Martedì 23/10/2018, ore: 2(20) Determinazione del potenziale generalizzato associato alla forza di Lorentz. Discussione di Weierstrass: motivazioni e primi casi di discussione. 11. Mercoledì 24/10/2018, ore: 2(22) Discussione di Weierstrass. Applicazione della discussione di Weierstrass al pendolo semplice (discussione per via analitica). 12. Venerdì 26/10/2018, ore: 2(24) Discussione di Weierstrass per via grafica (tracciamento dei grafici corrispondenti all energia potenziale e all energia meccanica). Esempio del pendolo semplice. Introduzione ai principi variazionali: discussione di vari esempi e definizione di funzionale. Variazione di un funzionale: definizione. Punti di stazionarietà di un funzionale: definizione. E3. Venerdì 26/10/2018, ore: 1(6) Esercitazione Esercizi sulla determinazione delle configurazioni di equilibrio e delle equazioni di moto (equazioni di Lagrange) di un sistema meccanico soggetto a vincoli olonomi, bilaterali, lisci, fissi e soggetto a una sollecitazione conservativa (esercizio tratto da un tema assegnato come prova desame).
4 Registro di Meccanica /19 - F. Demontis Martedì 06/11/2018, ore: 2(26) Variazione e punti di stazionarietà di un funzionale (caso scalare): definizione ed esempi. Le equazioni di Eulero per la stazionarietà di un funzionale. Principio di Hamilton per sistemi con un solo grado di libertà. 14. Venerdì 09/11/2018, ore: 2(28) Risoluzione del problema della brachistocrona con gli strumenti del calcolo delle variazioni. Principio di Hamilton ed equazioni di Eulero-Lagrange (caso n-dimensionale). 15. Martedì 13/11/2018, ore: 2(30) Applicazione del principio di Hamilton: le geodetiche come curve su una superficie che rendono stazionario il funzionale che esprime la lunghezza delle curve passanti fra due dati punti della superficie. Equazioni canoniche di Hamilton (tramite la trasformata di Legendre) e Hamiltoniana. Integrale primo dell hamiltoniana nel caso in cui la lagrangiana non dipenda esplicitamente dal tempo. 16. Giovedì 15/11/2018, ore: 2(32) Determinazione delle equazioni di Hamilton con il principio di Hamilton esteso. Approfondimento sulla trasformata di Legendre. 17. Venerdì 16/11/2018, ore: 2(34) Esempi/esercizi sulle equazioni di Hamilton: 1) equazioni di Hamilton per un punto libero di massa m soggetto a una sollecitazione conservativa in coordinate cartesiane e cilindriche; 2) Hamiltoniana e equazioni di Hamilton nel caso di un punto di massa m soggetto a una forza centrale. Coordinate cicliche e integrali primi. Idea alla base del metodo di Routh.
5 Registro di Meccanica /19 - F. Demontis 5 E4. Venerdì 16/11/2018, ore: 3(9) Esercitazione Esercizi sulla determinazione delle configurazioni di equilibrio e delle equazioni di moto (equazioni di Lagrange) di un sistema meccanico soggetto a vincoli olonomi, bilaterali, lisci, fissi e soggetto a una sollecitazione conservativa (esercizio tratto da un tema assegnato come prova d esame). Esercizio (tratto da un tema assegnato come prova d esame) sulla discussione di Weierstrass. 18. Martedì 20/11/2018, ore: 2(36) Metodo di Routh e sua illustrazione nel caso di un punto di massa m soggetto a una forza centrale. Definizione di trasformazione canonica. 19. Giovedì 22/11/2018, ore: 2(38) Esempio di una trasformazione invertibile e regolare nello spazo delle fasi che non è canonica. Esempi di trasformazioni canoniche (dilatazioni, traslazioni, scambio momenti-coordinate, trasformazioni di Galileo, trasformazioni puntuali estese). 20. Venerdì 23/11/2018, ore: 2(40) Teorema (di Lie) della canonicità di una trasformazione canonica (dimostrazione della sola condizione necessaria). Funzioni generatrici di funzioni canoniche e trasformazioni canoniche da esse definite: il caso della funzione generatrice F 1 (q, Q, t). 21. Martedì 27/11/2018, ore: 2(42) Funzioni generatrici di funzioni canoniche e trasformazioni canoniche da esse definite. Esempi. L oscillatore armonico descritto mediante la teoria delle trasformazioni canoniche. 22. Giovedì 29/11/2018, ore: 2(44) L equazione di Hamilton-Jacobi. Separazione di variabili nell equazione di Hamilton-Jacobi: l esempio dell oscillatore armonico.
6 Registro di Meccanica /19 - F. Demontis Venerdì 30/11/2018, ore: 2(46) Parentesi di Poisson: definizione e loro propriet algebriche. Collegamento fra parentesi di Poisson e integrali primi del moto. Equazioni di Hamilton espresse tramite le parentesi di Poisson. Invarianza delle parentesi di Poisson sotto trasformazioni canoniche (Idea della dimostrazione). E5. Venerdì 03/12/2018, ore: 2(11) Esercitazione Esercizi sulla determinazione delle configurazioni di equilibrio e delle equazioni di moto (equazioni di Lagrange) di un sistema meccanico soggetto a vincoli olonomi, bilaterali, lisci, fissi e soggetto a una sollecitazione conservativa (esercizi tratti da temi assegnati come prove d esame). 24. Martedì 04/12/2018, ore: 2(48) Definizione di configurazione di equilibrio stabile secondo Lyapunov. Enunciato del teorema di Dirichlet-Lagrange (stabilità delle configurazioni di equilibrio). Enunciato del teorema di Ljapunov-Chetaev (instabilità delle configurazioni di equilibrio). Criteri per stabilire l instabilità delle configurazioni di equilibrio. Piccole oscillazioni attorno a una configurazione di equilibrio stabile per sistemi olonomi tipici con un solo grado di libertà. 25. Giovedì 06/12/2018, ore: 2(50) Linearizzazione delle equazioni di moto attorno a una configurazione di equilibrio per sistemi olonomi tipici con un solo grado di libertà e carattere delle soluzioni ottenute. Dimostrazione del teorema di Dirichlet-Lagrange (sulla stabilità delle configurazioni di equilibrio). E6. Venerdì 07/12/2018, ore: 2(13) Esercitazione Esercizio (assegnato in una precedente sessione d esame) sullo studio della stabilità/instabilità delle configurazioni di equilibrio e sulle piccole oscillazioni attorno a una configurazione di equilibrio stabile per un sistema olonomo tipico con un solo grado di libertà.
7 Registro di Meccanica /19 - F. Demontis Martedì 11/12/2018, ore: 2(52) Piccole oscillazioni per un sistema olonomo tipico con due gradi di libertà attorno a una configurazione di equilibrio stabile. Variabili normali. Composizione di moti armonici. Studio delle piccole oscillazioni attorno a una configurazione di equilibrio stabile per sistemi a vincoli olonomi tipici con n gradi di libertà. 27. Giovedì 13/12/2018, ore: 2(54) Linearizzazione delle equazioni di moto per un sistema olonomo tipico con n gradi di libertà attorno a una configurazione di equilibrio: Analisi del moto approssimato (modi normali oscillatori, lineari e esponenziali e loro contributo, moto approssimato). E7. Venerdì 14/12/2018, ore: 2(15) Esercitazione Esercizio (assegnato in una precedente sessione desame) sullo studio della stabilità/instabilità delle configurazioni di equilibrio e sulle piccole oscillazioni attorno a una configurazione di equilibrio stabile per un sistema olonomo tipico con due gradi di libertà. 28. Lunedì 17/12/2018, ore: 2(56) Cenni ai moti in prima approssimazione nel caso in cui agiscano forze dissipative. Forze centrali: definizioni e principali proprietà. Studio qualitativo del moto di un punto in un campo centrale [in particolare analisi del caso in cui la forza sia quella gravitazionale e la velocità areolare sia nulla]. 29. Martedì 18/12/2018, ore: 2(58) Studio qualitativo del moto di un punto in un campo centrale [in particolare analisi del caso in cui la forza sia quella gravitazionale e la velocità areolare non sia nulla]. Determinazione della traiettoria di un punto in un campo centrale: il caso della forza gravitazionale.
8 Registro di Meccanica /19 - F. Demontis Giovedì 20/12/2018, ore: 2(60) Legame fra eccentricità della conica e energia del sistema. Rappresentazione della conica in coordinate cartesiane (sempre nel caso di forza gravitazionale). Prime due leggi di Keplero per il moto di un punto in un campo centrale. 31. Venerdì 21/12/2018, ore: 2(62) Dimostrazione della terza legge di Keplero per il moto di un punto in un campo centrale. Il problema dei due corpi. Brevi cenni al problema dei tre corpi.
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