2 CERTAMEN NAZIONALE DI PROBABILITA E STATISTICA FELICE FUSATO Fase di Istituto 15 febbraio 2011

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1 2 CERTAMEN NAZIONALE DI PROBABILITA E STATISTICA FELICE FUSATO Fase di Istituto 15 febbraio ) Non sfogliare questo fascicolo finché l insegnante non ti dice di farlo. 2) E ammesso l utilizzo di calcolatrici tascabili. 3) La prova è rigorosamente individuale. E vietato l uso di telefoni cellulari. 4) La prova consiste di 13 problemi divisi in due gruppi: nei problemi dal numero 1 al numero 10 sono proposte 4 risposte possibili, indicate con le lettere A, B, C, D. Una sola delle risposte è corretta. La lettera corrispondente alla risposta corretta dovrà essere riportata, per ogni quesito, in fondo a questa pagina nella relativa casella. Ogni risposta giusta vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni quesito lasciato senza risposta vale un punto.. Non sono ammesse correzioni o cancellature sulla griglia. I problemi 11, 12 e 13 richiedono invece una procedura risolutiva esplicita ed argomentata. Ti invitiamo a formulare le soluzioni in modo chiaro e conciso usufruendo dello spazio riservato e consegnando soltanto i fogli di questo fascicolo. Tali problemi verranno valutati con un punteggio da 0 a 10. 5) Quando l insegnante dà il via, comincia a lavorare. Hai 2 ore di tempo. Buon lavoro! Da compilare da parte dello studente Nome: Cognome Indirizzo: Città: Scuola: Anno di corso: Città: Risposte ai primi 10 quesiti PUNTEGGIO (da riempirsi a cura dell insegnante) Numero delle risposte esatte (1-10) Numero degli esercizi senza risposta x 5 = x 1 = Valutazione esercizio n.11 Valutazione esercizio n.12 Valutazione esercizio n.13 PUNTEGGIO TOTALE

2 Problemi a risposta multipla 1. Abbiamo due dadi uguali; ciascuno ha una faccia gialla, due facce blu e tre facce rosse. La probabilità p che lanciandoli insieme si ottengano facce dello stesso colore è A) 1 p 1 B) p= C) p= 1 2 D) p< Tre fratelli vogliono fare una partita di calcio con altri 19 amici. Sapendo che la formazione delle due squadre viene sorteggiata, qual è la probabilità che i tre fratelli giochino la partita nella stessa squadra? A) B) compresa tra e C) D) compresa tra e 3. In una lotteria ci sono 100 biglietti e tre premi. Hai acquistato 40 biglietti. La probabilità che tu vinca due premi è: A) B) C) D) 4. Si scelga a caso un punto all interno di un cerchio. Qual è la probabilità che esso sia più vicino al centro che alla circonferenza del cerchio? A) B) C) D) 5. Se A e B sono due eventi tali che p(a)=0,4 e p(a B)=0,7, p(b)= p con 0 p 1 è vero che A) A e B sono stocasticamente indipendenti se p=0,6 B) A e B sono incompatibili se p=0,5 C) Detto C l evento A B allora p( C )=0,3 D) p(c) =0,3 6. Assegnato il seguente insieme di dati: , stabilire quali delle seguenti relazioni sono vere: a) moda = mediana; b) moda < media; c) media > mediana; d) media quadratica < media A) Solo la a) e la c) B) solo la b) e la d) C) solo la b) e la c) D) solo la a) è falsa 7. E data la seguente distribuzione di frequenza x i f i assolute La numerosità dei casi osservati è A) 15 B) 35 C) 30 D) 5 8. Sia X una variabile aleatoria normalmente distribuita con =10 e =2,5, la probabilità p che 6 x 12 è A) 0,3<p<0,5 B) 0,5<p<0,8 C) p > 0,8 D) p < 0,3 9. Circa il 6% dei bulloni prodotti da una certa macchina è difettoso. La probabilità che in un campione di 100 siano difettosi almeno tre bulloni è: A) 14,69% B) 0,1469% C) 1,469% D) nessuna delle precedenti 10. Sia X una variabile distribuita normalmente con media 10 e varianza 4. Allora anche la variabile Y = 2+3X è distribuita normalmente con : A) media 30 e varianza 12 B) media 30 e varianza 36 C) media 32 e varianza 12 D) media 32 e varianza 36 Nome: Cognome:

3 Problema n.11 Il numero delle volte in cui un computer va in crash nell arco di una settimana, è ben modellato da una variabile aleatoria di Poisson X di parametro λ = 3. Al proprietario del computer viene proposta l installazione di un software speciale. Per il 90% dei computer che installano questo software il numero medio dei crash nella settimana scende a λ = 0.5. Per il restante 10% il λ non varia, cioè il software non ha effetto. Supponiamo di installare il software sul computer e consideriamo i seguenti eventi pensando a una settimana qualunque. A = {il software ha effetto sul computer} B = {X = 0} = {il computer non va in bomba nella settimana} a) Calcolare P[A] b) Calcolare P[B A] c) Calcolare P[B A C ] d) Calcolare P[A X = 0], cioè la probabilità che, nell ipotesi che il computer non vada in bomba nella settimana, ciò sia dovuto al software installato. Nome: Cognome:

4 Problema n.12 Si lanciano simultaneamente 4 monete regolari. Se escono almeno due teste l automa A della figura fa un passo avanti; se esce una sola testa, A fa un passo indietro; se non esce neanche una testa A resta fermo nella casella in cui si trova. ( A non può andare oltre U o prima di Z). Calcolare la probabilità che: a) dopo tre lanci, A si trovi ancora nella casella di partenza b) dopo 5 lanci, A raggiunga la casella Z; A Avanti c) dopo 7 lanci, A raggiunga la casella U. Z * U Nome: Cognome:

5 Problema n.13 Le quattro facce di un dado a forma di tetraedro sono numerate da 1 a 4. Questo dado è truccato in modo che la probabilità p(i) perché la faccia i sia nascosta è proporzionale al quadrato di i. Si può scrivere : p(i) = ki 2 a) Determinare k b) Si lancia il dado una volta e si chiama X la variabile aleatoria : somma dei numeri visibili. Dare la legge di probabilità di questa variabile X, il suo valore medio e il suo scarto quadratico medio. c) Determinare la funzione di ripartizione di X e rappresentarla graficamente. d) Qual è la probabilità perché, nel corso di cinque lanci, X risulti pari due (sole) volte? Nome: Cognome: