3) Quali delle seguenti applicazioni sono prodotti scalari? B) f : R R. D) f : R R R

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1 1) In uno spazio euclideo E 3 di dimensione 3 siano A un punto, r una retta e Π un piano non ortogonale ad r.allora A) esiste ed e unica la retta s passante per A, parallela ad r e ortogonale a Π. B) esiste ed e unica la retta passante per A, ortogonale ad r e parallela a Π. C) esiste ed e unico il piano passante per A, parallelo ad r e ortogonale a Π. D) esiste ed e unico il piano passante per A, ortogonale ad r e parallelo a Π. 2) Sia C una fissata circonferenza dello spazio euclideo E 3. A) C e contenuta in infinite sfere. B) C e contenuta in esattamente una sfera. C) C e contenuta in ogni piano di un particolare fascio di piani. D) C e contenuta in esattamente un piano. 3) Quali delle seguenti applicazioni sono prodotti scalari? A) f : R R x 15 x B) f : R R x x 2 C) f : R R R (x, y) x + y D) f : R R R (x, y) 15xy ) In uno spazio affine A 3, rispetto ad un fissato riferimento affine non omogeneo, si dica quali delle seguenti sono rappresentazioni della retta passante per i punti A (1, 2, 3) e B (0, 5, 7, 9). x = 1 + 5t A) y = 2 + 7t z = 3 + 9t B) x 1 = y 2 5 = z 3 6 C) { x = 5 y 3 5 z = 6 5 y D) x 5 8 = y 7 10 = z ) Dati, in uno spazio euclideo E, due piani E ed E, essi sono 0-perpendicolari se e solo se A) hanno un solo punto come intersezione. B) tutti i vettori liberi di E sono ortogonali a tutti i vettori liberi di E. C) tutte le rette contenute in E sono ortogonali a tutte le rette contenute in E. D) per ogni coppia (A, B) con A, B E e tale che AB sia ortogonale a tutti i vettori liberi di E, esiste almeno una coppia (C, D), con C, D E, equipollente ad (A, B). 6) Siano A h e A n 2 sottospazi affini di uno spazio affine A n con 1 < h < n 2. A h e parallelo ad A n 2 se e solo se A) per ogni retta di A h esiste una retta di A n 2 parallela ad essa. B) per ogni retta di A n 2 esiste una retta di A h parallela ad essa. C) A h A n 2 = (come intersezione degli insiemi di punti propri). D) ogni retta di A h e parallela ad ogni retta di A n 2. 1

2 7) Quali dei seguenti sottospazi di A 5 (in coordinate affini non omogenee x, y, z, u, v) sono piani? A) x y + 3z = 0. { x + 2y z = 2 B) x + z = 0. x = α β y = 2α 1 C) z = β + 2 u = 3 v = α + 3β. x y = 2 D) y = 3 z = 1. 8) In uno spazio euclideo E 3, siano r ed s due rette sghembe. La distanza fra r ed s e uguale a: A) la distanza fra i due punti di intersezione di r ed s con un qualunque piano ortogonale ad r. B) la distanza fra un punto qualunque di r ed un qualunque piano passante per s e parallelo ad r. C) la lunghezza di un qualunque segmento avente gli estremi su r e su s, ortogonale ad entrambe le rette. D) la distanza di un qualunque punto di r dalla retta s. 9) In uno spazio vettoriale euclideo (V,, ), designando con u la norma euclidea di u V, si ha u, v V A) u, v u + v. B) u, v u + v. C) u, v u v. D) u, v u v. 10) Quali dei seguenti insiemi sono basi ortogonali dello spazio vettoriale euclideo standard 3 dimensionale su R? A) {(1, { 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)}. B) (1, 0, 0), (0, 2 2, 2 2 ), (0, 2 2, 2 2 }. ) C) {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)}. D) {(1, 0, 0), (0, 2, 2), (0, 2, 2)}. 11) Date, in uno spazio euclideo di dimensione 3, due rette distinte r ed s, si ha che A) esiste almeno un iperpiano contenente r ed s. B) se r ed s sono incidenti, allora esistono infiniti iperpiani contenenti r ed s. C) esiste almeno un iperpiano ortogonale ad r ed s. D) se r ed s sono parallele, allora esiste esattamente un iperpiano che le contiene. 12) Siano A, E, P, S punti di un piano affine. Se AE = SP, allora A) AP = ES. B) AS = EP. C) E + A P = S. D) E + A S = P. 13) Due basi B = (e 1, e 2 ), B = (f 1, f 2 ) di R 2 sono concordi (hanno la stessa orientazione) se e solo se A) la matrice del cambiamento di base da B a B ha determinante positivo. B) la matrice del cambiamento di base da B a B ha determinante positivo. C) per i = 1, 2, e i e parallelo ad f i. D) esiste λ R {0} tale che per i = 1, 2, e i = λf i. 2

3 1) In uno spazio euclideo E 3 si consideri la usuale distanza definita sull insieme S di tutte le rette parallele ad una retta fissata; A) essa e una vera e propria distanza, che definisce su tale insieme una struttura di spazio metrico. B) per essa non vale la prima proprieta degli spazi metrici: d(r, s) = 0 r = s. C) per essa non vale la proprieta simmetrica: r, s S, d(r, s) = d(s, r). D) per essa non vale la disuguaglianza triangolare: r, s, t S, d(r, s) d(r, t) + d(t, s). 15) Dati quattro piani in uno spazio affine di dimensione 3 su R, una possibile loro intersezione e l insieme A) costituito da un punto proprio. B) costituito da un punto proprio e uno improprio. C) vuoto. D) costituito dai punti di una retta propria. 16) Dati in un piano euclideo E 2 i punti A, B, C, D, il determinante di Gram di AB, AC, AD A) e sempre nullo. B) e nullo se e solo se A, B, C, D sono allineati. C) e il quadrato dell area del quadrilatero di vertici A, B, C, D. D) non esiste per incompatibilita con la dimensione dello spazio. 17) In uno spazio affine di dimensione 3 siano date, rispetto ad un riferimento affine, le equazioni di tre piani. Se, per il sistema da esse formato, il rango della matrice incompleta e 1 e quello della completa e 2, allora i tre piani sono A) paralleli. B) hanno un punto improprio (e nient altro) in comune. C) sono paralleli ad una stessa retta. D) non hanno ne punti propri ne punti impropri in comune. 18) In uno spazio vettoriale euclideo sia X = (v 1,..., v n ) una n pla linearmente indipendente. Sia Y = (u 1,... u n ) la n pla ottenuta applicando ad X il procedimento di ortonormalizzazione di Gram Schmidt. A) Se X e ortonormale, allora Y = X. B) Se per ogni i = 1,..., n v i = 1, allora Y = X. C) Se X e ortogonale, allora X Y =. D) Se per ogni i = 1,..., n v i = 1, allora X Y =. 19) Sia (V,, ) uno spazio vettoriale euclideo. Si dica quali delle seguenti funzioni d : V V R sono distanze. A) d(u, v) = u, v. B) d(u, v) = 3 u, v. C) d(u, v) = 3 u v, u v. D) d(u, v) = 5 u v, u v. 20) Due rette distinte di uno spazio euclideo E 3 sono parallele se e solo se A) non sono ortogonali. B) il sistema formato dalle loro equazioni cartesiane (rispetto ad un riferimento cartesiano) non ammette soluzioni. C) non hanno punti (propri) in comune, ma hanno tutti i vettori liberi in comune. D) il sistema formato dalle loro equazioni cartesiane (rispetto ad un riferimento cartesiano) ha la matrice completa di rango. 3

4 21) In { uno spazio euclideo E 3, rispetto ad un riferimento cartesiano ortogonale, sia r la retta di equazioni x = 2. Allora r e y = 5 A) ortogonale al piano xy (cioe quello di equazione z = 0). B) parallela al piano xz (cioe quello di equazione y = 0). C) parallela al piano yz (cioe quello di equazione x = 0). D) parallela al piano xy (cioe quello di equazione z = 0). 22) In uno spazio affine, rispetto ad un riferimento affine sono dati i punti A (1, 2, 3), B (3,, 5). Se C e il simmetrico di A rispetto a B, allora A) C (2, 3, ). B) C (5, 6, 7). C) C (, 6, 8). D) C ( 1, 0, 1). 23) In uno spazio euclideo E 3, rispetto ad un riferimento cartesiano ortogonale, sia Π il piano di equazione x + 2z 18 = 0. Allora Π A) e parallelo al piano xz (cioe quello di equazione y = 0). B) parallelo all asse coordinato delle y. C) ortogonale al piano xz (cioe quello di equazione y = 0). D) ortogonale all asse coordinato delle y. 2) In uno spazio euclideo di dimensione 3, rispetto ad un riferimento cartesiano, sia r la retta di equazioni x = 3 y = 1 Allora r z = t. A) e parallela al piano xy. B) ortogonale al piano xy. C) parallela all asse z. D) ortogonale all asse z. 25) Sia S una sfera di raggio 1. Sia X l insieme di tutte le circonferenze di raggio 1 giacenti su S. Allora A) dati un elemento C 1 di X e un punto P S C 1, per P non passa alcun elemento di X disgiunto da C 1. B) dati un elemento C 1 di X e un punto P S C 1, per P passa almeno un elemento di X disgiunto da C 1. C) dati due punti NON diametralmente opposti di S, per essi passano infiniti elementi di X. D) dati due punti NON diametralmente opposti di S, per essi passa esattamente un elemento di X. 26) In uno spazio affine di dimensione 3, rispetto ad un riferimento affine, si consideri il sottospazio di equazione 2x 5y + = 0. Quali delle seguenti sono componenti di un suo vettore libero? A) (2, 5, ). B) (2, 5). C) (5, 2). D) (0, 0, 1). 27) In uno spazio euclideo, rispetto ad un riferimento cartesiano, sia Π il piano di equazione 2x 3 = 0. Π e A) ortogonale all asse x. B) ortogonale all asse y. C) ortogonale al piano xz. D) ortogonale al piano yz.

5 28) In uno spazio euclideo E 3, rispetto ad un riferimento cartesiano, l equazione 2x 5 = 0 rappresenta A) una retta non passante per l origine. B) un piano parallelo al piano xy. C) un piano passante per l asse z. D) un piano ortogonale al piano xy. x = u + v 29) In uno spazio affine A 3, rispetto ad un riferimento affine, il sottospazio di equazioni y = v z = u + v + 5 e A) un piano parallelo al piano coordinato xy. B) una retta parallela al piano coordinato xy. C) una retta parallela all asse coordinato y. D) un piano parallelo all asse coordinato y. 30) In uno spazio euclideo di dimensione 3, rispetto ad un riferimento cartesiano, l equazione x = y + 2 rappresenta A) una retta parallela ai piani coordinati xy ed xz. B) una retta che forma con ogni asse coordinato un angolo il cui coseno e 3 3. C) un piano parallelo all asse coordinato z. D) un piano parallelo al piano coordinato xy. 5