( X, Y ) che danno un livello costante di utilità (curva di livello). Fissando per esempio il valore U 0 per
|
|
- Italo Sorrentino
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Funzioni di utilità (finlmente un po di geroglifici, dopo i grffiti) NB: non fte leggere queste pgine un mtemtico, ltrimenti mi msscr!. Definizione e proprietà Considerimo due eni e di interesse per un consumtore, e supponimo che le preferenze del consumtore sui pnieri di quei eni sino en definite. Usimo le scritture (, ) f (, ) oppure (, ) (, ) per dire, rispettivmente, che il pniere (, ) è preferito l pniere (, ), oppure che il pniere (, ) è indifferente l pniere (, ) U,, un funzione che ssegn un v- Ciò posto, si dice funzione di utilità dei due eni e, e si scrive ( ) lore numerico d ogni pniere, cioè d ogni coppi (, ), con le seguenti proprietà: U U (, ) > U (, ) se e solo se (, ) f (, ) (, ) = U (, ) se e solo se (, ) (, ) Un funzione di utilità è un modo lterntivo per rppresentre le preferenze del consumtore, e i suoi vlori non vnno interpretti come misure di qulche grndezz psicologic: sono semplicemente numeri che rppresentno un grdo di preferenz. Il vntggio è che l usule ordinmento sui numeri ( mggiore oppure ugule ) ci è più fmilire dell ordinmento di preferenz definito direttmente sui pnieri ( f oppure ). Inoltre, tle rppresentzione consente di usre un poco di nlisi mtemtic. Il grfico dell funzione di utilità è un superficie nello spzio tridimensionle, dove il pino di se contiene tutte le coppie (, ) e l sse verticle misur l utilità. Si deve trttre, ovvimente, di un funzione crescente, per vi dell ipotesi di non szietà: se ument un delle due quntità, o entrme umentno, l utilità ument. Inoltre, in genere si ssume che il grfico si concvo, cioè l crescere delle quntità è sì vero che l utilità ument, m ess ument sempre più lentmente ( sturzione ). Dt un funzione di utilità, è fcile definire un qulsisi curv di indifferenz: si trtt di tutte le coppie (, ) che dnno un livello costnte di utilità (curv di livello). Fissndo per esempio il vlore U per l utilità, l curv di indifferenz corrispondente è costituit dl seguente insieme: {(, ): U (, ) = U }, che si legge l insieme di tutte le coppie (, ) tli che U (, ) è pri ll costnte U. L intuizione grfic è dt dll figur pg. 9 del vostro liro. 2. Rppresentre in geroglifici il sggio mrginle di sostituzione Ricordte che il sggio mrginle di sostituzione è, prte il segno, l inclinzione di un curv di indifferenz in un punto: il suo significto è qunto sono disposto cedere di per ottenere un unità di, che imo nche chimto il eneficio mrginle di. In geroglifici, è l derivt dell curv di indifferenz, ovvero l inclinzione dell rett d ess tngente in un punto, sempre trlscindo il segno. Per cpire come rppresentre il sggio mrginle di sostituzione in termini nlitici, doimo fre un intermezzo. Intermezzo: uso opertivo delle derivte Ricordimo che l derivt di un funzione in un punto è dt dll inclinzione dell rett tngente l grfico in quel punto. Qundo conoscimo il vlore dell derivt di un funzione in un punto, cos ci serve? L rispost è: ci serve stimre di qunto vrieree l vriile dipendente se quell indipendente si modificsse di un qulsisi (piccolo) mmontre; cioè: ditemi di qunto si muove l, e io vi stimo come cmi l di conseguenz. Il ftto che si un stim deriv dll not circostnz che l rett tngente è un pprossimzione (l primo ordine) ll curv del grfico, e quindi occorre nche premurrsi di effetture piccole vrizioni. Si consideri il grfico seguente. Si trtt di un funzione di un singol vriile = f(). Come
2 vedete, se prtire d imprimimo un piccolo umento pri d, l vrizione dell vlutt sull rett tngente l punto di prtenz pprossim stnz ene l vrizione dell lungo l curv del grfico di f. Per vlutre l vrizione d lungo l rett st moltiplicre l vrizione in sciss, d, per il coefficiente ngolre, che però è l derivt di f, chimt D nell figur (è un numero!). d= D d d +d ( ) Bene, immginte or di vere invece un funzione di due vriili, come l nostr funzione di utilità U = U,. Spete che in questo cso esistono due derivte przili, indicte rispettivmente con i sim- oli e. Il significto delle derivte przili è: di qunto vri l vriile dipendente U se un delle due vriili, per esempio, ument di un unità mentre l ltr,, non si muove (stimo dunque prlndo di ). Or, ciscun delle due derivte, clcolte in un punto, è un numero, e lo si utilizz esttmente come prim: possimo stimre di come vrieree U se si muovesse di un (piccolo) mmontre d mentre st ferm, e l stim è semplicemente du = d ; nlogmente, possimo stimre di come vrieree U se si muovesse di un (piccolo) mmontre d mentre st ferm, e l stim è semplicemente du = d. Cos ccde se entrme le vriili si muovono? Un fmoso risultto reltivo i differenzili totli dice che l vrizione dell U, in questo cso, è semplicemente l somm dei contriuti seprti delle due vrizioni: ovvero du = d + d (NB: è di nuovo un pprossimzione che vle per piccole vrizioni). Fine dell intermezzo Indovinte un po come gli economisti chimno le derivte dell funzione di utilità? Siccome si trtt di vrizioni di utilità in seguito cmimenti unitri delle quntità e, si chimno utilità mrginli. Avremo l utilità mrginle di, cioè, che il vostro liro indic (dll inglese mrginl utility) con, e l utilità mrginle di, cioè, che il liro indic con. Le utilità mrginli devono essere in generle positive, in qunto imo supposto che l funzione di utilità si crescente. Cerchimo or di cpire come si possono usre queste nozioni per rppresentre il sggio mrginle di sostituzione. Ricordimo che si trtt dell inclinzione di un curv di indifferenz, cioè il rpporto fr l vrizione di (d) e l vrizione dell (d) lungo l rett tngente ll curv di indifferenz in un punto, che ene pprossim le vrizioni lungo l curv stess ( ptto che le vrizioni sino piccole). Dunque il sggio d mrginle si sostituzione si può esprimere come per piccoli movimenti lungo l curv di indifferenz. Si d consideri il seguente grfico: 2
3 d d + Or, ricordte dll intermezzo di prim che noi possimo stimre l vrizione dell utilità in seguito qulsisi piccolo movimento delle due quntità e trmite l uso del differenzile, cioè clcolndo l espressione du = d + d. Ricordimo che imo convenuto di utilizzre l nozione di utilità mrginle: = e =. Dunque l nostr espressione di prim divent du = d + d Cos signific, però, muoversi d un punto ll ltro lungo une medesim curv di indifferenz? Signific che l e l non si possono muovere liermente, m si devono muovere proprio in modo tle d lscire invrit l utilità. M dire che l utilità non vri signific dire che l su vrizione ( du ) è pri zero [qulche volt mi stupisco delle nlità che dico]: cioè, se le vrizioni d e d sono proprio tli d frci rimnere sull curv di indifferenz, doimo vere du =! Sostituimo nell precedente espressione: ottenimo d + d =. A prole: le due vriili devono muoversi in modo che l somm dei due loro contriuti ll vrizione dell utilità si null: solo così simo sicuri di rimnere sull medesim curv di indifferenz. Dopo due semplici pssggi (che ho ftto lezione e che or lscio voi) ottenimo d d =. Infine, ricordimo che il sggio mrginle di sostituzione (MRS secondo il liro) è espresso trscurndo il segno; dunque imo: MRS = 3. Tre funzioni di utilità 3.. Co-Dougls (esempio del cso generle) Prende il nome di Co-Dougls l seguente funzione di utilità: U (, ) = A A lezione vevo trlscito l costnte moltiplictiv A; or l uso, nche se le cose cmino di poco. Si suppone che gli esponenti e sino positivi (tlor conviene ssumere che essi sino nche minori di uno, m non sempre vle l pen di frlo). Comincimo con il trovre l espressione nlitic per un curv di indifferenz corrispondente l livello di utilità U. Bst porre A = U e risolvere in (visto che, nel grfico di un curv di indifferenz, ppre come vriile dipendente ). U U Prim ottenimo = (che volendo fre i sofisticti si potree scrivere come = ). A A 3
4 Poi elevimo tutto ll esponente, ottenendo ( ) U =. NB: lezione vevo posto A=). A U Finito: l funzione che esprime un curv di indifferenz è =. A U = = (che si può scrivere nche come A Or, il termine tr prentesi è un costnte, e dunque se viene elevto d un potenz rimne costnte. Siccome poi i due prmetri e sono positivi, lo è nche il loro rpporto, per cui cresce l crescere di, d zero infinito. Poiché, infine st l denomintore di un frzione, l frzione tende infinito per che tende zero, e tende zero per che tende infinito, rimnendo sempre positiv. Il grfico non può llor che essere quello tipico delle curve di indifferenz decrescenti e convesse. Procedimo or clcolre le utilità mrginli (ssumo che vi ricordite le regole di derivzione!): = A = A = A = A Chirmente, le utilità mrginli sono positive. Si noti inoltre l seguente cos: se supponimo che i prmetri e sino inferiori uno, gurdndo le espressioni che stnno nell prte medi delle precedenti definizioni cpite che, nell utilità mrginle di (rispettivmente ), (rispettivmente ) è elevto d un numero negtivo. Dunque, se l quntità di (rispettivmente ) st ferm, llor l utilità mrginle di (rispettivmente ) diminuisce l crescere di (rispettivmente ). In ltri termini: se l quntità che ho già di è piccol (grnde) l incremento di utilità che consegue ll incremento di un unità di è grnde (piccolo): solit ide di sturzione. Pssimo infine l sggio mrginle di sostituzione, che come visto sopr vle MRS = cso di funzione di utilità Co-Dougls, il sggio mrginle di sostituzione vle:. Quindi, nel MRS = A A =. Il sggio mrginle di sostituzione in ogni punto di un curv di indifferenz, llor, è pri l rpporto fr i due prmetri e (l numertore l esponente dell prim vriile) moltiplicto per il rpporto fr il vlore delle due vriili (l numertore l second vriile). Se i due prmetri sono tr loro uguli, o ddirittur se entrmi vlgono, imo come cso prticolre MRS =. In generle, però, si vede che il sggio mrginle di sostituzione diminuisce ll umentre di ( prità di ): solit ide di sturzione Funzione linere (sostituti perfetti) Considerte l seguente funzione di utilità linere: dove si suppone che i prmetri e sino positivi. (, ) = U + 4
5 Curve di indifferenz. Come prim, fissimo un livello di utilità U, e risolvimo in. Dunque, prtire d U = + ottenimo fcilmente: U =. Siccome le curve di indifferenz sono decrescenti e lineri, simo nel cso dei sostituti perfetti. Notre che l inclinzione ( prte il segno) ument qundo ument il rpporto fr i due prmetri. Ovvio: se il contriuto del ene ll utilità ument rispetto quello del ene (cioè se ument), signific che il ene diviene più prezioso, e in questo cso, come sppimo in generle, le curve di indifferenz diventno più verticli. Utilità mrginli. Bnle: =, e =. In questo cso le utilità mrginli sono costnti l vrire dei livelli delle quntità dei due eni (non vle più l ide di sturzione ). Sggio mrginle di sostituzione. Di nuovo nle: MRS = =, che è costnte come già spevmo dll nlisi purmente grfic. Notte che, siccome il MRS è l inclinzione delle curve di indifferenz trscurndo il segno, potevte ottenere questo risultto direttmente dll espressione dell curv di indifferenz, dove il coefficiente ngolre è ppunto, prte il segno, pri d Complementi perfetti Considerte quest strn funzione di utilità: U (, ) = min(, ) che signific: l utilità derivnte dlle quntità e dei due eni è pri l minimo fr i due numeri e. Si suppone che e sino positivi. Scordtevi di procedere come nei csi precedenti, perché in questo cso non esistono espressioni esplicite per le intere curve di indifferenz, per le utilità mrginli, e per i sggi mrginli di sostituzione (o meglio, esistereero m sreero noiose d scrivere; lcune indiczioni per i più curiosi sono riportte nell not più vnti). Procedimo invece come segue. Per prim cos individuimo le coppie, o pnieri, (, ) tli per cui i due termini dentro l funzione min di cui sopr sono uguli tr loro. D = ottenimo = : si trtt di un rett crescente di inclinzione pri /, che cioè contiene tutti i pnieri che, per ogni unità di, contengono / unità di. Considerimo uno qulsisi dei pnieri che stnno su quell rett, dicimo (, ), con =. Se, prtire d quel punto del pino, fccimo umentre prità di, llor ument m no: questo signific che min(, ) continu essere ugule, visto che è umentto m non è umentto. In ltri termini, muovendosi orizzontlmente destr prtire d (, ) l utilità rest costnte; m ciò signific, per definizione, che rimnimo sull medesim curv di indifferenz. Dunque l semirett orizzontle che st destr del punto (, ) è un pezzo dell curv di indifferenz che include (, ). In modo nlogo, se prtire d (, ) fccimo umentre senz che umenti, trovimo che l utilità non ument, e dunque l semirett verticle che st sopr il punto (, ) è un ltro pezzo dell curv di indifferenz che include (, ). è un ngolo retto che h per vertice il pun-. Simo dunque nel cso dei complementi perfetti. Solo umentndo entrme le quntità potremo Concludimo che l curv di indifferenz che contiene (, ) to (, ) 5
6 umentre l utilità: in prticolre, se ci muovimo su un nuovo punto lungo l rett sul vertice di un nuovo ngolo retto. = ci troveremo Lscio voi fre il grfico, che perltro ho ftto lezione. Per i più curiosi, riportimo lcune delle crtteristiche dell funzione di utilità sotto esme. Utilità mrginli. Tenete en presente dvnti i vostri occhi il grfico di un curv di indifferenz d ngolo retto; se simo sinistr del vertice, cioè se <, un umento di prità di f umentre l utilità, perché il minore fr i due termini st umentndo; siccome l utilità ument in questo cso secondo l funzione, l utilità mrginle di è pri l prmetro. Se invece simo nel cso, cioè destr del vertice, un umento di prità di non f umentre l utilità, visto che il minore dei due termini () rimne invrito. Ne segue:, se < =, se Con un rgionmento nlogo trovimo che, se < =, se Sggio mrginle di sostituzione. Le curve di indifferenz hnno trtti orizzontli (inclinzione pri zero) destr di un qulsisi vertice, cioè nell zon dove vle >, ed hnno trtti verticli (inclinzione pri sopr un qulsisi vertice, cioè nell zon dove vle >. Ne segue:, se > MRS =, se > Infine, se simo esttmente in un vertice (punto ngoloso) il sggio mrginle di sostituzione non è definito. 6
si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x
Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in
Dettagli3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)
. Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y
DettagliSiano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).
OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll
DettagliIntegrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.
Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione
DettagliAcidi Deboli. Si definisce acido debole un acido con K a < 1 che risulta perciò solo parzialmente dissociato in soluzione. Esempi di acidi deboli:
Acidi Deboli Si definisce cido debole un cido con < 1 che risult perciò solo przilmente dissocito in soluzione. Esempi di cidi deboli: Acido cetico (H OOH) 1.75 1-5 Acido scorbico (vitmin ) 1 6.76 1-5.5
Dettagli1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =
Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml
DettagliINTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma
INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente
DettagliStabilità dei sistemi di controllo in retroazione
Stbilità dei sistemi di controllo in retrozione Criterio di Nyquist Il criterio di Nyquist Estensione G (s) con gudgno vribile Appliczione sistemi con retrozione positiv 2 Criterio di Nyquist Stbilità
DettagliIntroduzione all algebra
Introduzione ll lgebr E. Modic ersmo@glois.it Liceo Scientifico Sttle S. Cnnizzro Corso P.O.N. Modelli mtemtici e reltà A.S. 2010/2011 Premess Codificre e Decodificre Nell vit quotidin ci cpit spesso di
DettagliAUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.
AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert
DettagliEsercizi sulle serie di Fourier
Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre
Dettaglia con base a maggiore di 1 Dominio Codominio Crescenza/decrescenza Funz Crescente in Concavità/convessità Strettamente convessa in
Funzione esponenzile Dto un numero rele >0, l funzione si chim funzione esponenzile di bse e f prte dell fmigli delle funzioni elementri. Il suo ndmento (crescenz o decrescenz) è strettmente legto l vlore
Dettagli7. Derivate Definizione 1
7. Derivte Il concetto di derivt è importntissimo e molto nturle. Per vere un esempio concreto, penste l moto di un mcchin: se f(t) è l funzione che esprime qunt strd vete percorso fino d un certo istnte
Dettaglilim lim lim + Nome.Cognome Classe 4D 7 Aprile 2011 Verifica di matematica Problema (punti 3) Sono date le funzioni: f ( x)
Nome.Cognome Clsse D 7 Aprile 0 Verific di mtemtic Problem (punti ) Sono dte le funzioni: f ( ) =, g ( ) = ( ) ) determinre il dominio di f() e di g() b) determinre, senz l uso dell clcoltrice f ( ) c)
DettagliRAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA a ( ) { } f con, è la parabola di equazione y = ax + bx + c. Vogliamo disegnarla. 2
APPENDICE 1 AL CAPITOLO 3: RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA Per 0 l insieme,y / y = + + c, grfico dell funzione f = + + c { } f con, è l prol di equzione y = + + c Voglimo disegnrl non è difficile
Dettagli" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6
CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione
DettagliIl lemma di ricoprimento di Vitali
Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per
DettagliIng. Alessandro Pochì
Dispense di Mtemtic clsse quint -Gli integrli Quest oper è distriuit con: Licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte. Itli Ing. Alessndro Pochì Appunti di lezione svolti ll
Dettagli, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:
Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri
Dettagli{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, }
Lezione 01 Aritmetic Pgin 1 di 1 I numeri nturli I numeri nturli sono: 0,1,,,4,5,6,7,8,,10,11,1, L insieme dei numeri nturli viene indicto col simbolo. } { 0,1,,, 4,5,6,7,8,,10,11,1, } L insieme dei numeri
DettagliLa parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE.
L prol In figur è trccito il grfico di un prol con sse di simmetri verticle. Si vede suito dl grfico ce: l curv è simmetric rispetto l suo sse di simmetri il suo punto più in sso è il vertice il vertice
DettagliNome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica
Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione
DettagliLa scelta di equilibrio del consumatore. Integrazione del Cap. 21 del testo di Mankiw 1
M.Blconi e R.Fontn, Disense di conomi: 3) quilirio del consumtore L scelt di equilirio del consumtore ntegrzione del C. 21 del testo di Mnkiw 1 Prte 1 l vincolo di ilncio Suonimo che il reddito di un consumtore
DettagliRisolvere gli esercizi proposti e rispondere a 4 quesiti scelti all interno del questionario. sin = x
Risolvere gli esercizi proposti e rispondere quesiti scelti ll interno del questionrio Clcolre l derivt delle seguenti unzioni cos cos sin sin ( cos ) cos ( cos )( sin ) sin sin cos sin cos ( cos ) ( cos
Dettagli2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:
Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo
DettagliVERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Soluzioni di quesiti e prolemi trtti dl Corso Bse Blu di Mtemti volume 5 [] (Es. n. 8 pg. 9 V) Dell prol f ( ) si hnno le seguenti informzioni, tutte
DettagliFUNZIONI MATEMATICHE. Una funzione lineare è del tipo:
FUNZIONI MATEMATICHE Le relzioni mtemtihe utilizzte per desrivere fenomeni nturli, in iologi ome in ltre sienze, possono ovvimente essere le più svrite. Per lo più si trtt di equzioni lineri, qudrtihe,
DettagliNome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA
Nome.Cognome. 8 Dicembre 008 Clsse G VERIFICA di MATEMATICA A) Risolvi le seguenti disequzioni goniometriche sin ) sin + ) 0 6 tn cos + sin ) 0 (punti:0,5) ) tn + tn > 0 sin 5) sin > cos (punti: ) 6) sin
DettagliAnno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti
Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei
DettagliI costi dell impresa. Litri di benzene per unità di tempo. Linea di isocosto
7 I costi dell impres 7.1. Per l combinzione di equilibrio dei due input, si ved il grfico successivo. L pendenz dell line di isocosto e` pri ll opposto del rpporto tr i prezzi dei fttori: -10 = 2 = -5.
DettagliPrincipi di economia Microeconomia. Esercitazione 3. Teoria del Consumatore
Principi di economi Microeconomi Esercitzione 3 Teori del Consumtore Novembre 1 1. Considerimo uno studente indifferente tr il consumo di penne nere (x n ) e blu (x b ), e che cquist ogni nno un pniere
DettagliEquivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali
Equivlenz tr equzioni di Lgrnge e problemi AM Cherubini 20 Aprile 2007 1 / 21 Problemi Mostrimo or come si possono ricvre sistemi di equzioni con struttur lgrngin in un mbito diverso: prim si er crtterizzt
DettagliCapitolo 6. Integrali di funzioni di una variabile
Cpitolo 6 Integrli di funzioni di un vribile Ci si pone il problem del riuscire misurre l re di figure il cui contorno non è costituit d segmenti. 6. L integrle definito Si f : [, b] R R un funzione limitt
DettagliLa parabola. Fuoco. Direttrice y
L prol Definizione: si definise prol il luogo geometrio dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoo e d un rett fiss dett direttrie. Un rppresentzione grfi inditiv dell prol nel pino rtesino
Dettagli5.4 Il teorema fondamentale del calcolo integrale
Esercizi 5.3. Si f : R R un funzione continu, e supponimo che f bbi sintoti obliqui per ±. Provre che f è uniformemente continu in R.. Esibire un funzione f : R R limitt e di clsse C, m non uniformemente
DettagliCapitolo 2. Il problema del calcolo delle aree
Cpitolo 2 Il prolem del clcolo delle ree Introduzione Il prolem del clcolo delle ree nsce più di 2000 nni f qundo i greci tentrono di clcolre le ree con un metodo detto di esustione. Tle metodo può essere
DettagliESPONENZIALI E LOGARITMI
ESPONENZIALI E LOGARITMI 1 se 0, per ogni R ; Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >0: Sono definite: se >0: Non sono definite: Csi prticolri: Le proprietà delle
DettagliIntegrali definiti (nel senso di Riemann)
Integrli definiti (nel senso di Riemnn) Problem: cos è l re di un figur pin? come clcolrl? Grficmente concetto intuitivo ed evidente. Tecnicmente ci sono definizioni e formule d hoc per le figure elementri.
DettagliCorso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile
Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di
DettagliCOME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA. 1. La funzione matematica e la sua utilità in economia
COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA di Giuli Cnzin e Dominique Cppelletti Come potrete notre inoltrndovi nel corso di Introduzione ll economi, l interpretzione dell teori economic non presuppone conoscenze
DettagliIl calcolo letterale
Progetto Mtemtic in Rete Il clcolo letterle Finor imo studito gli insiemi numerici (espressioni numeriche). Ν, Ζ, Q, R ed operto con numeri In mtemtic però è molto importnte sper operre con le lettere
Dettaglin volte m volte n+m volte n volte n volte n volte } = a n + n + n = a n m
Corso di Potenzimento.. 009/010 1 Potenze e Rdicli Dto un numero positivo, negtivo o nullo e un numero intero positivo n, si definisce potenz di se ed esponente n il prodotto di n fttori tutti uguli d
DettagliANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008
ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli
DettagliIl calcolo letterale
Appunti di Mtemtic Il clcolo letterle Finor imo studito gli insiemi numerici espressioni numeriche. Ν, Ζ, Q, R ed operto con numeri In mtemtic però è molto importnte sper operre con le lettere e sviluppre
DettagliCalcolare l area di una regione piana
Integrli Integrle definito e re con segno Primitiv di un funzione e integrle indefinito Teorem fondmentle del clcolo integrle Clcolo di ree Metodi di integrzione: per prti e per sostituzione Clcolre l
DettagliESPONENZIALI LOGARITMI
ESPONENZIALI LOGARITMI Prerequisiti: Conoscere e sper operre con potenze con esponente nturle e rzionle. Conoscere e sper pplicre le proprietà delle potenze. Sper risolvere equzioni e disequzioni. Sper
DettagliLezione 7: Rette e piani nello spazio
Lezione 7: Rette e pini nello spzio In quest lezione i metteremo in un riferimento rtesino ortonormle dello spzio. I primi oggetti geometrii he individuimo sono le rette e i pini. Per qunto rigurd le rette
DettagliTeoria in sintesi ESPONENZIALI. Potenze con esponente reale. La potenza. Sono definite: Non sono definite: Casi particolari :
Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >, per ogni R se, per tutti e soli gli R se
DettagliIl calcolo letterale
Il clcolo letterle Finor imo studito gli insiemi numerici espressioni numeriche. Ν, Ζ, Q, R ed operto con numeri In mtemtic però è molto importnte sper operre con le lettere e sviluppre le regole di quello
DettagliFUNZIONI IPERBOLICHE
FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,
DettagliScheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le
Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:
DettagliPropagazione degli Errori e regressione lineare. Note e consigli d uso. -Termine covariante -- estrapolazione e/o interpolazione
Propgzione degli Errori e regressione linere Note e consigli d uso -Termine covrinte -- estrpolzione e/o interpolzione Qundo devo usre il termine di covrinz nell propgzione? Qundo l errore delle vriili..
DettagliAppunti di Matematica 1 - I polinomi - Polinomi. I vari monomi che compongono il polinomio si chiamano termini del polinomio.
ppunti di Mtemtic Polinomi Un polinomio è un somm lgebric di monomi. Esempio: b ; y y ; b c sono polinomi. I vri monomi che compongono il polinomio si chimno termini del polinomio. Un monomio può nche
DettagliMaturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001
Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +
DettagliLiceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003
Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ
DettagliElementi grafici per Matematica
Elementi grfici per Mtemtic Sommrio: Sistemi di coordinte crtesine... Grfici di funzioni... 4. Definizione... 4. Esempi... 5.3 Verificre iniettività e suriettività dl grfico... 8.4 L rett... 9.5 Esempi
DettagliDefinizione (primitiva, integrale indefinito). Data una funzione f diremo che una funzione F è una primitiva di f se
Cpitolo 6 Integrli L opertore derivt D ssoci d un funzione f l su derivt: Df f 0 Ci ciedimo se è possiile invertire quest operzione, vle dire trovre un funzione l cui derivt si un funzione ssegnt Definizione
DettagliMateria: MATEMATICA Data: 5/04/2005
Mteri: MATEMATICA Dt: 5/4/25 L disequzione e' un disuguglinz che e' verifict per certi intervlli di vlori Ad esempio l disequzione x - 4 e' verifict per tutti i vlori dell x mggiori di 4, cioè se l posto
Dettaglidr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche
1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici
DettagliL offerta della singola impresa: l impresa e la minimizzazione dei costi
L offert dell singol impres: l impres e l minimizzzione dei costi ! Qundo l impres decide il livello di output d produrre per mssimizzre il profitto deve nche preoccuprsi che questo livello di output si
DettagliEconomia Applicata ai sistemi produttivi. 06.05.05 Lezione II Maria Luisa Venuta 1
Economia Applicata ai sistemi produttivi 06.05.05 Lezione II Maria Luisa Venuta 1 Schema della lezione di oggi Argomento della lezione: il comportamento del consumatore. Gli economisti assumono che il
DettagliDifferenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y
Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim
DettagliFacoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez.
Fcoltà di Economi - Università di Sssri Anno Accdemico 2004-2005 Dispense Corso di Econometri Docente: Lucino Gutierrez Algebr Linere Progrmm: 1.1 Definizione di mtrice e vettore 1.2 Addizione e sottrzione
DettagliLezione 5. Argomenti. Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore
Lezione 5 Argomenti Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore 5.1 PREESSA Nonostante le preferenze portino a desiderare quantità crescenti di beni, nella realtà gli individui non sono
DettagliCompito di matematica Classe III ASA 26 marzo 2015
Compito di mtemtic Clsse III ASA 6 mrzo 05 Quesiti. Per quli vlori di l espressione può rppresentre l eccentricità di un ellisse? Dovrà risultre 0 < e
Dettaglib a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.
Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()
DettagliIl modello IS-LM: derivazione analitica 1
Il modello IS-LM: derivzione nlitic 1 Ultim revisione My 12, 2014 Economi chius Il mercto rele L equilibrio sul mercto dei beni e servizi - il cosiddetto mercto rele - e descritto dll curv IS. Le equzioni
DettagliU.D. N 15 Funzioni e loro rappresentazione grafica
54 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic U.D. N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic ) Le coordinte crtesine ) L distnz tr due punti 3) Coordinte del punto medio di un segmento 4) Le
DettagliSOLUZIONE PROBLEMA 1. Punto 1 Osserviamo anzitutto che la funzione
SOLUZIONE PROBLEMA 1 Punto 1 Osservimo nzitutto che l funzione g(x) = (x b)e,-,. è continu e derivbile in R in qunto composizione di funzioni continue e derivbili. Per discutere l presenz di punti di mssimo
DettagliIntegrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo
Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle
DettagliDimostrazione del teorema di Gauss Green nel piano
imostrzione del teorem di Guss Green nel pino Gli eventuli lettori sono pregti di segnlrmi gli eventuli errori di stmp. Grzie! L.V. Ricordimo che: dominio è l chiusur di un perto; dominio normle regolre
DettagliStrumenti Matematici per la Fisica
Strumenti Mtemtici per l Fisic Strumenti Mtemtici per l Fisic Approssimzioni Notzione scientific (o esponenzile) Ordine di Grndezz Sistem Metrico Decimle Equivlenze Proporzioni e Percentuli Relzioni fr
DettagliIntegrale di Riemann
Integrle di Riemnn Hynek Kovrik Università di Bresci Anlisi Mtemtic Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic / 50 Motivzione: clcolo di re Hynek Kovrik (Università di Bresci)
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico
DettagliImparare: cosa, come, perché.
GIOCO n. 1 Imprre: cos, come, perché. L pprendimento scolstico non è solo questione di metodo di studio, m di numerose situzioni di tipo personle e di gruppo, oppure legte l contesto in cui pprendimo.
DettagliAnno 2. Potenze di un radicale e razionalizzazione
Anno Potenze di un rdicle e rzionlizzzione Introduzione In quest lezione impreri utilizzre le ultime due tipologie di operzioni sui rdicli, cioè l potenz di un rdicle e l rdice di un rdicle. Successivmente
DettagliMatematica I, Funzione integrale
Mtemtic I, 24.0.2. Funzione integrle Definizione Sino f : A R, funzione continu su A intervllo, e c in A. L funzione che ssoci d ogni in A l integrle di f sull intervllo [c, ], viene dett funzione integrle
DettagliCorso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)
Corso di Lure in Scienze e Tecnologie Agrrie Corso Integrto: Mtemtic e Sttistic Modulo: Mtemtic (6 CFU) (4 CFU Lezioni + CFU Esercitzioni) Corso di Lure in Tutel e Gestione del territorio e del Pesggio
DettagliAnno 1. Numeri reali: proprietà e applicazioni di uso comune
Anno Numeri reli: proprietà e ppliczioni di uso comune Introduzione L insieme dei numeri rzionli è composto d numeri che si ottengono dl rpporto tr due numeri interi. Tle rpporto, o frzione, è sempre ssociile
Dettagli1 Lavoro sperimentale (di Claudia Sortino)
1 Lvoro sperimentle (di Cludi Sortino) Prtendo d un nlisi epistemologic del prolem, ho preprto un test che ho successivmente proposto due quinte clssi di un istituto industrile. QUESTIONARIO SULL INTEGRAZIONE
DettagliSessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) L prbol di equzione V ' (0,0). y h sse di simmetri prllelo ll sse delle ordinte e vertice in L prbol di equzione
DettagliScuole italiane all estero - Bilingue italo-slovacca 2005
www.mtefili.it Scuole itline ll estero - Bilingue itlo-slovcc 1) E dt l equzione y x + x + c dove i coefficienti,, c sono numeri reli non negtivi. Determinre tli coefficienti spendo che l prol p, che rppresent
DettagliUNITA 13. GLI ESPONENZIALI
UNITA. GLI ESPONENZIALI. Le potenze con esponente intero, rzionle e rele.. Le proprietà delle potenze.. Equzioni esponenzili che si riconducono ll stess bse. 4. L funzione esponenzile. 5. Il grfico dell
DettagliFigura 47: i ponti termici possono essere causati da discontinuità dei materiali o da discontinuità geometriche.
Prestzioni PONTI TERMICI Normlmente il clcolo delle dispersioni termiche di un edificio viene svolto considerndo che le temperture interne ed esterne sino costnti (Regime Termico tzionrio). Questo signific
DettagliIL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale:
IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. Complet.. Un espressione letterle è.... Per clcolre il vlore numerico di un espressione letterle isogn...... c. Non si possono ssegnre lle lettere che compiono
DettagliCalcolo integrale in due e più variabili
Clcolo integrle in due e più vribili 9 dicembre 2010 1 Definizione di integrle Il primo psso st nell definizione e determinzione dell integrle per funzioni due vribili prticolrmente semplici: le funzioni
DettagliAppunti di Matematica 3 - Iperbole - Iperbole. cioè tali che
Iperole Comincimo con l definizione: Dti due punti F e F si dice iperole I il luogo geometrico dei punti P del pino per i quli è costnte l differenz delle distnze d F e F cioè tli che F e F si dicono fuochi
DettagliFunzione di utilità. Un approfondimento della teoria del consumo. Utilità totale ed Utilità marginale
Funzione di utilità Un pprofondimento dell teori del consumo Utilità totle ed Utilità mrginle Il consumtore tre enessere dl consumo di eni Supponimo di poter misurre il suo enessere in utils (unità di
DettagliCALCOLARE L AREA DI UNA REGIONE PIANA
INTEGRALI Integrle definito e re con segno Primitiv di un funzione e integrle indefinito Teorem fondmentle del clcolo integrle Clcolo di ree Metodi di integrzione: per prti e per sostituzione CALCOLARE
DettagliVediamo quindi l elenco dei limiti fondamentali, il cui risultato daremo per noto d ora in avanti e lo utilizzeremo ogni volta che sarà necessario.
. I iti fondmentli Non bisogn pensre l clcolo di un ite come se si trttsse dvvero di eseguire un operzione mtemtic: in reltà non esiste lcun lgoritmo. L procedur si regge invece su questi due pilstri:
DettagliIntegrali curvilinei e integrali doppi
Integrli curvilinei e integrli doppi Integrli curvilinei di prim specie Prim di inizire l trttzione di questo rgomento dimo l definizione di curv. Per curv nello 3 3 spzio R intendimo un sottoinsieme di
DettagliUNITÀ DI GUIDA E SLITTE
UNITÀ DI GUIDA E SLITTE TIPOLOGIE L gmm di unità di guid e di slitte proposte è molto mpi. Rggruppimo le guide in fmiglie: Unità di guid d ccoppire cilindri stndrd Si trtt di unità indipendenti, cui viene
DettagliIntegrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b
Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non
DettagliIl volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi
Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro
DettagliMatematica A, Area dell Informazione. Complementi al testo
1 Preinri Mtemtic A, Are dell Informzione.. 2001-2002, corso prof. Brdi Complementi l testo Proposizione 1 (Proprietà crtteristiche di sup e inf) Si A R un insieme non vuoto e si x R. Allor x = sup A se
DettagliL espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0.
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Le uguaglianze fra espressioni numeriche si chiamano equazioni. Cercare le soluzioni dell equazione vuol dire cercare quelle combinazioni delle lettere che vi compaiono che la
DettagliOsserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.
88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3
DettagliF (r(t)), d dt r(t) dt
Cmpi vettorili Un cmpo vettorile è un funzione vlori vettorili F : A R, con A R n, ove in questo cso l imensione el ominio e el coominio è l stess. F ( 1, 2,..., n ) (f 1 ( 1, 2,..., n ), f 2 ( 1, 2,...,
DettagliLezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale
Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta
Dettagli