Meccanica dei Fluidi

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1 Meccanica dei Fluidi

2 Fluidi non hanno forma roria Liquidi hanno volume rorio, incomressibili Gas non hanno volume rorio

3 Fluidi ideali: incomressibili (densità costante) non viscosi (no attrito interno) infiniti elementi dm = dv con scorrimento relativo senza attrito dv

4 Fluidi ideali: incomressibili (densità costante) non viscosi (no attrito interno) Forze agenti sugli gli elementi: ) Forze di volume F V alicate su tutto dv, roorzionali a dv (esemio: df P = dmg = gdv) ) Forze di suerficie F alicate su d, roorzionali a d esemio: df = d

5 tatica dei fluidi (ideali) non ci sono sforzi di taglio forze fra gli elementi solo normali df d df d raresenta lo sforzo normale nel fluido non diende dalla direzione di d

6 d df df df df La, a c a b L, Lb b Lc c cos cos Lc La F ris Eq. statico: z cos c c a a cos a c c a cos Lc La c a sen c c b b a csen c b Lcsen Lb c b

7 df d df d b df c df a df L a c, b c a b b non diende dalla direzione vedremo che = (x,y,z) N/m Pa

8 Lavoro comiuto dalle forze di ressione (ci servirà in seguito) F dh dl Fdh dh dv L V V dv

9 Equilibrio statico in resenza di forza eso volumetto infinitesimo di fluido immerso in equilibrio nel fluido z z + dv z dmg Forze di volume: F, F, x y F z mg dvg Equilibrio: dvg Vg zg z g d dz g

10 d dz g equazione fondamentale dell idrostatica (in resenza della sola forza eso) d gdz gdz z z gz z z z gz z z z z z

11 d dz g equazione fondamentale dell idrostatica (in resenza della sola forza eso) d gdz gdz z z gz z z z z z z gz h h gh (h) legge di tevino (in resenza della sola forza eso)

12 h gh gh in rossimità della suerficie libera: A 35 Pa.3 bar atm kg/cm A ressione atmosferica A atm A h A h gh A A gh m atm m 3 atm

13 h gh raresenta lo sforzo normale nel fluido ma si alica anche alle areti del contenitore A atm atm A 3 atm A

14 sull oblò di un sottomarino = cm, h = 6 m, F =? ext A gh in A F ext in ( gh Pa) F 85 N 9 kgf A h in ext

15 h gh Parete di una vasca iena d acqua H = 5 m, L = m F =? df df d ghdhl H ext d in d d H F ghdhl gl hdh gl H g H LH 6. 5 N L F H dh

16 Conseguenze della legge di tevino h ) le suerfici isobare sono orizzontali (in resenza della sola forza eso) gh 3

17 Conseguenze della legge di tevino h ) le suerfici isobare sono orizzontali (in resenza della sola forza eso) i vasi comunicanti gh

18 Conseguenze della legge di tevino h gh! i vasi comunicanti con B gh gh h h h h B

19 Conseguenze della legge di tevino h Alicazioni: manometro ad U gh gh h g h

20 Conseguenze della legge di tevino h Alicazioni: barometro di Torricelli gh A Hg Hg gh Hg 5 6 A Hg h A Hg g 76 mm A h Hg Hg h A Hg Hg

21 Conseguenze della legge di tevino h ) le suerfici isobare sono orizzontali (in resenza della sola forza eso) gh ) additiva risetto a Princiio di Pascal: L aumento di ressione esercitato in un unto qualsiasi di un fluido si trasmette in ogni altro unto del fluido con la stessa intensità, indiendentemente dalla direzione la ressa idraulica, i circuiti freno F F F F

22 Princiio di Archimede Equilibrio statico: F FV F F A. gv Vg A ' Un coro immerso in un fluido riceve una sinta verso l alto ari al eso del volume di fluido che viene occuato dal volume del coro mg F ris A ' Vg ' Vg ' Nave, mongolfiera, sommergibile

23 Princiio di Archimede il galleggiamento F ris V' g gv l h' h l h' g hg l h F Arch. mg h l

24 7.7. Un reciiente cilindrico di sezione B galleggia in un secondo reciiente iù grande, anch esso cilindrico e di sezione A, contenente dell acqua. A artire dalla condizione di equilibrio iniziale (h = h ), una iccola massa m viene oggiata sul fondo del reciiente galleggiante. i calcoli l innalzamento H del elo dell acqua al raggiungimento della nuova situazione di equilibrio. i effettuino i calcoli er A = cm, r = 3 Kg/m 3 e m = 7 g. H h A B

25 Equilibrio statico in resenza anche di forze inerziali Caso articolare: accelerazione verticale z Forze di volume: F x, F y, F z dm( a g) dvg' g ' g a z all equilibrio: dmg dma a d dz g' h g' h

26 Equilibrio statico in resenza anche di forze inerziali volumetto infinitesimo di fluido immerso in equilibrio nel fluido z z + dv z dmg dma Forze di volume: F, F, x y F z dm( a z g) dvg' Equilibrio: dvg' Vg' zg' z g' d dz g'

27 Durante il decollo lo huttle raggiunge un accelerazione verticale a = 5g. Calcolare la ressione assoluta alla base del serbatoio di ossigeno liquido alto h = 5 m: a) rima della artenza; b) durante la artenza. i assuma er l ossigeno liquido =.4 g /cm 3. a

28 Equilibrio statico in resenza anche di forze inerziali Caso articolare: accelerazione orizzontale a Forze di volume: a Fx dma x g ' g, F a y, g Fz a dmg g ' g all equilibrio: d dz g d dx, ax x

29 Equilibrio statico in resenza anche di forze inerziali Caso articolare: accelerazione orizzontale a Forze di volume: suerfici isobariche Fx dma x g ' g, F a y, g Fz a dmg g ' h' all equilibrio: d dz h g d dx, ax ' g' h' x

30 Equilibrio statico in resenza anche di forze inerziali Caso articolare: accelerazione orizzontale suerficie libera tg h a g ' g' h' g'h' g cosθ h cosθ gh gh h h' g ' g a

31 Equilibrio statico in resenza anche di forze inerziali Caso generale: accelerazione qualsiasi a all equilibrio: d dx a x d dy, ay d, ( g az ) dz d g' dx g' dy g' dz g ' ds x y z a g ' g r r g' ds x y x x a dx y y a dy z z g a z dz

32 Un tubo ad U contenente acqua ha i suoi tratti verticali distanti D = 5 cm tra loro. e il tubo si trova in rotazione intorno ad uno dei rami verticali con velocità angolare = rad/s, determinare il dislivello tra le suerfici libere del fluido nei due rami. a r a x x calcolando sul ramo vert. esterno: h x y z axdx aydy g az dz x y z z z z h gdz g g z calcolando sul ramo vert. interno + ramo orizzontale: D x x z axdx g az dz x z D rdr D

33 Un tubo ad U contenente acqua ha i suoi tratti verticali distanti D = 5 cm tra loro. e il tubo si trova in rotazione intorno ad uno dei rami verticali con velocità angolare = rad/s, determinare il dislivello tra le suerfici libere del fluido nei due rami. a r a x x uguagliando: gh D h D x h D g.5 m

34 Equilibrio statico in resenza anche di forze inerziali secchio in rotazione a a r gh ' r gh h' h rdr r g gh rofilo arabolico r h h'

35 inta di Archimede in resenza anche di forze inerziali all equilibrio: F g ' F FV g F a g' V. Vg' A a g ' a A. g

36 Un autocisterna di benzina ( = 7 kg/m 3 ) sta frenando su un rettilineo con un accelerazione costante a = 4 m/s. Un galleggiante di massa m =. kg e volume V = cm 3 è immerso comletamente nella benzina. Calcolare modulo e direzione de: a) sinta di Archimede e b) della forza totale agente sul galleggiante

37 Dinamica dei fluidi (ideali) Descrizione euleriana: fissi in un unto P(x,y,z) osserviamo l elemento che assa a t con v(x,y,z,t). v(x,y,z,t) come camo di velocità (variabile) [alternat. descrizione lagrangiana v(x, y, z, t)] linee di corrente: hanno v come tangente (linee di flusso: traiettorie delle articelle) Regime stazionario: v(x,y,z,t) v(x,y,z) linee di corrente linee di flusso

38 Regime stazionario linee di corrente linee di flusso tubo di flusso sezione infinitesima d sezioni del tubo di flusso d v Portata infinitesima: dq dv dt vdtd dt vd d vdt

39 Regime stazionario Portata infinitesima: dv dq vd dt d v Portata finita: Q dq v d v v Regime stazionario in fluidi ideali: v v Conservazione della ortata (eq. di continuità) (legge di Leonardo) m v v

40 conservazione della ortata: conservazione dell energia: Teorema di Bernoulli V l l L mg L L Vg( z z) L l mg l T z z l z ΔVg( z z) l l V v v v l v gz v v gz cost

41 Teorema di Bernoulli z gz v cost z v v z gz v v gz

42 Aello del 9/9/ In un tubo verticale di altezza h =,5 m e sezione = 5 cm scorre dell acqua ( = 3 kg/m 3 ) a velocità costante v = m/s. Nelle arti estremali del tubo la sezioni sono ridotte da due strozzature di sezione = 3 cm in alto e = 5 cm in basso. Determinare la differenza di ressione esistente tra le due strozzature.

43 Teorema di Bernoulli casi articolari ) velocità di uscita da un foro v v v v v A A h v gz gz v v A v g z z gh v gh teorema di Torricelli

44 Un reciiente cilindrico viene riemito da un liquido di densità = g/cm 3, fino ad un altezza h = 5 cm dal fondo. e un iccolo foro viene raticato sulla arete laterale del cilindro ad una distanza H = 5 cm dal fondo, e se il fluido, dato il rofilo del foro, ne fuoriesce obliquamente verso l alto formando un angolo = 6 risetto all orizzontale, determinare quale è la massima quota raggiunta dal liquido risetto al fondo del reciiente. v h H

45 ) effetto Venturi Teorema di Bernoulli casi articolari v v v v v v z z v v v gz gz v v v v v

46 Teorema di Bernoulli casi articolari ) effetto Venturi: nebulizzatore carburatore rofilo alare

47 i consideri un tubo di lunghezza L, avente sezione er metà della sua lunghezza e sezione er l altra metà (vedi figura). aendo che nel rimo tratto la velocità del fluido è ari a v e che nei due tubi iezometrici si osserva che il livello del fluido sale fino alle quote h e h risettivamente, si calcoli la velocità v del fluido nella seconda arte di tubo. i trascurino le dimensioni di R e R e si eseguano i calcoli numerici con: L = 7 cm, v = m/s, h = 4 cm, h = cm, velocità del suono nel fluido v s = 5 m/s