ogni anno, una percentuale (della popolazione presente all inizio dell anno) c (0 c 1) emigra dalla regione 3 alla regione 2.

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1 Esercizio [ punti] Tre regioni sono soggette a fenomeni di immigrazione/emigrazione. Indicando con x i (t), i =, 2, 3 il numero di soggetti nelle regioni, 2, 3, rispettivamente, all inizio dell anno t esimo, le migrazioni sono soggette alle seguenti regole ogni anno, solo una percentuale (della popolazione presente all inizio dell anno) b ( b ) rimane nella regione, una percentuale a ( a b) emigra verso la regione 2 e la rimanente percentuale emigra verso la regione 3; ogni anno, una percentuale (della popolazione presente all inizio dell anno) c ( c ) emigra dalla regione 3 alla regione 2. Si risponda ai due punti seguenti. Si ricavi un modello di stato per descrivere la dinamica delle popolazioni delle 3 regioni; si ricavino tutti i punti di equilibrio del sistema assumendo a =, b = e c =. RIPORTARE LE SOLUZIONI DEI PUNTI E 2 ALL INTERNO DI QUESTO RIQUADRO ) Modello: 2) Punti di equilibrio: RIPORTARE SOTTO IL PROCEDIMENTO SEGUITO PER OTTENERE LE SOLUZIONI Soluzione EX. Riguardo al primo quesito, sfruttando le regole fornite si ottiene facilmente il seguente sistema lineare a tempo discreto: x(t + ) = F x(t), dove b F = a c. a b c Riguardo al secondo quesito, la matrice F con a =, b = e c = diventa F =. I punti di equilibrio chiaramente corrispondono a tutto lo spazio di stato R 3. Infatti, essi risolvono il sistema lineare (F I) x =, dove I rappresenta la matrice identità di taglia 3 3. Si ha A = F I =, ed il problema equivale a calcolare il kernel di A che corrisponde a,,. Pillonetto, Susto IV Appello Controlli Automatici

2 Esercizio 2 [ punti] Si consideri il sistema di controllo d(t) r(t) e(t) y(t) W (s) = s(s+2) 2 K Si ricavino i valori di K che assicurano la stabilità del sistema in catena chiusa. Si fissi K =, r(t) = 6 cos(t)δ (t) e d(t) = δ (t). Si determini l uscita y(t) per valori grandi di t. RIPORTARE LE SOLUZIONI DEI PUNTI E 2 ALL INTERNO DI QUESTO RIQUADRO ) Valori di K: 2) Uscita y(t) per t grande: RIPORTARE SOTTO IL PROCEDIMENTO SEGUITO PER OTTENERE LE SOLUZIONI Soluzione EX 2. La funzione di trasferimento in catena chiusa risulta W (s) = W (s) + KW (s) = s 3 + 4s 2 + 4s + K. Applichiamo quindi il criterio di Routh al polinomio s 3 + 4s 2 + 4s + K. Si ottiene la tabella K 6 K K Per K = una riga della tabella si annulla: non vi è stabilità. Infatti si noti che sotto tale ipotesi si lavora a catena aperta e W (s) ha un polo in. Per K = 2 di nuovo una riga della tabella si annulla e quindi non vi è stabilità. Il sistema è stabile se e solo se tutti gli elementi della prima colonna sono strettamente positivi e quindi per < K < 6. Per K = il sistema è stabile e la funzione di sensitività risulta S(s) = + W (s) = s(s + 2) 2 s 3 + 4s 2 + 4s +. Quella parte dell uscita causata dal disturbo nel dominio di Laplace risulta Applicando il teorema del valore finale, si ha Y (s) = S(s)D(s) = (s + 2) 2 s 3 + 4s 2 + 4s +. y, = lim s sy (s) = lim s S(s) =. La parte dell uscita dovuta all ingresso, per grandi valori di t, si trova applicando il teorema della risposta in frequenza. Si ha W (s) = s 3 + 4s 2 + 4s + e serve valutare modulo e fase per s = jω con ω =. Si ha W () = = j 3 + 4j 2 + 4j + j 4 + 4j + = 3(j ) Pillonetto, Susto IV Appello Controlli Automatici

3 Si ha mentre la fase in radianti risulta = + j 6. W () = 2 W () = arctan() π Quindi, per grandi valori di t, l uscita dovuta al disturbo e all ingresso cosinusoidale risulta y(t) 2 cos(t 2.35). Pillonetto, Susto IV Appello Controlli Automatici

4 Magnitude (db) Bode Diagram Phase (deg) Frequency (rad/s) Figure : Diagrammi di Bode di G(s). Esercizio 3 [3 punti] Si consideri il sistema retroazionato W (s) = C(s)G(s) +C(s)G(s) con. Si traccino i diagrammi di Bode di G(s). G(s) = 3 s 7s + s Si calcoli la pulsazione d attraversamento ω A. 3. Si consideri un generico controllore C(s); si progetti C(s) in modo da soddisfare le seguenti specifiche: errore a regime e RP = ; pulsazione di attraversamento ωa margine di fase m φ 65. = rad sec ; [] Per tracciare i diagrammi di Bode è innanzitutto necessario portare G(s) in forma di Bode: G(s) = s 7s + s 3 +. Il guadagno statico di G(s) è pari a (2 db). Dopo aver notato che è presente un polo nell origine, si studiano gli altri fattori della f.d.t.: è presente un polo ( + s/3) con punto di spezzamento in ω p è presente uno zero ( + 7s) con punto di spezzamento in ω z = 7 = 3 rad sec (.472 in scala logaritmica); rad sec (-.845 in scala logaritmica). I grafici reali dei diagrammi di Bode di G(s) sono rappresentati in Fig.. In particolare si può osservare che la pendenza del diagramma del modulo è pari a -2 db/dec in ω (., 7 ) rad sec ; pari a in ω ( rad 7, 3) sec ; pari a -2 db/dec per ω > 3 rad sec. In particolare, si calcola il valore del diagramma asintotico alle frequenze ω ( rad 7, 3) sec : in assenza dello zero in ω z, il diagramma asintotico sarebbe stato pari a 2 db in ω = ; tuttavia, la presenza di tale zero.845 decadi prima di ω =, fa sì che il valore del diagramma asintotico in ω z (e in tutto l intervallo ( db 7, 3)) sia pari a 2dB + 2 dec..845dec db. Pillonetto, Susto IV Appello Controlli Automatici

5 Magnitude (db) Bode Diagram Phase (deg) Frequency (rad/s) Figure 2: Diagrammi di Bode di L(s). [2] Per calcolare il valore di ω A sfruttiamo esistente per il diagramma di Bode calcolato in due pulsazioni ω e ω 2 nel caso fra le due pulsazioni ci sia una pendenza costante pendenza 2 : ( ) ω2 G(jω 2 ) db = G(jω ) db + pendenza 2 log ; ω in questo caso consideriamo (altri punti potevano essere considerati): ω 2 = ω A ω = 3 rad sec. Abbiamo calcolato al punto precedente che G(j3) db = 56.9 db ed imponiamo, visto che abbiamo definito ω A pulsazione di attraversamento, G(jω A ) db = db. Si ricava che come la ω A = /2 2 rad sec. [3] Nel progetto del controllore si parte, come consuetudine, dal soddisfare la richiesta sull errore a regime. Per soddisfare tale specifica è necessario un sistema di tipo 2: essendo G(s) di tipo, è necessario introdurre un polo nell origine per il controllore; si impone quindi: C (s) = s. I grafici reali dei diagrammi di Bode di L(s) sono riportati in Figura 2. Senza ricorrere a calcoli analitici, si può già apprezzare come: ricorriamo quindi all utilizzo di una rete a sella del tipo ω A < ω A, m φ (ω A ) < m φ, C(s) = + T As + T R s + at A s + rt R s, con a [, ] e r = a. Per la sintesi della rete a sella, si comincia ricavando r dalla seguente equazione: log(r) + L(jω A) db =, Pillonetto, Susto IV Appello Controlli Automatici

6 dobbiamo quindi ricorrere ad un calcolo analitico di L(jω A ) db. Dalla precedente si ricava: L(j) = + (7 ) ( ) db. r = 26.7 = 44.58, da cui si ottiene a =.25. E opportuno verificare ora se tale valore di a è sufficiente per garantire un adeguato anticipo di fase: φ MAX = arcsin a + a 84.3, più che sufficiente per soddisfare il vincolo sul margine di fase (non stiamo calcolando il margine di fase attuale, ma dal Diagramma di Bode delle fasi si può apprezzare che è di poco maggiore di ): se tale condizione non fosse stata rispettata, avremmo dovuto riprogettare la rete a sella togliendo il vincolo r = /a. Con la suddetta scelta per a, si può ricavare il valore di T A da T A a = T A = 2.4. Scegliamo T R = (in questa maniera il controllore non peggiora la fase in ωa ). Il controllore diventa quindi C(s) = s + 2.4s +.5s + s s. Pillonetto, Susto IV Appello Controlli Automatici