STATISTICA CORSO BASE. Prova scritta del Tempo: 2 ore Cognome e Nome:... Matricola:...

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1 STATISTICA CORSO BASE. Prova scritta del Tempo: 2 ore Cognome e Nome: Matricola: Attenzione: Prima di affrontare la prova si consiglia di leggere attentamente le note che seguono. Indicare cognome e nome (in stampatello e senza cancellature) Verrà corretto solo l elaborato contenuto in questi fogli. Alla consegna, allegare comunque la brutta copia. Non è consentita la consultazione di libri o appunti personali ma solo del formulario fornito dal docente Tenere spenti i telefoni cellulari. Il loro utilizzo non è consentito pena l esclusione dalla prova. Per ogni domanda a risposta multipla sono previste tre possibili risposte di cui una sola è corretta. Per fornire la risposta ad una domanda barrare la casella corrispondente alla risposta prescelta. Nel caso di correzioni, fare in modo che sia chiaro quale sia la risposta finale. Il punteggio assegnato ad ogni quesito è : 1 se si indica la risposta corretta, 0.5 se si indica la risposta errata, 0 se non si fornisce risposta. Se un candidato ritiene che ci sia un errore ed in particolare che nessuna delle tre alternative disponibili risponda al quesito posto, può aggiungere la risposta corretta opportunamente motivata. Nelle altre domande, quelle aperte, fornire, oltre al risultato, anche la spiegazione della procedura adottata. Esercizio 1. 8 punti La seguente tabella riporta la distribuzione in classi della variabile reddito annuo lordo per i lavoratori di una data azienda. Gli estremi delle classi sono in migliaia di Euro. Classe di reddito Frequenza [0, 20) 30 [20, 40) 180 [40, 60) 200 [60, 100) 20 [100, 200) 5 Il valore 100 nell ultima riga rappresenta una modalità una frequenza una unità statistica La precedente tabella rappresenta una tabella di contingenza una distribuzione di frequenze relative una distribuzione di frequenze assolute Rappresentare graficamente la distribuzione sopra riportata

2 Calcolare il valore medio della variabile reddito Calcolare la varianza della variabile reddito Individuare la classe dove cade la mediana della distribuzione Qual è la frequenza relativa osservata dei dipendenti con un reddito inferiore ai Euro Supponendo che la distribuzione precedente possa essere approssimata da una variabile Normale, qual è la probabilità che un dipendente dell azienda abbia un reddito superiore ai Euro. Esercizio 2. 8 punti Consideriamo il seguente esperimento casuale. Supponiamo di avere due dadi. Il primo dado ha 4 facce rosse e 2 nere nere. Il secondo ha 5 facce rosse e una nera. Si lancia una moneta due volte. Se esce testa entrambe le volte si lancia il primo dado, altrimenti si lancia il secondo dado. Calcolare la probabilità che il lancio della moneta abbia dato testa entrambe le volte e che il lancio del dado abbia prodotto una faccia nera Calcolare la probabilità che il lancio del dado abbia prodotto una faccia nera Calcolare la probabilità che il lancio della moneta abbia dato due volte testa sapendo che il lancio del dado ha prodotto una faccia rossa Supponiamo ora di ripetere l esperimento 10 volte. Calcolare la probabilità di ottenere una faccia rossa almeno 9 volte Supponiamo ora di ripetere l esperimento 1000 volte. Calcolare la probabilità di ottenere una faccia rossa almeno 810 volte

3 Esercizio 3. 9 punti Ad un campione di 200 studenti laureati della sede di Latina della Sapienza, che ad un anno dalla laurea magistrale avevano trovato un lavoro, anche a tempo determinato, è stato chiesto a quanto ammontava lo stipendio mensile netto e quale era la Facoltà di provenienza I risultati sono sintetizzati nella seguente tabella Economia Ingegneria Medicina Numerosità n Media x s.d s Stabilire se lo stipendio medio dei laurati in medicina è maggiore dello stipendio medio dei laureati in ingegneria. Riportare il sistema di ipotesi, il valore della statistica tests e verificare il sistema di ipotesi ad un livello di significatività dell 1%. Calcolare la media generale dello stipendio dei tre gruppi di laureati Calcolare la media dei quadrati tra gruppi di laureati (ovvero la varianza delle medie dei gruppi) Calcolare la media dei quadrati degli errori (ovvero una stima della variabilità complessiva all interno dei tre gruppi) Calcolare la statistica F per verificare l ipotesi nulla di uguaglianza tra gli stipendi medi dei tre gruppi di laureati Calcolare il P-value e stabilire se l ipotesi precedente può essre rifiutata ad un livello del 5%

4 Esercizio 4. 8 punti In uno studio condotto su 25 laureati è stata analizzata la relazione tra il voto di laurea (variabile Y ) e il voto all esame di matematica corso base (variabile X. I risultati hanno dato luogo alle seguenti statistiche r = 0.65, x = 23 ȳ = 100 s x = 4 e s y = 12. Supponiamo che la lode corrisponda ad un voto di 113 Determinare l equazione della retta di regressione dei minimi quadrati per le variabili X e Y sopra definite Sulla base del modello stimato, qual è il voto di laurea medio per uno studente che ha preso 28 a matematica corso base Supponendo che il valore della statistica test t per verificare l ipotesi nulla di assenza di relazione tra le variabili X e Y sia pari a 2, calcolare l errore standard della stima di β, l errore standard dei residui e stabilire se l ipotesi di assenza di relazione può essere rifiutata ad un livello α = 0.05 Considerando i valori degli errore standard ottenuti al punto precedente, calcolare l intervallo di confidenza al 95% per il coefficiente angolare β del modello di regressione e l intervallo predittivo al 95% per il voto di laurea di uno studente che ha preso 23 all esame di matematica Calcolare quanta parte della variabilità del voto di laurea è spiegata dalla regressione rispetto al voto in matematica. Volendo stimare il tuo voto di laurea alla luce del tuo voto in matematica, ti fideresti della stima proposta dal modello analizzato in questo esercizio?

5 Riportare eventuali calcoli su questo foglio

6 Riportare eventauli calcoli su questo foglio