UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA STATISTICA MEDICA. Prof.ssa Donatella Siepi tel:

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA STATISTICA MEDICA Prof.ssa Donatella Siepi tel: dicembre 2014

2 7 LEZIONE

3 PROBABILITA

4 L incertezza Nella misura di una qualsiasi grandezza vi sono fonti di incertezza. Ripetendo la misura sotto le stesse condizioni sperimentali non è detto che si ottenga lo stesso risultato L incertezza può essere resa QUANTITATIVA usando la nozione di PROBABILITA.

5 Fenomeno deterministico: se l esperimento è condotto nelle stesse condizioni e il risultato è lo stesso Esempio: Il moto di un grave La traiettoria di una pallina su un biliardo Fenomeno non deterministico: anche se gli esperimenti sono condotti nelle stesse condizioni i risultati sono diversi Esempio: Risultato del lancio di una moneta Traiettoria di 100 palline in un biliardo Vincita in una lotteria Numero di lanci di un dado per ottenere un 6 La probabilità si occupa di fenomeni non deterministici

6 La probabilità si può anche definire come la quantificazione della possibilità che si verifichi uno specifico risultato a seguito di un detrminato evento I valori di probabilità sono allora tra 0 = impossibile 1 = certezza

7 In statistica è importante conoscere il limite di probabilità sotto al quale un determinato risultato non può essere definito unicamente un prodotto del caso LIVELLO di SIGNIFICATIVITA

8 Ad ogni livello di confidenza (o certezza), detto anche semplicemente livello e indicato con la lettera α, si può associare un intervallo di confidenza.

9 LIVELLO di SIGNIFICATIVITA o confidenza Se si ritiene che un evento si verifichi meno di una volta su 20 (P>0,05) si considera improbabile o statisticamente significativo * Se si ritiene che un evento si verifichi meno di una volta su 100 (P>0,01) si considera molto improbabile o statisticamente molto significativo ** Se si ritiene che un evento si verifichi meno di una volta su 1000 (P>0,001) si considera estremamente improbabile o statisticamente estremamente significativo **

10 Distribuzione di probabilità

11 DISTRIBUZIONI TEORICHE DI PROBABILITA DEFINIZIONI: Qualsiasi caratteristica misurabile è denominata variabile. Se una variabile può assumere numerosi valori tali che qualsiasi risultato è determinato dal caso, essa è nota come variabile casuale Una V.C. è un numero X che assume un valore in R, determinato sulla base di un evento E che si è presentato in seguito all esperimento al quale si riferisce. Tale numero è assunto da X con probabilità P Una distribuzione di probabilità è una funzione che sintetizza la relazione tra i valori di una variabile casuale e la probabilità che questi si presentino Una distribuzione di probabilità applica la teoria della probabilità per descrivere il comportamento di una variabile.

12 La conoscenza della distribuzione di probabilità di una variabile casuale fornisce ai clinici e ai ricercatori uno strumento potente per riassumere e descrivere il set di dati e per trarre conclusioni a partire dal campione della popolazione studiata Una distribuzione di probabilità può essere rappresentata con una tabella, un grafico o una formula

13 OSSERVAZIONI Una distribuzione è analoga ad una distribuzione di frequenze relative, ma mentre questa si ricava da un campione di osservazioni estratte da un popolazione, una distribuzione di probabilità è in relazione alla popolazione di tutti i possibili risultati Una distribuzione continua non permette la stima della probabilità di estrarre un particolare valore, ma solo quelli compresi in un dato intervallo. Per esempio, nella distribuzione delle altezze di una popolazione di studenti, non è possibile stimare la probabilità di avere un individuo alto esattamente 176,000 cm ma quella di avere un individuo tra 180 e 190 centimetri

14 La forma di una distribuzione di probabilità continua è usualmente definita da una curva senza sbalzi, mentre per una variabile discreta la probabilità è definita per i valori puntuali della variabile, e il grafico della distribuzione rassomiglia ad una serie di impulsi La forma di una distribuzione può essere simmetrica rispetto al valore centrale o ci può essere una coda più lunga da un lato piuttosto che da un altro. Se la coda è a sinistra (destra) la distribuzione viene detta asimmetrica a sinistra (destra) - Alcune distribuzioni teoriche di probabilità comunemente usate per descrivere dati sanitari sono: Distribuzione Gaussiana, la distribuzione log-normale, la distribuzione Binomiale e la distribuzione di Poisson

15 DISTRIBUZIONE BINOMIALE (cenni) DISTRIBUZIONE NORMALE DISTRIBUZIONE DI POISSON (cenni)

16 Poiché i valori di molte variabili si distribuiscono come una curva normale, le sue proprietà sono molto importanti, e se riusciamo a calcolare la media e la deviazione standard da un campione, questo ci permette di effettuare qualsiasi tipo di inferenza sulla popolazione dalla quale questo è stato estratto.

17 DISTRIBUZIONE BINOMIALE I lanci successivi devono essere indipendenti dai precedenti Le uscite devono essere completamente casuali La probabilità di una uscita deve essere costante nel tempo. Se poniamo in ascissa i valori di k e in ordinata le probabilità P(k), rappresentiamo graficamente la formula vista. Ad esempio assumiamo che la probabilità singola p sia 0.3, e il numero di prove n sia 10.

18 DISTRIBUZIONE BINOMIALE Distribuzione delle probabilità P(k) relative ai vari k considerati, quando p=0.3 e n=10.

19 DISTRIBUZIONE BINOMIALE La distribuzione binomiale permette di calcolare, per numeri n piccoli, le probabilità di avere un certo numero k di successi nelle n prove. Se abbiamo molte prove, n diventa molto grande. Trovare le probabilità dei successi k diventa difficile. Per alti n il problema non è di trovare la probabilità connessa ad uno specifico numero k di successi, ma di trovare ad esempio la probabilità di trovare più o meno di k successi.

20 DISTRIBUZIONE NORMALE Si ricorre allora alle distribuzioni NORMALE ( GAUSSIANA) o di Poisson, che valgono per n molto grande. In questo caso lo scaloide della distribuzione di probabilità binomiale, ossia l insieme dei rettangoli che rappresentano le probabilità dei singoli k, tende a diventare un area sottostante ad una linea continua.

21 DISTRIBUZIONE NORMALE

22 DISTRIBUZIONE NORMALE

23 DISTRIBUZIONE NORMALE

24 DISTRIBUZIONE NORMALE Molte distribuzioni empiriche (ossia distribuzioni di frequenza) sono approssimativamente normali. Quando effettuiamo un campionamento e ne diagrammiamo la distribuzione di frequenza, se il numero di elementi del campione è sufficientemente elevato e il numero di classi non è troppo piccolo (almeno 10-15), troveremo quasi sempre un campione distribuito normalmente.

25 DISTRIBUZIONE NORMALE Se il campione è distribuito normalmente si possono applicare le proprietà della curva teorica gaussiana al campione rimanendo entro un intervallo accettabile di errore (il campione essendo finito non sarà mai perfettamente normale).

26 DISTRIBUZIONE NORMALE Rappresentando graficamente questa funzione otteniamo la caratteristica curva a campana simmetrica intorno alla media:

27 DISTRIBUZIONE NORMALE In corrispondenza di +s e s la curva presenta i suoi punti di flesso. Tracciando diversi diagrammi per diversi valori di s ci accorgiamo che la curva è tanto più appiattita quanto maggiore è la deviazione standard.

28 DISTRIBUZIONE NORMALE Una proprietà fondamentale della gaussiana è la seguente: La probabilità che uno scarto dalla media sia maggiore di un certo valore è inversamente proporzionale al rapporto fra questo valore e la deviazione standard. Quindi esiste una probabilità definita e uguale per tutte le curve normali che un certo scarto sia inferiore a una (2, 3) deviazione standard. Tale probabilità è equivalente all area tratteggiata in figura:

29 DISTRIBUZIONE NORMALE

30 DISTRIBUZIONE NORMALE

31 DISTRIBUZIONE NORMALE

32 DISTRIBUZIONE NORMALE Probabilità che un valore cada casualmente entro alcune deviazioni standard: Entro 1.0 d.s. dalla media = 68.26% Entro 1.96 d.s. dalla media = 95.00% Entro 2.0 d.s. dalla media = 95.44% Entro d.s. dalla media = 99.00% Entro 3.0 d.s. dalla media = 99.73% Entro 3.29 d.s. dalla media = 99.90%

33 DISTRIBUZIONE DI POISSON La distribuzione binomiale tende alla poissoniana quando la probabilità dell evento p è molto piccola con n (prove) molto grande. La poissoniana è una distribuzione discreta, con la caratteristica che la media teorica (valore atteso) è uguale alla varianza: = s 2 = n p

34 DISTRIBUZIONE DI POISSON Questo tipo di distribuzione di frequenze (eventi che si verificano con frequenza molto bassa in uno spazio o in un tempo molto grande) si presenta in natura in alcuni casi, ad es.: Numero di microorganismi in una certa superficie o volume Decadimento di sostanze radioattive Insorgenza di antibioticoresistenza in una popolazione batterica Numero di morti per una malattia non frequente in una grande popolazione.

35 LA VERIFICA DI IPOTESI: TEST BASATI SU UN CAMPIONE

36 La verifica di ipotesi Una fase dell inferenza è quella che consente di verificare delle ipotesi sui parametri Obiettivo primario: capire e ridurre l incertezza per prendere decisioni Obiettivo secondario: controllare il rischio del prendere decisioni sulla base delle statistiche campionarie

37 La verifica di ipotesi Verifica di ipotesi: metodologia per fare inferenza sui parametri della popolazione alla luce dell analisi delle differenze tra i risultati osservati (statistica campionaria) e quelli che ci aspetteremmo se una qualche ipotesi sulla popolazione fosse vera. La verifica di ipotesi ha inizio con la formulazione del sistema di ipotesi sottoposto a verifica. Il sistema di ipotesi fa sempre riferimento a qualche parametro della popolazione. Consiste sempre in due ipotesi contrapposte.

38 Ipotesi nulla L ipotesi nulla è, in generale, l ipotesi che si vorrebbe rifiutare. Essa afferma che gli effetti osservati nei campioni sono dovuti a fluttuazioni casuali, sempre possibili quando esiste variabilità tra gli individui; si tratta di variazioni che sono tanto più marcate quanto più ridotto è il numero di osservazioni. L ipotesi nulla H0 deve essere rifiutata solamente se esiste l evidenza che la contraddice. E importante comprendere che l ipotesi nulla non è necessariamente vera, quando i dati campionari (eventualmente pochi) non sono tali da contraddirla. L ipotesi nulla H0 non è mai provata o verificata; è solo possibile negarla o disapprovarla, sulla base di dati sperimentali

39 Con un test statistico si determina solamente una probabilità, che può essere differente ripetendo lo stesso esperimento, e inoltre la decisione che ne deriva può essere errata. Come primo caso, si supponga che un giocatore utilizzi una moneta perfettamente bilanciata, ma di cui egli non conosca le caratteristiche. Mediante alcuni lanci, egli deve decidere se la moneta è bilanciata (H0) oppure truccata (H1). Si supponga quindi che egli lanci questa moneta 6 volte e che ottenga croce tutte le volte. Se fosse uno statistico ragionerebbe in questo modo: "Avere 6 croci su 6 lanci è un evento raro; più esattamente ha una probabilità di (1/2 6 =0,5 6 ) 0,0156 o 1,56% di avvenire, se la moneta non fosse truccata (H0 vera).

40 Con una ipotesi bilaterale, quindi comprendendo anche la possibilità di avere 6 volte testa/croce, la probabilità è esattamente uguale a 3,12%. Di conseguenza, poiché 3,12% è una probabilità ritenuta bassa, ottenere 6 volte testa oppure 6 volte croce sono eventi complessivamente poco probabili, seppure possibili". Se egli avesse prefissato come valore soglia la probabilità del 5%, con questo test statistico rifiuterebbe l ipotesi nulla. Giungerebbe alla conclusione che tra atteso (3 volte teste e 3 volte croce su 6 lanci) ed osservato (6 volte croce oppure l'opposto) esiste una differenza significativa e che pertanto la moneta è truccata. Ma noi, sappiamo che in realtà essa non la è. E un errore, che in statistica si chiama errore di I tipo (scritto spesso con l'iniziale maiuscola Tipo=errore di prima specie). Consiste nel rifiutare l ipotesi nulla H0, quando in realtà essa è vera

41 Si supponga ora, come secondo caso, che sempre all insaputa del giocatore questa volta la moneta sia truccata e dia solo croce. Se questa volta egli la lancia solo 3 volte, ovviamente otterrebbe 3 volte croce. In questo caso, se fosse uno statistico seguirebbe questo ragionamento: "Se la moneta non fosse truccata (H0 vera), la probabilità di trovare per caso 3 volte croce è alta, più esattamente uguale a 0,5 3 =0,125 o 12,5%".Con un test bilaterale la probabilità è 0,25. Pertanto, egli non rifiuterebbe l ipotesi nulla. Errando, arriverebbe alla conclusione che la moneta non è truccata. In questo caso, si ha l errore di II tipo (o seconda specie). Consiste nel non rifiutare (o accettare) l'ipotesi nulla H0, quando in realtà essa è falsa. In statistica, non è possibile eliminare questi due tipi di errore.

42 La verifica di ipotesi Nell approccio classico alla verifica di ipotesi, si individuano i seguenti elementi chiave: 1. L ipotesi nulla H 0 si riferisce sempre a un valore specifico del parametro della popolazione (ad esempio ), e non a una statistica campionaria (ad esempio la media campionaria). 2. L ipotesi nulla contiene sempre un segno di eguale relativo al valore specificato del parametro della popolazione (ad esempio H 0 : =368 mm). 3. L ipotesi alternativa non contiene mai un segno di eguale relativo al valore specificato del parametro della popolazione (ad esempio H 1 : 368 mm).

43 La verifica di ipotesi Se la statistica campionaria prescelta si avvicina al valore ipotizzato nell ipotesi nulla accettiamo H 0, altrimenti rifiutiamo H 0 a favore dell ipotesi alternativa H 1. La teoria della verifica di ipotesi fornisce una regola su cui basare il processo decisionale. Tale regola si basa sul calcolo della probabilità di ottenere un dato risultato campionario nel caso in cui l ipotesi nulla sia vera. Questo risultato viene ricavato determinando prima la distribuzione campionaria della statistica di interesse (statistica test) e quindi calcolando il valore assunto per il particolare campione considerato. La distribuzione campionaria della statistica test spesso è una distribuzione statistica nota, come la Normale o la t di Student, e quindi possiamo ricorrere a queste distribuzioni per sottoporre a verifica un ipotesi nulla.

44 L approccio del p-value 1. Specificate l ipotesi nulla H Specificate l ipotesi alternativa H Fissate il livello di significatività. 4. Scegliete la tecnica statistica appropriata e la statistica test da utilizzare. 5. Raccogliete i dati e calcolate il valore campionario della statistica test. 6. Calcolate il p-value. Per farlo: (a) determinate la distribuzione della statistica test sotto l ipotesi H 0 ; (b) ponete la statistica test sull asse delle ascisse; (c) ombreggiate l area corretta al di sotto della curva della distribuzione, sulla base dell ipotesi alternativa H Confrontate il p-value con a. 8. Prendete la decisione statistica. Se il p-value è maggiore o uguale ad a, ipotesi nulla non è rifiutata. Se il p-value è minore di a, l ipotesi nulla è rifiutata. 9. Esprimete la decisione statistica con riferimento alla situazione considerata.

45 Intervalli di confidenza e verifiche d ipotesi Gli intervalli di confidenza vengono usati per stimare i parametri della popolazione mentre la verifica di ipotesi serve per prendere decisioni sul valore dei parametri. Alternativamente alla verifica di ipotesi possiamo costruire un intervallo di confidenza per la media. Accettiamo l ipotesi nulla se il valore ipotizzato è compreso nell intervallo costruito. Rifiutiamo l ipotesi nulla se il valore cade fuori dell intervallo. Nell esempio dell azienda che costruisce scatole di metallo, l intervallo di confidenza al livello del 95% sarà: cioè 372,5 ± (1,96) 15/5. ( X Zs / n) Quindi 366,62 378,38. Il valore 368 è compreso nell intervallo, perciò accetto H 0.

46 La verifica di ipotesi La distribuzione campionaria della statistica test è divisa in due regioni: una regione di rifiuto (o regione critica) una regione di accettazione Regione di rifiuto: insieme dei valori della statistica test che non è probabile si verifichino quando è vera H 0 ed è probabile si verifichino quando H 0 è falsa. La regola decisionale è: Valore della statistica test Cade nella regione di accettazione Cade nella regione di rifiuto L ipotesi nulla non può essere rifiutata L ipotesi nulla deve essere rifiutata

47 La verifica di ipotesi Per prendere una decisione sull ipotesi nulla, dobbiamo determinare il valore critico della statistica test. Tale valore separa la regione di accettazione dalla regione di rifiuto.

48 La verifica di ipotesi Decidere sulla base della statistica campionaria => rischio di errore. Si distinguono due tipi di errore: L errore di prima specie si verifica se si rifiuta l ipotesi nulla quando è vera e quindi non dovrebbe essere rifiutata. La Probabilità che si verifichi un errore di prima specie è indicata con a(alfa). L errore di seconda specie si verifica se si accetta l ipotesi nulla quando è falsa e quindi dovrebbe essere rifiutata. La Probabilità che si verifichi un errore di seconda specie è indicata con (beta).

49 La verifica di ipotesi Livello di significatività del test: probabilità a di commettere un errore di prima specie. In genere si controlla l errore di prima specie => a viene specificato prima di condurre la verifica di ipotesi Il valore di a esprime la probabilità che la statistica test cada nella regione di rifiuto quando è vera H 0 => il valore critico dipende da a. Coefficiente di confidenza: (1-a) esprime la probabilità di accettare H 0 quando è vera. Espresso in percentuale mi fornisce il livello di confidenza per stime intervallari. Rischio : rischio del consumatore. Non è controllabile Potenza del test (1- ): probabilità di rigettare H 0 quando è falsa => è auspicabile che sia più grande possibile => indicatore della bontà di un test statistico.

50 La verifica di ipotesi Lo schema seguente riassume i rischi del processo decisionale: In genere a viene fissato a 0,05. Se le conseguenze di un errore di I specie sono gravi potrei scegliere un valore pari a 0,01 => aumenta il rischio di errore di seconda specie ( ) Per ridurre a parità di a posso aumentare la dimensione del campione

51 Test Z per la media (s noto) Per verificare l ipotesi che la media della popolazione sia uguale ad un certo valore, contro l ipotesi alternativa che la media differisca da tale valore, conoscendo s, si ricorre alla statistica Z: X è distribuita come una normale => sotto H 0 Z è distribuita come una normale standardizzata Se Z assume valori vicini allo zero siamo portati ad accettare H 0, altrimenti si propende per rifiutare H 0 (test a due code).

52 Test Z per la media (s noto) Approccio del valore critico (livello di significatività di 0,05) Regola decisionale: Rifiuto H 0 se Z>+1,96 o se Z<-1,96 Accetto H 0 altrimenti

53 Test Z per la media (s noto) Esempio: l azienda che produce scatole metalliche intende valutare se il processo produttivo opera in modo tale da garantire che la lunghezza del lato maggiore sia pari a 368 mm. Viene estratto un campione di 25 scatole. Lo scarto quadratico medio della popolazione è pari a 15 mm e la media campionaria assume il valore 372,5 mm. H 0 : = 368 H 1 : 368 Il valore della statistica test mi porta ad accettare H 0.

54 Le fasi della verifica di ipotesi 1. Specificate l ipotesi nulla H 0 e esprimetela in termini statistici. Nel verificare se la lunghezza media delle scatole è 368 mm, l ipotesi nulla è: = Specificate l ipotesi alternativa H 1 e esprimetela in termini statistici. Nel verificare se la lunghezza media delle scatole è 368 mm, l ipotesi alternativa è: Scegliete il livello di significatività. Il livello di significatività viene fissato in base all importanza relativa che si accorda ai rischi derivanti dal commettere un errore di prima specie e dal commettere un errore di seconda specie. Nell esempio considerato, abbiamo posto a = 0, Scegliete l ampiezza campionaria. L ampiezza campionaria viene fissata dopo aver considerato i rischi derivanti da un errore di prima specie e da un errore di seconda specie (vale a dire dopo aver specificato a e ) e tenendo conto dei vincoli di bilancio a cui si è sottoposti nel condurre lo studio. Nell esempio considerato sono state campionate 25 scatole. 5. Individuate la tecnica statistica da utilizzare e calcolate la statistica test corrispondente. Nell esempio considerato, s era noto e quindi abbiamo usato il test Z.

55 Le fasi della verifica di ipotesi 6. Calcolate i valori critici che separano la regione di rifiuto da quella di accettazione. Una volta specificate l ipotesi nulla e quella alternativa e una volta fissati il livello di significatività e l ampiezza del campione, si possono calcolare i valori critici delle distribuzioni delle statistiche test di modo che la regione di rifiuto e quella di accettazione risultino ben individuate. Nell esempio considerato, sono stati usati i valori +1,96 e 1,96, perché la statistica test Z si distribuisce secondo una normale standardizzata. 7. Raccogliete i dati e calcolate il valore campionario della statistica test. Nell esempio considerato, la media campionaria è pari a 372,5 mm e quindi Z = 1, Stabilite se la statistica test cade nella regione di rifiuto o in quella di accettazione. A tale scopo, confrontate il valore della statistica con i valori critici individuati. Nell esempio considerato, Z = 1,50 cade nella regione di accettazione perché -1,96 < Z = +1,50 < +1,96.

56 Le fasi della verifica di ipotesi 9. Prendete la decisione statistica. Se la statistica test cade nella regione di accettazione, l ipotesi nulla H 0 non può essere rifiutata. Se la statistica test cade nella regione di rifiuto, l ipotesi nulla H 0 viene rifiutata. Nell esempio considerato, l ipotesi nulla H 0 non è rifiutata. 10. Esprimete la decisione statistica con riferimento a una data situazione. Nell esempio relativo alla produzione di scatole, concludiamo che dal campione non si possono trarre degli elementi di prova sufficienti per affermare che la lunghezza media delle scatole è diversa da 368 mm. Non si rende necessario nessun intervento correttivo.

57 IL P-VALUE NELLA PROCEDURA DECISIONALE In alternativa al considerare le due regioni di accettazione e rifiuto, è possibile prendere la decisione in base al p-value: Il p-value rappresenta la probabilità di osservare un valore della statistica test uguale o più estremo del valore che si calcola a partire dal campione, quando l ipotesi H0 è vera.

58 L approccio del p-value Negli ultimi anni, anche grazie all ampia diffusione di pacchetti statistici e fogli elettronici, si è affermato un altro approccio alla verifica di ipotesi: l approccio del p-value. Il p-value è anche chiamato livello di significatività osservato. Regola decisionale: se il p-value è maggiore o uguale ad a, l ipotesi nulla viene accettata se il p-value è minore di a, l ipotesi nulla è rifiutata

59 Come si utilizza il p-value associato a sn in pratica per decidere tra H0 e H1? Il vantaggio del p value è che non ci serve più andare a consultare le tavole della Normale, della t-student, del Chiquadrato o della F, ecc. per decidere. Tutto quello che dobbiamo fare è confrontare il p-value associato a sn con il livello di significatività α che abbiamo fissato in precedenza

60 L approccio del p-value Esempio: l azienda che produce scatole metalliche intende valutare se il processo produttivo opera in modo tale da garantire che la lunghezza del lato maggiore sia pari a 368 mm. Viene estratto un campione di 25 scatole. Lo scarto quadratico medio della popolazione è pari a 15 mm e la media campionaria assume il valore 372,5 mm. H 0 : = 368 H 1 : 368 Il valore della statistica test è pari a 1,5. La probabilità che Z assuma valori uguali o più estremi di 1,5 coincide con la probabilità che assuma valori maggiori di 1,5 o minori di -1,5 (test a due code). Le due probabilità sono pari a 0,0668 e la loro somma è perciò 0,1336. Tale valore è maggiore di a=0,05 perciò accetto H 0.

61 Statistica Medica Confronto tra due medie

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63 Campioni appaiati Ad ogni osservazione del primo gruppo corrisponde una osservazione del secondo gruppo (singolo soggetto in due tempi diversi, tipicamente prima e dopo il trattamento). L appaiamento rende il confronto più preciso, eliminando parte della variabilità biologica.

64 Prima: x1 x2 x3..xn Dopo: y1 y2 y3.yn Campioni appaiati Consideriamo le differenze all interno di ciascuna coppia: d1=x1 y1 d2=x2 - y2 dn=xn - yn

65 Campioni appaiati L ipotesi nulla è che la media sia la stessa prima e dopo la terapia. Quindi l ipotesi nulla è che la media delle differenze (d) sia zero!! Calcoliamo la media delle differenze d e la deviazione standard delle differenze s d

66 Campioni appaiati Secondo l ipotesi nulla, la variabile t è distribuita come una t-student con n-1 gradi di libertà t n d s d L ipotesi nulla quindi si potrà accettare con 5% di confidenza se t <1.96. Altrimenti l ipotesi nulla viene rigettata.

67 Campioni appaiati:esempio Prima dopo

68 Campioni appaiati: test unilaterale Supponiamo ora che l ipotesi nulla sia che la media dopo la terapia sia inferiore. Dobbiamo allora fare un test unilaterale sulla media delle differenze. Se t<-1.62 allora si sarebbe verificato un evento che, sotto l ipotesi nulla, ha meno del 5% di probabilità di verificarsi. Se t> accetteremo l ipotesi nulla.

69 Campioni appaiati: esempio Sia la media delle differenze pari a -6.63, e la deviazione standard delle differenze sia 20.29, su n=63 osservazioni. Calcoliamo la t: t=sqrt(63)*(-6.63)/20.29=-2.59 Possiamo rigettare l ipotesi nulla con la confidenza del 5%.

70 Campioni indipendenti Supponiamo di avere due gruppi indipendenti e di voler verificare l ipotesi nulla che la media sia la stessa nelle due popolazioni. Come si implementa il test t- student in questo caso?

71 Campioni indipendenti:varianze uguali Il primo gruppo sia composto da n1 campioni e sia µ1 la media. Il secondo gruppo sia composto da n2 campioni e sia µ2 la media. Supponiamo che la deviazione standard nei due gruppi sia uguale e pari a σ. Ipotesi nulla Ho: µ1 = µ2

72 Campioni indipendenti:varianze uguali t n d s d Sotto Ho: la differenza delle medie è distribuita come una gaussiana con media zero e deviazione standard: 2 s s 2 n 1 n 2

73 Campioni indipendenti:varianze uguali La variabile t in questo caso è: t x 1 2 x 2 s s 2 n 1 n 2

74 Prima popolazione Campioni indipendenti:varianze disuguali Seconda popolazione

75 Varianze disuguali t x x 2 s s 2 2 n 1 n 2

76 Statistica Medica 6. Analisi della varianza

77 One way ANOVA Facciamo un esempio: per lo studio degli effetti dell esposizione a monossido di carbonio in soggetti con patologie coronariche, le distribuzioni del volume espiratorio forzato in un secondo dei pazienti di ciascuno di tre centri medici: John Hopkins University School, Rancho Los Amigos Medical Center, e St. Louis University School in Medicine. Sono tre popolazioni distinte. Vogliamo testare l ipotesi che le medie delle tre popolazioni sono uguali: µ1=µ2=µ3

78 Esempio john Hopkins Rancho Los Amigos sant Louis 3,23 3,22 2,79 3,47 2,88 3,22 1,86 1,71 2,25 2,47 2,89 2,98 3,01 3,77 2,47 1,69 3,29 2,77 2,1 3,39 2,95 2,81 3,86 3,56 3,28 2,64 2,88 3,36 2,71 2,63 2,61 2,71 3,38 2,91 3,41 3,07 1,98 2,87 2,81 2,57 2,61 3,17 2,08 3,39 2,23 2,47 3,17 2,19 2,47 4,06 2,74 1,98 2,88 2,81 2,63 2,85 2,53 2,43 3,2 3,53 n1=21 n2=16 n3=23 x1medio=2,63 litri x2medio=3,03 litri x3medio=2,88 litri s1=0,496 litri s2=0,523 litri s3=0,498 litri

79 One way ANOVA Per testare l ipotesi che le tre medie siano uguali, potrei fare i confronti a due a due,e per ciascuna coppia fare il test t-student. Nel caso N=3 popolazioni devo fare 6 confronti. Nel caso generale può essere un numero proibitivo di coppie. Inoltre questa procedura può condurre ad errori. L ipotesi µ1=µ2=µ3 va testata con un singolo test, l analisi della varianza (ANOVA). Quando c è una sola caratteristica che distingue le varie popolazioni, si parla di one way anova (ad un criterio di classificazione).

80 One way ANOVA Misura della variabilità delle osservazioni rispetto alle medie delle singole osservazioni (stima pooled della varianza comune): ( n1 1) s1 ( n2 1) s2 ( nk 1) s sw n n n k 1 2 k 2 k Varianza campionaria between

81 One way ANOVA Misura della variazione delle medie delle popolazioni rispetto alla media generale: k k k n n x n x n x n x ) ( ) ( ) ( k n x x n x x n x x s k k B Varianza campionaria within

82 One way ANOVA Sotto l ipotesi nulla le due varianze dovrebbero essere simili. Calcoliamo il rapporto, detto F F s s 2 B 2 w

83 One way anova La distribuzione di probabilità di F è nota, sotto l ipotesi nulla, e dipende da k-1 (gradi di libertà del numeratore) e dal numero di dati (n-k=gradi di libertà del denominatore). Questo permette di valutare la probabilità, sotto l ipotesi nulla, che si verifichi un evento almeno estremo come quello che si è verificato, che sarà consistente se tale probabilità sarà maggiore di 0.05.

84 One way ANOVA Torniamo al nostro esempio e calcoliamo la F, otteniamo F= La distribuzione è la F con gradi di libertà 2 e 57. La probabilità che F sia risulta uguale a , quindi non possiamo rifiutare l ipotesi nulla al 5% di confidenza.

85 One way ANOVA Se il risultato dell F test è 1, significa che le medie non sono tutte uguali. A questo punto possiamo cercare le popolazioni che si distinguono dalle altre mediante test specifici che indicano quali tra i gruppi sono differenti. Questo si ottiene con il test di Tukey quando si fanno i confronti multipli.

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87 ANALISI UNIVARIATE e dati non parametrici 1) raccolta e codifica dei dati (valori osservati) 2) inserimento dei dati in una matrice. 3) definizione ipotesi nulla e ipotesi alternativa 4) calcolo dei ranghi 5) calcolo del valore Wx e zwx 6) si verifica l ipotesi in base alla distribuzione teorica normale 7) si interpretano i risultati IL TEST DI WILCOXON-MANN-WHITNEY

88 VERIFICA DELLE IPOTESI SU DUE CAMPIONI disegni TRA GRUPPI (BETWEEN) (n<30) Se la variabile è misurata su scala Ordinale la statistica più adatta per confrontare due gruppi (due misurazioni indipendenti) è l applicazione del test di Wilcoxon-Mann-Whitney. Questo è uno dei test non parametrici più potenti e rappresenta un alternativa molto valida al test parametrico t.

89 LA VERIFICA DELLE IPOTESI SU DUE CAMPIONI disegni TRA GRUPPI (BETWEEN) (n<30) IL TEST DI WILCOXON-MANN-WHITNEY Mediante questo test, usando come parametro il rango (o la mediana), è possibile verificare se due campioni x e y provengono dalla medesima popolazione. H0= x e y hanno la stessa distribuzione H1= x y x > y x < y

90 Test U di Mann-Whitney Due campioni indipendenti, dati ordinali Il test U di Mann-Whitney dovrebbe essere usato come alternativa non-parametrica ad un test t di Student su campioni indipendenti, se una qualsiasi delle assunzioni necessarie è violata.

91 Test di Wilcoxon Due campioni non indipendenti, dati ordinali Il test di Wilcoxon dovrebbe essere usato come alternativa non-parametrica al t di Student per campioni non indipendenti se una qualsiasi delle assunzioni necessarie per quest ultimo è violata.

92 KRUSKAL-WALLIS Analogo alla ANOVA viene utilizzato incaso di comparazione tra 3 o più gruppi di dati non parametrici

93 Test non parametrici