Secondo Parziale Fisica Generale T-B

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1 Secondo Parziale Fisica Generale T-B (CdL Ingegneria Civile e Informatica [A-K]) Prof. M. Sioli 20/12/2012 Soluzioni Esercizi Ex. 1 Due fasci di particelle, uno composto da nuclei di elio (m He = kg, q He = C), l altro da nuclei di idrogeno (m H = kg, q H = C), sono generati da una sorgente. I fasci sono diretti con diverse velocità lungo l asse x, attraversano un foro O 1 ed entrano in un selettore di velocità, cioè una regione di spazio in cui sono presenti un campo elettrico E ed un campo di induzione magnetica B 1 tali da far passare senza deviazioni solo le particelle che hanno una determinata velocità v 0 = 10 4 m/s. Il selettore è delimitato da una superficie con un foro O 2 in linea con O 1, oltre la quale è presente un campo di induzione magnetica B 2. a) Calcolare modulo, direzione e verso del campo elettrico E presente nel selettore, sapendo che il campo B 1, di modulo B 1 = 0.2 T, è diretto lungo l asse z; b) calcolare la distanza L tra i punti di impatto dei due fasci sulla superficie dopo l attraversamento del foro O 2, sapendo che il campo B 2, di modulo B 2 = 0.02 T, è anch esso diretto lungo l asse z. 1

2 E B 1 B 2 y Sorgente x O 1 v 0 ΔL O 2 Sol. 1 a) Quando i fasci di particelle entrano nel selettore di velocità, sono soggetti alla forza dovuta al campo elettrico ed alla forza di Lorentz: F = q( E + v B 1 ) Affinchè i nuclei attraversino senza deviazioni e con velocità costante v 0 la regione compresa tra O 1 e O 2, la forza risultante deve essere nulla. Si avrà quindi: F = 0 = E = v 0 B 1 La velocità v 0, diretta lungo l asse x, ed il campo magnetico B 1, diretto lungo l asse z, sono ortogonali, ed il loro prodotto vettoriale è diretto lungo il verso negativo dell asse y. Il campo elettrico E del selettore di velocità risulta dunque: E = v 0 B 1 ĵ = E = V m (avendo considerato il segno negativo per il campo elettrico). b) Passano attraverso il foro O 2 solo i nuclei con velocità v 0. In questa regione i nuclei sono sottoposti alla forza di Lorentz: F 2 = q v 0 B 2 Date le direzioni di v 0 e B 2, tale forza è diretta lungo il verso negativo dell asse y. I nuclei sono deflessi e si muovono di moto circolare uniforme, con raggio di curvatura dato da: r = m v 0 q B 2 La differenza tra i punti di impatto dei nuclei di idrogeno e di elio sulla superficie corrisponde alla differenza tra i diametri delle traiettorie. Il risultato è dunque: ( mhe v 0 L = 2 r = 2 m ) H v 0 = m q He B 2 q H B 2 2

3 Ex. 2 Due barre conduttrici scorrono senza attrito su due binari orizzontali ai quali sono elettricamente connesse con resistenza trascurabile. Le barre sono dotate di resistenza R 1 e = 2/3 R 1. La distanza fra i binari è L = 20 cm, il sistema è immerso in un campo di induzione magnetica uniforme B = 1.6 T, perpendicolare ai binari ed alle barre, uscente dal foglio. Le barre traslano con velocità costante v 1 = 10 m/s e v 2 = 5 m/s. a) Determinare il verso della corrente indotta nel circuito; b) calcolare la resistenza di ciascuna barra, sapendo che la corrente indotta nel circuito è pari a 0.32 A; c) calcolare modulo, direzione e verso della forza che agisce su ogni barra; d) calcolare l energia dissipata sul circuito in un intervallo di tempo di 10 secondi. L v B 2 v 1 Sol. 2 a) Nel circuito circola corrente indotta dalla variazione del flusso di B. La forza elettromotrice indotta è: E ind = d dt Φ( B) = d dt [BL(d + v 1t v 2 t)] = BL(v 1 v 2 ) = 1.6 V avendo fissato arbitrariamente la distanza fra le barre all istante t = 0 pari a d, dato non necessario al fine di svolgere l esercizio. Per il calcolo del flusso, si è imposto il versore positivo concorde con il campo B. Il flusso Φ( B) risulta positivo e sempre crescente: la sua variazione è dunque positiva. Per la legge di Lenz, il campo B ind a sua volta generato dalla corrente indotta contrasta la variazione di Φ( B): la corrente circola in verso orario, tale che il campo B ind sia opposto in verso a B (il verso della corrente è dato dal segno calcolato applicando la legge di Faraday-Neumann-Lenz). 3

4 b) Per trovare il valore della resistenza, si applica la legge delle maglie al circuito formato dalle barre in moto: c) E ind = i(r 1 + ) = i(r R 1) = R 1 = 3 E ind 5 i = 3 Ω; = 2 Ω Tenendo in considerazione il verso di circolazione della corrente, la forza che agisce sulla barra 1 è data da: F 1 = id l B = ilb î con modulo F 1 = N. La forza sulla barra 2 è uguale ed opposta alla forza sulla barra 1: F 2 = id l B = ilb î d) La potenza dissipata sul circuito è W = i 2 R T OT = i 2 (R 1 + ) = W da cui si ricava l energia dissipata in un intervallo di tempo t = 10 s: Ex. 3 U = W t = 5.12 J Il circuito mostrato in figura si trova in regime stazionario con gli interruttori T e P chiusi. Sono note le resistenze R 1 = 30 Ω, = 15 Ω, le induttanze L 1 = 15 mh, L 2 = 30 mh, la capacità C = 10 µf e la forza elettromotrice del generatore E = 10 V. Determinare, considerando il sistema in regime stazionario: a) la potenza dissipata sul circuito; b) l energia immagazzinata nel circuito. 4

5 C P T R 1 L 2 E L 1 Successivamente, gli interruttori T e P sono aperti, come mostrato in figura. c) Cosa succede nel circuito? d) Fornire l espressione della corrente durante il fenomeno transitorio e determinare il valore finale della corrente una volta raggiunto nuovamente il regime stazionario (t ). C P T R 1 L 2 E L 1 Sol. 3 a) In regime stazionario, nel circuito circola corrente sulle due resistenze R 1 e, le induttanze si comportano come fili con resistenza trascurabile e nel ramo che contiene il condensatore non circola corrente. La dissipazione di potenza si ha sulle resistenze R 1 ed, che sono in parallelo e quindi equivalenti alla resistenza R 12 : R 12 = R 1 R 1 + = 10 Ω 5

6 Attraverso la resistenza equivalente R 12 circola una corrente i = E/R 12 = 1 A. La potenza dissipata sulla resistenza R 12 è: b) W tot = i 2 R 12 = E2 R 12 = 10 W L energia immagazzinata nel circuito è data dall energia spesa per caricare il condensatore e per far circolare corrente nelle induttanze. Il condensatore C è carico e la d.d.p. ai suoi capi è pari alla forza elettromotrice (f.e.m.) E = 10 V. L energia complessiva accumulata vale c) U tot = U M + U E = 1 2 (L 1 + L 2 ) i E2 C = = ( ) J = J Quando gli interruttori T e P si aprono, il condensatore (che rimane carico) e la resistenza R 1 sono sconnessi dal circuito. Rimane la maglia formata dalla resistenza in serie con le due induttanze L 1 e L 2 alimentata dal generatore E. C è dunque un cambiamento rispetto al regime precedente, in quanto la resistenza connessa alle induttanze ora è solo. Si tratta di un circuito RL con una differente costante di tempo: τ = L T = L 1+L 2 = 3 ms. d) La corrente in un circuito RL dopo la chiusura sulle induttanze ha un andamento esponenziale: i(t) = E (1 e t τ ) che cresce fino a raggiungere il valore finale in regime stazionario i = E = A. 6