1. Mercoledì 1/10/2014, ore: 2(2) Introduzione al corso: problemi ben posti, condizionamento, stabilità, complessità

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Pasquale Micheli
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1 Registro delle lezioni di MATEMATICA APPLICATA Corsi di Laurea in Biomedica 6 CFU - A.A. 2014/2015 docente: Dott.ssa Luisa Fermo ultimo aggiornamento: 16 dicembre Mercoledì 1/10/2014, ore: 2(2) Introduzione al corso: problemi ben posti, condizionamento, stabilità, complessità computazionale. 2. Lunedì 6/10/2014, ore: 2(4) Spazi vettoriali: definizioni ed esempi. Combinazioni lineari e spazio generato da n vettori. Dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Esempi. 3. Martedì 7/10/2014, ore: 2(6) Spazi normati. Norme vettoriali in R n e C n con indice 1, 2 e. Equivalenza tra norme. Principali norme utilizzate per le funzioni C([a, b]), L 1 ([a, b]) e L 2 ([a, b]). Esercizi. Convergenza di successioni di vettori. Successioni di Cauchy. Spazi completi. Spazi di Hilbert. Norma indotta da un prodotto scalare. Prodotto scalare di R n, C n e L 2 ([a, b]). Ortogonalità e ortonormalità. 4. Mercoledì 8/10/2014, ore: 2(8) Riepilogo sugli spazi di Hilbert R n, C n e L 2 ([a, b]) con esempi. Base ortonormale. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Esercizi sul metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. 5. Lunedì 13/10/2014, ore: 2(10) Definizione di matrice ed esempi. Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare. Prodotto tra matrici. Proprietà del prodotto tra matrici e relazioni con il prodotto scalare. Definizione di matrice trasposta e di matrice aggiunta. Proprietà della matrice trasposta. Definizione di matrice inversa e sue proprietà. Definizione di matrice ortogonale. Esempi.

2 Registro di Matematica Applicata /15 - Dott.ssa L. Fermo 2 6. Martedì 14/10/2014, ore: 2(12) Definizione di potenza di matrice e matrice invertibile. Determinante e sue proprietà. Autovalori e autovettori. Definizione di spettro e raggio spettrale. Proprietà degli autovalori. Calcolo di autovalori. Esercizi. 7. Mercoledì 15/10/2014, ore: 2(14) Introduzione all analisi di Fourier. Funzioni periodiche. Periodo fondamentale. Estensione di una funzione per periodicità. Armoniche elementari. 8. Lunedì 20/10/2014, ore: 2(16) Polinomio trigonometrico. Ortogonalità delle armoniche elementari. Integrazione di una funzione periodica su un periodo. Coefficienti del polinomio trigonometrico. 9. Martedì 21/10/2014, ore: 2(18) Energia di un segnale e di un polinomio trigonometrico. Disuguaglianza di Bessel. Formula di Parseval. Serie di Fourier. Calcolo delle serie di Fourier di alcune funzioni. Introduzione al teorema di convergenza della serie di Fourier. 10. Mercoledì 22/10/2014, ore: 2(20) Funzioni continue e regolari a tratti. Teorema di convergenza della serie di Fourier. Lemma di Riemann-Lebesgue. Serie di Fourier di funzioni pari e dispari. Esercizi sulle serie di Fourier. 11. Venerdì 24/10/2013, ore: 2(22) Esercizio sulle serie di Fourier. Forma armonica della serie di Fourier. Formula di Eulero. Forma complessa della serie di Fourier. Legame tra i coefficienti delle forme reale e complessa. Calcolo dei coefficienti complessi per funzioni pari o dispari.

3 Registro di Matematica Applicata /15 - Dott.ssa L. Fermo Lunedì 27/10/2014, ore: 2(24) Integrabilità e derivabilità termine a termine di una serie di Fourier. Applicazione delle serie di Fourier alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti su di un intervallo. 13. Martedì 28/10/2014, ore: 2(26) Introduzione alla trasformata di Fourier: passaggio dalla serie di Fourier alla trasformata, analogie e differenze. Trasformata inversa. Funzione di Heaviside. Calcolo della trasformate di alcune funzioni elementari: impulso esponenziale troncato e impulso pari. Proprietà di linearità della trasformata di Fourier. 14. Lunedì 3/11/2014, ore: 2(28) Trasformate di alcune funzioni elementari: impulso esponenziale dispari e onda quadra. Funzione sinc. Delta di Dirac e sua trasformata. Trasformata di una Gaussiana. Proprietà della trasformata di Fourier: traslazione nello spazio ordinario e nello spazio delle frequenze. 15. Martedì 04/11/2014, ore: 1(29) Proprietà della trasformata di Fourier: variazione di scala, modulazione, simmetria. E1. Martedì 04/11/2014, ore: 1(1) Esercitazione Esercizi sulla trasformata di Fourier 16. Mercoledì 05/11/2013, ore: 2(31) Trasformata della derivata di una funzione. Derivazione nello spazio delle frequenze. Convoluzione. Commutatività. Trasformata della convoluzione. Esercizio.

4 Registro di Matematica Applicata /15 - Dott.ssa L. Fermo Lunedì 10/11/2014, ore: 2(33) Risoluzione di un equazione differenziale mediante la trasformata di Fourier. Esercizi. 18. Martedì 11/11/2014, ore: 2(35) Introduzione alla risoluzione di sistemi lineari e possibili rappresentazioni. Matrici strutturate: matrici simmetriche, Hermitiane, definite positive, ortogonali, unitarie, triangolari, diagonali e loro proprietà. Matrici sparse e matrici dense. 19. Mercoledì 12/11/2014, ore: 2(37) Norme matriciali. Proprietà di submoltiplicatività e consistenza. La norma di Frobenius. Norme naturali. Espressione della norma naturale indotta dalla norme vettoriale con indice. Norme matriciali indotte dalle norme vettoriali con indice 1 e 2. Osservazioni sulle norme di matrici simmetriche. Relazioni tra norme matriciali e raggio spettrale. Condizioni per l esistenza e l unicità della soluzione di sistemi lineari. 20. Lunedì 17/11/2014, ore: 2(39) Numero di condizionamento di un problema. Condizionamento relativo di un sistema lineare in presenza di errori sui soli termini noti. Proprietà del numero di condizionamento. Metodo di risoluzione di un sistema lineare ortogonale. 21. Martedì 18/11/2014, ore: 2(41) Sistemi lineari diagonali: algoritmo di risoluzione e complessità. Risoluzione di un sistema triangolare inferiore o superiore: algoritmo e complessità. Esercizi sul condizionamento di un sistema. 22. Lunedì 24/11/2014, ore: 2(43) Principi di equivalenza per i sistemi lineari. Analisi dei primi due passi del metodo di eliminazione di Gauss (senza pivoting). Analisi del generico passo k. Algoritmo. Complessità computazionale.

5 Registro di Matematica Applicata /15 - Dott.ssa L. Fermo Martedì 25/11/2013, ore: 2(45) Fattorizzazione A=LU. Applicazione della fattorizzazione A=LU alla risoluzione di sistemi lineari, al calcolo del determinante e al calcolo dell inversa. Esercizio. Arresto dell algoritmo di Gauss in presenza di un pivot nullo. Matrici diagonalmente dominanti per riga e per colonna. 24. Mercoledì 26/11/2014, ore: 2(47) Problemi di accumulo errori nell algoritmo di Gauss. Algoritmo di Gauss con pivoting parziale. Cenni all algoritmo di Gauss con pivoting totale. Matrici di scambio e di permutazione. Fattorizzazione P A = LU. 25. Lunedì 1/12/2014, ore: 2(49) Riepilogo metodo di Gauss con pivoting parziale. Osservazioni sulla stabilità e sul condizionamento. Applicazioni della fattorizzazione P A = LU alla risoluzione di sistemi lineari, al calcolo del determinante e al calcolo dell inversa. Esercizio. Introduzione ai metodi iterativi stazionari del primo ordine. Calcolo iterate. Primo esempio. 26. Martedì 2/12/2014, ore: 2(51) Convergenza e consistenza di un metodo iterativo. Espressione dell errore al passo k in funzione dell errore iniziale. Condizione sufficiente per la convergenza di un metodo iterativo. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di un metodo iterativo. Criteri di arresto: scarto tra iterazioni successive, numero massimo di iterazioni, condizione sul residuo. Metodo di Jacobi. Espressione matriciale e espressione in componenti. Parallilizzabilità. 27. Mercoledì 3/12/2014, ore: 2(53) Metodo iterativo di Gauss-Seidel. Espressione matriciale del metodo ed espressione in componenti. Parallelizzabilità. Teoremi di convergenza per matrici simmetriche definite positive e diagonalmente dominanti. Esercizio. Il problema di Cauchy per una equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Il problema di Cauchy associato a un sistema di due equazioni differenziali ordinarie. Equazioni differenziali di ordine superiore al primo: come trasformarle in equazioni del primo ordine.

6 Registro di Matematica Applicata /15 - Dott.ssa L. Fermo Martedì 9/12/2014, ore: 2(55) Esistenza e unicità globale e locale della soluzione del problema di Cauchy. Lipschitzianità: definizione e relazione con la continuità e con la derivabilità. Esempi. Introduzione ai metodi alle differenze finite. 29. Mercoledì 10/12/2014, ore: 2(57) Metodi alle differenze finite. Come si deducono gli schemi alle differenze finite: discretizzazione del dominio e formule alle differenze finite. Schemi numerici monostep, multistep, espliciti ed impliciti. Metodo di Eulero esplicito, metodo di Eulero implicito, metodo del punto medio, metodo di Crank Nicolson, metodo di Heun e metodo di Eulero modificato. Applicazione a sistemi di ODE. 30. Lunedì 15/12/2014, ore: 2(59) Analisi dei metodi monostep. Errore globale, locale e di propagazione. Convergenza, consistenza e stabilità di una formula alle differenze finite. Stabilità dei metodi monostep. Errore locale di discretizzazione, consistenza e ordine di consistenza. Verifica della consistenza per alcuni formule monostep mediante sviluppo in serie dell errore locale di discretizzazione. 31. Martedì 16/12/2014, ore: 1(60) Formulazione generale dei metodi multistep. Errore locale di discretizzazione per una formula multistep. Consistenza e ordine. Polinomio caratteristico associato ad un metodo multistep. Stabilità. Condizione delle radici. Teorema di Dahlquist. Prima barriera di Dahlquist. E2. Martedì 16/12/2014, ore: 1(2) Esercitazione Esercizi su metodi monostep e metodi multistep. Totale ore: 60 (lezione), 2 (esercitazione)

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