Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo

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1 Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data (mese/anno) Non ho svolto la Parte A Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 19 dicembre Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5 su 1), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. Dato il sistema lineare G(s) = guadagno K > : s +.2 s 2 + 1s + 81 il sistema in retroazione è stabile K è possibile che il sistema diventi semplicemente stabile chiuso in retroazione con un regolatore proporzionale con il margine di fase del guadagno d anello L(s) = KG(s) è sempre positivo il margine di fase del guadagno d anello L(s) = KG(s) è sempre negativo 2. La presenza di un ritardo nella funzione d anello di un sistema di controllo in retroazione negativa: può essere trascurata nel progetto del controllore, qualora si assuma un margine di fase superiore a quello strettamente necessario per il soddisfacimento delle altre specifiche può essere trascurata nel progetto del controllore, qualora si assuma un margine di ampiezza superiore a quello strettamente necessario per il soddisfacimento delle altre specifiche risulta tanto più critica quanto più bassa è la pulsazione d incrocio ω c imposta risulta tanto più critica quanto più alta è la pulsazione d incrocio ω c imposta 3. La banda passante di un filtro passa-alto ha la seguente struttura: [, ω B1 ] [ω B2, ] [, ω B ] [ω B, ] [ω B1, ω B2 ] 4. Se la funzione anello L(s) di un sistema retroazionato presenta un polo doppio nell origine: l errore a regime per ingresso a gradino è nullo l errore a regime per ingresso a rampa è nullo l errore a regime per ingresso a rampa è diverso da zero e costante l errore a regime per ingresso a parabola è infinito 5. Un regolatore PID ideale: si comporta come una rete anticipatrice per ingresso a gradino produce un azione di controllo infinita può essere reso fisicamente realizzabile aggiungendo un polo ad alta frequenza garantisce una risposta al gradino priva di sovraelongazione

2 6. L eliminazione delle code di assestamento in un sistema di controllo in retroazione può essere ottenuta: progettando il regolatore mediante tecniche di cancellazione tra gli zeri del regolatore stesso e i poli dell impianto progettando il regolatore mediante tecniche di cancellazione tra i poli del regolatore stesso e gli zeri dell impianto utilizzando un prefiltro sul riferimento utilizzando un compensatore dei disturbi misurabili 7. Una rete a ritardo-anticipo: ha come effetto utile l aumento del guadagno in bassa frequenza senza ridurre la banda passante (pulsazione di incrocio) consente di avere sempre errore a regime nullo per ingresso a gradino consente di migliorare il margine di fase senza modificare la pulsazione di incrocio può introdurre uno sfasamento massimo di +18 o Bode Diagram 8. Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode riportati a fianco relativi a un sistema G(s) a fase minima. Il margine di ampiezza M α e il margine di fase M ϕ sono: M α 15 db e M ϕ 17 M α 15 db e M ϕ 17 M α 15 db e M ϕ 17 M α 15 db e M ϕ 17 Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (rad/sec) 9. Dato il regolatore tempo discreto R(z) = Y (z) E(z) = z + 3 z 6 + 4z 5, la corrispondente equazione alle + 9z4 differenze risulta: y(k) = 4y(k 5) 9y(k 4) + e(k 1) + 3e(k) y(k) = 4y(k 1) 9y(k 2) + e(k 5) + 3e(k 6) y(k) = 4y(k 6) 9y(k 7) + e(k) + 3e(k 1) y(k) = 4y(k + 5) 9y(k + 4) + e(k + 1) + 3e(k) 1. Dato un sistema in retroazione la cui funzione di trasferimento é W (s) = kc(s)g(s), al fine di 1 + kc(s)g(s) studiarne la stabilitá asintotica con il criterio di Nyquist cosa occorre verificare? Che la funzione L(s) = kc(s)g(s) senza poli instabili né cancellazioni polo/zero, presenti un diagramma di nyquist completo con un circolo orario attorno al punto ( 1, ). Che la funzione L(s) = kc(s)g(s) senza poli instabili né cancellazioni polo/zero, presenti un diagramma di nyquist completo con un circolo antiorario attorno al punto ( 1, ). Che la funzione L(s) = kc(s)g(s) senza poli instabili né cancellazioni polo/zero, presenti un diagramma di nyquist completo senza circoli attorno al punto ( 1, ). Che la funzione L(s) = kc(s)g(s) presenti cancellazioni polo/zero instabili, e un diagramma di nyquist completo senza circoli attorno al punto ( 1, ).

3 Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data (mese/anno) Non ho svolto la Parte A Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 19 dicembre Problemi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (1 su 2), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. 1. Assegnato un sistema di controllo dove la funzione di anello L(s) = R(s)G(s) é tale che R(s) = K, G(s) = 5s 3 (s 2 + 4s)(s + 2), a) Tracciare il diagramma completo di Nyquist di G(s) e determinare per quali valori del guadagno K il sistema di controllo risulta stabile internamente; 2. Dato l impianto G(s) = 5 s(2s + 1)(.5s + 1) a) Progettare un regolatore statico R s (s) che consenta di ottenere errore a regime a fronte di un ingresso di riferimento a rampa 5% attenuazione di 5 volte di un disturbo sull uscita d sinusoidale a pulsazione ω d =.2 rad/s b) Disegnare (nello schema appositamente predisposto) i diagrammi di Bode asintotici di G e (s) = R s (s)g(s). c) Progettare una rete di ritardo-anticipo R d (s) che realizzi le seguenti specifiche: massimo sorpasso percentuale S% 1% (si richiede di considerare un margine additivo di 5 o sul valore minimo del margine di fase per compensare il ritardo dovuto all implementazione digitale); tempo di assestamento T a 2.5s; minimizzazione dell azione di controllo. d) Volendo discretizzare il regolatore R(s) = R s (s)r d (s) scegliere il tempo di campionamento più idoneo tenendo in considerazione la banda del sistema in anello chiuso una specifica sul ricostruttore di ordine zero che deve introdurre uno sfasamento sul margine di fase inferiore a 5 o Discretizzare R(s) con il metodo di Tustin. e) Scrivere l equazione alle differenze corrispondente al regolatore R(z) = U(z) discretizzato al punto E(z) precedente. f) Per migliorare le capacità del sistema controllato di inseguire il riferimento y sp (t) (di cui è nota l espressione analitica insieme a quella delle sue derivate) progettare l azione di feed-forward u ff (t) (compensazione in avanti del riferimento) necessaria.

4 Diagrammi asintotici di Bode di G e (s) = R s (s)g(s) Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s]

5 Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data (mese/anno) Non ho svolto la Parte A Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 19 dicembre Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5 su 1), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. s Dato il sistema lineare G(s) = s 2 + 1s + 81 guadagno K > : il sistema in retroazione è stabile K chiuso in retroazione con un regolatore proporzionale con è possibile che il sistema diventi semplicemente stabile il margine di fase del guadagno d anello L(s) = KG(s) è sempre positivo il margine di fase del guadagno d anello L(s) = KG(s) è sempre negativo 2. La presenza di un ritardo nella funzione d anello di un sistema di controllo in retroazione negativa: può essere trascurata nel progetto del controllore, qualora si assuma un margine di fase superiore a quello strettamente necessario per il soddisfacimento delle altre specifiche può essere trascurata nel progetto del controllore, qualora si assuma un margine di ampiezza superiore a quello strettamente necessario per il soddisfacimento delle altre specifiche risulta tanto più critica quanto più bassa è la pulsazione d incrocio ω c imposta risulta tanto più critica quanto più alta è la pulsazione d incrocio ω c imposta 3. La banda passante di un filtro passa-alto ha la seguente struttura: [, ω B1 ] [ω B2, ] [, ω B ] [ωb, ] [ω B1, ω B2 ] 4. Se la funzione anello L(s) di un sistema retroazionato presenta un polo doppio nell origine: l errore a regime per ingresso a gradino è nullo l errore a regime per ingresso a rampa è nullo l errore a regime per ingresso a rampa è diverso da zero e costante l errore a regime per ingresso a parabola è infinito 5. Un regolatore PID ideale: si comporta come una rete anticipatrice per ingresso a gradino produce un azione di controllo infinita può essere reso fisicamente realizzabile aggiungendo un polo ad alta frequenza garantisce una risposta al gradino priva di sovraelongazione

6 6. L eliminazione delle code di assestamento in un sistema di controllo in retroazione può essere ottenuta: progettando il regolatore mediante tecniche di cancellazione tra gli zeri del regolatore stesso e i poli dell impianto progettando il regolatore mediante tecniche di cancellazione tra i poli del regolatore stesso e gli zeri dell impianto utilizzando un prefiltro sul riferimento utilizzando un compensatore dei disturbi misurabili 7. Una rete a ritardo-anticipo: ha come effetto utile l aumento del guadagno in bassa frequenza senza ridurre la banda passante (pulsazione di incrocio) consente di avere sempre errore a regime nullo per ingresso a gradino consente di migliorare il margine di fase senza modificare la pulsazione di incrocio può introdurre uno sfasamento massimo di +18 o Bode Diagram 8. Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode riportati a fianco relativi a un sistema G(s) a fase minima. Il margine di ampiezza M α e il margine di fase M ϕ sono: M α 15 db e M ϕ 17 M α 15 db e M ϕ 17 M α 15 db e M ϕ 17 Mα 15 db e M ϕ 17 Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (rad/sec) 9. Dato il regolatore tempo discreto R(z) = Y (z) E(z) = z + 3 z 6 + 4z 5, la corrispondente equazione alle + 9z4 differenze risulta: y(k) = 4y(k 5) 9y(k 4) + e(k 1) + 3e(k) y(k) = 4y(k 1) 9y(k 2) + e(k 5) + 3e(k 6) y(k) = 4y(k 6) 9y(k 7) + e(k) + 3e(k 1) y(k) = 4y(k + 5) 9y(k + 4) + e(k + 1) + 3e(k) 1. Dato un sistema in retroazione la cui funzione di trasferimento é W (s) = kc(s)g(s), al fine di 1 + kc(s)g(s) studiarne la stabilitá asintotica con il criterio di Nyquist cosa occorre verificare? Che la funzione L(s) = kc(s)g(s) senza poli instabili né cancellazioni polo/zero, presenti un diagramma di nyquist completo con un circolo orario attorno al punto ( 1, ). Che la funzione L(s) = kc(s)g(s) senza poli instabili né cancellazioni polo/zero, presenti un diagramma di nyquist completo con un circolo antiorario attorno al punto ( 1, ). Che la funzione L(s) = kc(s)g(s) senza poli instabili né cancellazioni polo/zero, presenti un diagramma di nyquist completo senza circoli attorno al punto ( 1, ). Che la funzione L(s) = kc(s)g(s) presenti cancellazioni polo/zero instabili, e un diagramma di nyquist completo senza circoli attorno al punto ( 1, ).

7 Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data (mese/anno) Non ho svolto la Parte A Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 19 dicembre Problemi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (1 su 2), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. 1. Assegnato un sistema di controllo dove la funzione di anello L(s) = R(s)G(s) é tale che R(s) = K, G(s) = 5s 3 (s 2 + 4s)(s + 2), a) Tracciare il diagramma completo di Nyquist di G(s) e determinare per quali valori del guadagno K il sistema di controllo risulta stabile internamente; 1. Il diagramma di Nyquist del sistema per K = 1 é riportato in figura. Il sistema non presenta poli instabili, e il numero di giri attorno al punto ( 1, ) é dato da: N=-1. Quindi per K = 1 il sistema é instabile e anche per tutti i valori di K >. A Per tutti i valori di K negativi il sistema é asitoticamente stabile non essendoci mai giri attorno al punto ( 1, ). 2. Dato l impianto G(s) = 5 s(2s + 1)(.5s + 1) a) Progettare un regolatore statico R s (s) che consenta di ottenere errore a regime a fronte di un ingresso di riferimento a rampa 5% attenuazione di 5 volte di un disturbo sull uscita d sinusoidale a pulsazione ω d =.2 rad/s Dal momento che è richiesto un errore a regime finito ma non nullo per ingresso a rampa e considerando che l impianto già possiede un polo nell origine il regolatore statico R s (s) dovrà essere di tipo. Avrà perciò la forma di una semplice costante R s (s) = µ in cui il guadagno µ è determinato imponendo la condizione statica sull ingresso a rampa e v.5 (1) e la condizione sull errore a regime limitato per un disturbo d di tipo sinusoidale S(jω) 1 5 alla pulsazione ω d =.2. (2) Dalla (1) si ottiene e v = lim se(s) = lim s s s R s (s)g(s) s 2 = 1 µ lim s sg(s).5

8 da cui, essendo lim s sg(s) = 5, µ 4. Dalla (2), considerando l espressione approssimata di S(jω) per basse frequenze risulta S(jω d ) con L(s) = µg(s). Svolgendo i calcoli risulta 1 L(jω d ) L(jω d) 5 µg(j.2) 5 µ = Per soddisfare entrambe le specifiche si assume il valore µ = 4. b) Disegnare (nello schema appositamente predisposto) i diagrammi di Bode asintotici di G e (s) = R s (s)g(s). Vedere diagramma in fondo c) Progettare una rete di ritardo-anticipo R d (s) che realizzi le seguenti specifiche: massimo sorpasso percentuale S% 1% (si richiede di considerare un margine additivo di 5 o sul valore minimo del margine di fase per compensare il ritardo dovuto all implementazione digitale); tempo di assestamento T a 2.5s; minimizzazione dell azione di controllo. La rete R d (s) deve essere progettata per imporre il margine di fase e la pulsazione di incrocio che derivano dalle specifiche (a) S% 1% δ.6 M f 65o avendo considerato i 5 o addizionali richiesti dal testo (b) T a 2.5s ω c 3 δ T a = 2 rad/s In particolare si assumerà il valore minimo ωc = 2 rad/s per minimizzare l azione di controllo. Confrontando le specifiche richieste con il diagramma di Bode di G e (s), tracciato al punto precedente, si evince come da un lato sia necessario spostare (di poco) la pulsazione di attraversamento verso sinistra e dall altro aumentare la fase in corrispondenza di ωc. Questo giustifica l impiego di una rete a ritardo-anticipo. Si progetta inizialmente una rete anticipatrice in cancellazione con il polo dell impianto collocato in.5. Pertanto, assumendo la costante di tempo dello zero τ z = 2, il regolatore avrà la forma R a (s) = s 1 + τ p s dove τ p rimane il solo parametro da determinare. Il valore di τ p è scelto imponendo che la pulsazione di incrocio della nuova funzione di anello sia ω c = 1 rad/s (si è assunto un valore di ω c superiore a ω c di quasi una decade per garantire un aumento consistente della fase in corrispondenza di ω c ), ovvero jω c 1 + τ p jω c G e(jω c ) = 1 da cui si ottiene τ p = 1 ω c (Mz G e (jω c ) ) 2 1 =.1483 essendo M z = 1 + (2ω c ) 2 = 2.25 e G e (jω c ) =.893. La rete di anticipo risulta pertanto R a (s) = 2 s s + 1 e il sistema esteso su cui progettare la rete di ritardo è G e1 (s) = R a (s)g e (s) = 2 s(.1483s + 1)(.5s + 1). Notare come al termine del progetto della rete per cancellazione non sia stata fatta alcuna verifica sul margine di fase.

9 A questo punto si progetta una rete di ritardo per imporre la pulsazione di incrocio desiderata ωc = 2 rad/s e il margine di fase Mf = 65o. Occorre pertanto calcolare modulo e argomento di G e1 (s) per ω = ωc = 2: G e1 (j2) = , arg{g e1 (j2)} = o. I parametri della rete ritardatrice si trovano imponendo nelle formule di inversione un amplificazione e uno sfasamento M = 1 G e1 (j2) = ϕ = 18 o + M f arg(g e1 (j2)) = o 9 o Dopo avere verificato analiticamente le condizioni di applicabilità della rete anticipatrice, e in particolare che cos(ϕ ) M.9988 >.148, dalle formule di inversione si ricava che τ = e α =.147. Le rete di ritardo è perciò Complessivamente, il regolatore dinamico risulterà R r (s) = 9.261s s + 1. (2 s + 1) (9.261s + 1) R d (s) = (.1483 s + 1) (88.47s + 1). d) Volendo discretizzare il regolatore R(s) = R s (s)r d (s) scegliere il tempo di campionamento più idoneo tenendo in considerazione la banda del sistema in anello chiuso una specifica sul ricostruttore di ordine zero che deve introdurre uno sfasamento sul margine di fase inferiore a 5 o Discretizzare R(s) con il metodo di Tustin. Il tempo di campionamento può essere scelto considerando la più restrittiva delle condizioni suddette: (a) ω c = 2 rad/s ω s = 1ω c = 2 T = 2π =.3142 s ω s (b) M f = T 2 ω 18 c π 5o T 5 2π ω c 18 =.873 s essendo ω c = 2 rad/s. Il valore T =.5 soddisfa tutti i vincoli richiesti. Sostituendo s = 2 1 z 1 la funzione di trasferimento del regolatore discretizzata risulta T 1 + z 1 (2 s + 1) (9.261s + 1) R(s) = 4 (.1483 s + 1) (88.47s + 1) R(z) = z z z z 2 = 4.94z2 9.66z z z e) Scrivere l equazione alle differenze corrispondente al regolatore R(z) = U(z) discretizzato al punto E(z) precedente. Interpretando z 1 come l operatore ritardo unitario segue immediatamente che l equazioni alle differenze corrispondene a R(z) è R(z) = z z z z 2 = U(z) E(z) u k = 1.711u k u k e k 9.66e k e k 2

10 f) Per migliorare le capacità del sistema controllato di inseguire il riferimento y sp (t) (di cui è nota l espressione analitica insieme a quella delle sue derivate) progettare l azione di feed-forward u ff (t) (compensazione in avanti del riferimento) necessaria. Per trovare l espressione analitica dell azione in avanti occorre invertire la funzione di trasferimento dell impianto R ff (s) = G 1 (s) = s(2s + 1)(.5s + 1) 5 =.1s s 2 + s. 5 Poichè G(s) non ha zeri, R ff (s) è semplicemente data da una combinazione lineare di potenze di s R ff (s) =.2 s s s pertanto U ff (s) = R ff (s)y sp (s) =.2 s 3 Y sp (s) +.41 s 2 Y sp (s) +.2 s Y sp (s) u ff (t) =.2 y (3) sp (t) +.41 y (2) sp (t) +.2 y (1) sp (t)

11 Diagrammi asintotici di Bode di G e (s) = R s (s)g(s) Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s]