CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa

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1 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa RETI CORRETTRICI Ing. Luigi Biagiotti Tel luigi.biagiotti@unibo.it

2 Regolatori standard Alcune strutture standard di regolatori reti correttrici anticipo o ritardo 1 polo ed uno zero reali anticipo/ritardo due poli e due zeri reali distinti regolatori industriali Proporzionali (P) Integrali (I) Proporzionali-Integrali (PI) Proporzionali-Derivativi (PD) Proporzionali-Integrali-Derivativi (PID) Introduzione -- 2

3 Rete di anticipo (phase( lead) Funzione di trasferimento: Si assume una rete a guadagno statico unitario Gain db /τ 1/.5.5τ 1/ατ 1 1 ατ τ Spesso α.1 ϕ m = 55 Serve per migliorare il margine di fase Phase deg 4 2 ωm = 1 ( τ α ) ω (rad/sec) ϕ 5 in ω=1/ατ La rete anticipatrice ha due effetti sulla funzione di anello: migliora il margine di fase intorno ad ω m effetto utile aumenta il guadagno per ω > 1/τ effetto collaterale Introduzione -- 3

4 Rete di Anticipo (phase( lead) Formule utili ϕ m α Introduzione -- 4

5 Rete di Anticipo (phase( lead) Effetti sulla f.d.t. di anello Gain db 5-5 cresce ω c Phase deg -1-9 L(s) migliora M F -18 ω (rad/sec) Se si sceglie τ in modo che ω m ω c effetto stabilizzante Introduzione -- 5

6 Rete di Anticipo (phase( lead) Effetti sulla f.d.t. di anello 2 Gain db Phase deg Ingrandita ω (rad/sec) L'aumento di guadagno in ω c si può compensare riducendo il guadagno statico del regolatore prestazioni statiche!!! aggiunta di un polo nell'origine Introduzione -- 6

7 Rete di Anticipo (phase( lead) Effetti sulla f.d.t. di anello Gain db Phase deg /τ 1/ατ La specifica sul M f 9 si può soddisfare qui ω(rad/sec) se si vuole ω c come prima Con la rete di anticipo non si può ottenere M f 9 perché max anticipo è < 9 per imporre ω c occorre G R <<1 Aggiunto polo nell'origine Introduzione -- 7

8 Reti anticipatrici formule di inversione L obiettivo è di identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà (α, τ) al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati NOTA :La rete sfasa in anticipo e amplifica. Quindi la pulsazione di attraversamento desiderata ω c * deve essere >= a quella del sistema esteso e inoltre la fase del sistema esteso per ω = ω c * deve essere minore di -18 o + M f * (M f * margine di fase desiderato). Problema: Dati valori desiderati (M*, φ*,ω c *) (con M* > 1, < φ* < 9 o ) identificare le formule per trovare (α, τ) della rete che alla pulsazione ω = ω c * amplifichi di M* e sfasi di φ* Introduzione -- 8

9 Reti anticipatrici formule di inversione I valori di (α, τ) che garantiscono un amplificazione pari a M* e uno sfasamento φ* (con M* > 1 e < φ* < 9 ) per ω = ω c * sono: infatti ovvero che è equivalente (eguagliando parte reale e parte immaginaria) Introduzione -- 9

10 Reti anticipatrici formule di inversione Attenzione: non tutti gli sfasamenti < φ* < 9 o e le attenuazioni M*>1 possono essere arbitrariamente ottenuti con τ > e < α <1. Infatti mentre è facile verificare che < φ* < 9 o e M* > 1 garantiscono che τ > e α < 1, si ha che 2 Bode Diagram 15 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Introduzione -- 1

11 Reti anticipatrici formule di inversione Progetto mediante formule di inversione: Dati del problema: Sistema esteso G e (s) Pulsazione di attraversamento ω c * e margine di fase M f * Algoritmo per il progetto della rete anticipatrice Step1: Calcolare e (lettura diagramma di Bode) Step2: Calcolare Verificando che (ovvero che ) (ovvero che ) Step3: Calcolare (α, τ) mediante le formule di inversione Introduzione -- 11

12 Reti anticipatrici: code di assestamento La presenza di una coda di assestamento è fisiologica quando si usa una rete anticipatrice La rete contiene uno zero collocato strutturalmente a frequenza inferiore a quella di attraversamento (nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione lo zero fungerà da attrattore per un polo dell impianto) La dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta di quella imposta con la frequenza di attraversamento Se si sono imposti poli complessi coniugati, la coda di assestamento potrebbe essere più corta del tempo di assestamento Introduzione -- 12

13 Reti anticipatrici: progetto per cancellazione Per eliminare la coda di assestamento si può pensare ad un progetto per cancellazione. si colloca lo zero della rete in cancellazione di un polo dell'impianto è opportuno scegliere il polo a frequenza inferiore alla ω c * prescelta più vicino ad essa Poli dell impianto il progetto per cancellazione non è sempre possibile: occorre verificarne la fattibilità lo zero è fissato, resta da valutare l'effetto del polo Introduzione -- 13

14 Reti anticipatrici: progetto per cancellazione Step 1) Fissato Si può valutare lo sfasamento e l amplificazione Step 2) dello zero alla pulsazione. Calcolare l attenuazione desiderata del polo a ω =ω c * e il valore di τ p = ατ che garantisce l attenuazione M p Introduzione -- 14

15 Reti anticipatrici: progetto per cancellazione Step 3) Valutare se lo sfasamento del polo per ω = ω c * risulta essere compatibile con il margine di fase desiderato, ovvero: Step 4) Se sì, si sceglie ατ =τ p, altrimenti provare con un diverso valore di ω c * Introduzione -- 15

16 Rete di Ritardo (phase( lag) Funzione di trasferimento α 1 =.1 α 2 =.5 G r = 1 Gain db /τ 1/α 1 τ 1/α 2 τ 1 1 ατ τ Phase deg Serve per migliorare le prestazioni a bassa frequenza ωm = 1 La rete di ritardo ha due effetti sulla funzione di anello: ( τ α ) ω (rad/sec) ϕ 5 in ω=1/ατ riduce riduce il guadagno per ω>1/ >1/τ effetto utile peggiora il margine di fase intorno ad ω effetto collaterale Introduzione -- 16

17 Rete di Ritardo (phase( lag) Formule utili -ϕ m α Introduzione -- 17

18 Rete di Ritardo (phase( lag) Effetti sulla f.d.t. di anello due possibilità aumento del guadagno in bassa frequenza senza alterare il comportamento in alta frequenza 5 1/ατ G r = 1/α -5 impianto 1/ατ ω c / Introduzione -- 18

19 Rete di Ritardo (phase( lag) Effetti sulla f.d.t. di anello due possibilità riduzione del guadagno in alta frequenza per migliorare il margine di fase si riduce la banda passante impianto G r = 1 τ e ατ maggiori della più grande costante di tempo dell'impianto a parte evidenti cambiamenti di segno sono valide le stesse formule della rete di anticipo Introduzione -- 19

20 Sintesi delle Reti di Ritardo db -2 Impianto + R 1-1 Si sfrutta l attenuazione senza accentuare il ritardo di fase Lo zero si colloca una decade prima della ω c scelta, in modo da non aggiungere ritardo di fase in ω c α si calcola per ottenere l'attenuazione necessaria per imporre ω c ω c ω 1 Attenzione alla coppia polo/zero strutturalmente a frequenza più bassa di quella di taglio coda di assestamento -9 si usa se M F non soddisfacente -18 e ω c < ω 1 Introduzione -- 2

21 Reti ritardatrici formule di inversione L obbiettivo è di identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà (α, τ) al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati NOTA :La rete attenua e sfasa in ritardo. Quindi la pulsazione di attraversamento desiderata ω c * deve essere <= a quella del sistema esteso e inoltre la fase del sistema esteso per ω = ω c * deve essere maggiore di -18 o + M f * (M f * margine di fase desiderato). Problema: Dati valori desiderati (M*, φ*,ω c *) (con < M* < 1, -9 < φ* < o ) identificare le formule per trovare (α, τ) della rete che alla pulsazione ω = ω c * attenui di M* e sfasi di φ* Introduzione -- 21

22 Reti ritardatrice formule di inversione I valori di (α, τ) che garantiscono un attenuazione pari a M* e uno sfasamento φ* (con < M* < 1 e -9 o < φ* < ) per ω = ω c * sono: infatti ovvero che è equivalente (eguagliando parte reale e parte immaginaria) Introduzione -- 22

23 Reti ritardatrici formule di inversione Attenzione: non tutti gli sfasamenti -9 o < φ* < o e le attenuazioni < M* <1 possono essere arbitrariamente ottenuti con τ > e < α <1. Infatti mentre è facile verificare che -9 o < φ* < o e < M* <1 garantiscono che τ > e α < 1, si ha che Bode Diagram -5 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Introduzione -- 23

24 Reti ritardatrici formule di inversione Progetto mediante formule di inversione: Dati del problema: Sistema esteso G e (s) Pulsazione di attraversamento ω c * e margine di fase M f * Algoritmo per il progetto della rete anticipatrice Step1: Calcolare e (lettura diagramma di Bode) Step2: Calcolare Verificando che (ovvero che ) (ovvero che ) Step3: Calcolare (α, τ) mediante le formule di inversione Introduzione -- 24

25 Reti ritardatrici: : progetto per cancellazione Step 1) Fissato Si può valutare lo sfasamento e l amplificazione Step 2) dello zero alla pulsazione. Calcolare l attenuazione desiderata del polo a ω =ω c * e il valore di τ p = ατ che garantisce l attenuazione M p Introduzione -- 25

26 Reti ritardatrici: : progetto per cancellazione Step 3) Valutare se lo sfasamento del polo per ω = ω c * risulta essere compatibile con il margine di fase desiderato, ovvero: Step 4) Se sì, si sceglie τ =τ p, altrimenti provare con un diverso valore di ω c * Introduzione -- 26

27 Rete di Ritardo e Anticipo (lead( lead-lag) Funzione di trasferimento Diagramma di Bode asintotico ατ τ τ Im α τ Re Log G(jω) a Arg[G(jω)] α τ1 τ2 τ1 ατ1 log(w) Unione di rete di ritardo e di rete di anticipo log(w) Consente di aumentare il guadagno in bassa frequenza senza pregiudicare la banda passante ed il margine di fase Introduzione -- 27

28 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa RETI CORRETTRICI FINE Ing. Luigi Biagiotti Tel luigi.biagiotti@unibo.it