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1 Controlli Automatici A Compito Completo Dicembre 7 - Esercizi Compito A Nr. a = Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec. Altro. Negli esercizi che seguono, si sostituisca ad a il valore assegnato e si risponda alle domande. a.) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali temporali x(t): x (t) = e a t (t ), x (t) = 3 e a t sin(5 t) Soluzione: X (s) = (s + a) 3 (s + a), X (s) = 5 (s a) + 5 a.) Calcolare la risposta impulsiva g i (t) delle seguenti funzioni di trasferimento G i (s): G (s) = a (4 s + )(s + ), G (s) = a (s + a ) e s Soluzione: g (t) = 4 a 49 e.5 t 4 a 49 e t a 7 t e t, g (t) = { per t sin(a (t )) per t > b) Relativamente allo schema a blocchi riportato in figura, calcolare la funzione di trasferimento G (s): C G (s) = Y(s) X(s) = ADE+ACE +AD+BG+ABF +ACF +ADBG X(s) A D B G E Y(s) F c) In figura è mostrata la risposta y(t) di un sistema lineare G(s) stabile del secondo ordine quando in ingresso è presente un gradino x(t) = 4. Nei limiti della precisione del grafico:

2 6 time response c.) determinare la funzione di trasferimento del sistema G(s) stimando anche qualitativamente il valore del coefficiente di smorzamento: G(s) = s + 6 s + = (s + 3) seconds p, = 3 ± 9.54 j, δ =.3 c.) nello schema riportato a lato tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze della funzione G(s) d) Sia dato il seguente sistema retroazionato: r(t) e(t) K G(s) (s ) (s a) s(s + 4 a s + 6 a ) y(t) d.) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s). Soluzione. I diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) quanto a = 3sono mostrati in Fig.. Le funzioni approssimanti G (s) e G (s) per ω ed ω sono le fase gradi Figura : I diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) quanto a = 3.

3 seguenti: G (s) = 6 a s, G (s) = s Le corrispondenti fasi ϕ e ϕ sono: ϕ = π, ϕ = π = 5 π Sul diagramma asintotico delle ampiezze, il guadagno β in corrispondenza della pulsazione ω = e il guadagno γ in corrispondenza della pulsazione ω = a hanno il seguente valore: β = 6 a γ = a = 6 a d.) Determinare per quali valori del parametro K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. Soluzione: l equazione caratteristica del sistema retroazionato è K (s ) (s a) + = s 3 +(K +4 a)s +(6 a K a K) s+ a K = s(s + 4 a s + 6 a ) La corrispondente tabella di Routh è la seguente 3 (6 a K a K) (K + 4 a) a K (K + 4 a)(6 a K a K) a K a K L equazione corrispondente alla prima riga della tabella di Routh è: Le radici di tale equazione sono: ( + a)k ( a) a K + 64 a 3 = K = ( 5 a 996 a + 63 a +58 a a 4 ) + a = K K = ( 5 a 996 a 63 a +58 a a 4 ) + a Il sistema retroazionato è stabile asintoticamente per < K < K Nel caso a = 3 si ha K =.443 e K =.996. La pulsazione ω corrispondente al valore limite K è ω a K = (K + 4 a) = 6 a K a K Nel caso a = 3 si ha ω = 3.3, ω = d.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist completo della funzione G(s). Calcolare esattamente la posizione σ a di un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ i con l asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω i. Soluzione: Il diagramma di Nyquist della funzione G(s) per a = 3 e ω [, ] è mostrato in Fig.. Il diagramma di Nyquist ha un asintoto verticale nella seguente posizione: σ a = ( 6 a a ) a=3 σ a = a Vi sono due intersezioni σ e σ con l asse reale che si determina facilmente dall analisi di Routh svolta al punto d.): σ = K a=3 =.5683, σ = K a=3 =.769 3

4 3 diagramma di Nyquist. diagramma di Nyquist e Figura : Diagramma di Nyquist della funzione G(s) quanto a = 3. I corrispondenti valori di ω e ω sono quelli determinati al punto d.: ω = 3.3, ω = d.4) Calcolare, in funzione del parametro K, l errore a regime e( ) del sistema retroazionato nel caso in cui r(t) = 5 t. Soluzione: l errore a regime richiesto è sicuramente infinito in quanto il sistema è di tipo mentre l ingresso è una parabola: K a = e a = R K v = K v = e) I diagrammi di Bode riportati sotto sono relativi ad un sistema a fase minima G(s). Nei limiti della precisione consentita dai grafici: ) Indicare il margine di M α e il margine di fase M ϕ. ) Calcolare per quali valori del guadagno K p > il sistema K p G(s) posto in retroazione unitaria è stabile. 3) Determinare per quale valore K ϕ del guadagno il sistema K ϕ G(s) presenta un margine di fase pari a M ϕ = (3 + 3a). 4) Determinare per quale valore K α del guadagno il sistema K α G(s) presenta un margine di pari a M α = (3 + a). Per a = 3 si ha M ϕ = 39 e M α = 6, per cui i valori richiesti sono i seguenti: G(jω) ) M α = 3.5 db =.5 M ϕ = 3.43 gradi ) < K <.5 3) K ϕ = 5.9 db =.56 4) K α = db =.5 gradi 3 4 fase f) Si faccia riferimento ad un sistema G(s) a fase minima il cui diagramma di Bode delle ampiezze è mostrato in figura. 4

5 Nei limiti della precisione consentita dal grafico, ricavare l espressione analitica della funzione di trasferimento G(s) G(s) 5(s +.) s(s +. s + )(s + 3) Il guadagno K della funzione di trasferimento G(s) si determina imponendo che il module l approssimante G (s) alla pulsazione ω =. sia uguale al guadagno β = = : G (s) s=j. = K. 3 s = K. = K = 5 s=j. 3 5

6 Controlli Automatici Dicembre 7 - Domande Compito A Nr. a = Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec. Altro. Negli esercizi che seguono, si sostituisca ad a il valore assegnato e si risponda alle domande.. Scrivere la funzione di trasferimento G(s) corrispondente alla seguente equazione differenziale: a... y (t) + 3 ÿ(t) + 5 ẏ(t) + y(t) = 3a ẍ(t) + 7 x(t) G(s) = Y (s) X(s) = 3 a s + 7 a s s + 5 s +. Calcolare il valore iniziale y = lim y(t) e il valore finale y t + corrispondente alla seguente trasformata di Laplace Y (s): Y (s) = a ( s + 3) s(s + )( s + ) y = a y = 3 a = lim t y(t) del segnale y(t) 3. Sia F (s) la trasformata di Laplace del segnale f(t). Fornire l enunciato del Teorema dell integrale : [ t ] L f(τ)dτ = s F (s) 4. Disegnare l andamento qualitativo y (t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema: Calcolare inoltre: ) il guadagno statico K del sistema; ) il tempo di assestamento T a della risposta al gradino; 3) il periodo T dell eventuale oscillazione smorzata presente nella risposta al gradino: K = 3, T a, T π =.68 s La coppia di poli dominanti del sistema è data dal termine: G(s) = (3 +.5 s)(s + 8 s + 64) (6 +.3 s)( +.5 s)(s + ) risposta nel tempo (s + ) = (s + j)(s j) secondi. 5. Si faccia riferimento al diagramma di Bode dei moduli mostrato in figura. Sapendo che il sistema è a fase minime, stimare indicativamente la fase del sistema in corrispondenza delle seguenti pulsazioni: ω =. ϕ π 4 ω = 3 ϕ ω 3 = 4 ϕ 3 π ω 4 = ϕ

7 6. Calcolare l errore a regime e( ) per i seguenti sistemi retroazionati: r(t) = 3 e(t) (s + a) y(t) s(s+3) r(t) = 4 t e(t) (s + 3) y(t) s(s+ a) r(t) = t e(t) s + 5 y(t) s (s + ) e( ) = e( ) = 4 a e( ) = K 7. Data la funzione di trasferimento G(s) =, il valore della pulsazione ω della risposta s + 8s + al gradino unitario del sistema G(s) è pari a: ω = ω = ω = ω = (s + ) 8. Sia dato il diagramma di Nyquist (vedi figura) della seguente funzione G(s) =.5 (s ). diagramma di Nyquist Utilizzando il criterio di Nyquist è possibile affermare che il sistema retroazionato.5 K G(s) è stabile per i seguenti valori di K: (K <, K >> ); (K <, K << ); (K >, K << ); (K >, K >> ); Calcolare i valori limite K e K : K > K =, K < K = Sia y(t) = Y (ω) sin(ωt+ϕ(ω)+ϕ ) la risposta asintotica di un sistema lineare stabile all ingresso sinusoidale x(t) = X sin(ωt+ϕ ). Fornire la definizione di funzione di risposta armonica F (ω): F (ω) = Y (ω) X ejϕ(ω). Si faccia riferimento al diagramma di Nichols mostrato in figura relativo ad un sistema lineare G(s) asintoticamente stabile. Nei limiti della precisione consentita dal grafico, calcolare la risposta a regime y (t) del sistema G(s) quando in ingresso è presente il segnale: x(t) = cos(a t) Risposta a regime : y (t) G(a j) cos(a t + ArgG(a j)) a= cos(3 t 63.7 o ) 3 4 diagramma di Nichols gradi 7