Algebra e circuiti elettronici

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1 Algebra e circuiti elettronici I computer operano con segnali elettrici con valori di potenziale discreti Sono considerati significativi soltanto due potenziali (high/ low); i potenziali intermedi, che si verificano durante le transizioni di potenziale, non vengono considerati L aritmetica binaria è stata adottata proprio perché i bit sono rappresentabili naturalmente tramite elementi elettronici in cui siamo in grado di distinguere i 2 stati del potenziale elettrico (high/low)

2 Segnale binario

3 Algebra e circuiti elettronici Il funzionamento dei circuiti elettronici può essere modellato tramite l Algebra di Boole solo 2 valori: valore logico True (1 o asserted) livello di potenziale alto valore logico Falso (0 o deasserted) livello di potenziale basso operazioni logiche Booleane: somma (OR), prodotto (AND) e inversione (NOT) logica OR (A+B): risultato uguale ad 1 (true) se almeno un input è 1 (true) AND (A B): risultato uguale ad 1 (true) solo se tutti gli input sono 1 (true) NOT (~A): risultato uguale all inverso dell input (0 1 oppure 1 0)

4 Blocco logico circuito elettronico con linee (fili) in input e output possiamo associare variabili logiche con le varie linee in input/output i valori che le variabili possono assumere sono quelli dell Algebra di Boole I0 I1 blocco logico O0 O1 il circuito calcola una o più funzioni logiche, ciascuna esprimibile tramite una combinazione di operazioni dell Algebra di Boole sulle variabili in input Circuito combinatorio senza elementi di memoria - produce output che dipende funzionalmente solo dall input Circuito sequenziale con elementi di memoria - produce output che dipende non solo dall input ma anche dallo stato della memoria

5 Tabelle di verità Una funzione logica è completamente specificata tramite la sua tabella di verità Dati n input bit, il numero di configurazioni possibili degli input, ovvero il numero di righe della tabella di verità, è 2 n per ogni bit in output, la tabella contiene una colonna, con un valore definito per ognuna delle combinazioni dei bit in input A B C D E

6 Equazioni logiche Una funzione logica completamente specificata tramite una equazione logica dell algebra di Boole Esempio: E = ~A~BC + AB~C bit in input e output rappresentati tramite variabili logiche (con valori 0 o 1) input combinati tramite le operazioni di somma (OR), prodotto (AND) e complementazione (NOT) logica dell algebra di Boole Proprietà Identità: A+0=A A 1=A Nullo: A+1=1 A 0=0 Idempotente: A+A=A A A=A Inverso: A+(~A)=1 A (~A)=0 Commutativa: A+B=B+A A B=B A Associativa: A+(B+C)=(A+B)+C A (B C)=(A B) C Distributiva: A (B+C)=(A B)+(A C) A+(B C)=(A+B) (A+C) DeMorgan: ~(A+B)=(~A) (~B) ~(A B)=(~A)+(~B)

7 Funzioni e tabelle AND, OR, NOT OR (A+B): risultato uguale ad 1 (true) se almeno un input è 1 (true) AND (A B): risultato uguale ad 1 (true) solo se tutti gli input sono 1 (true) NOT (~A): risultato uguale all inverso dell input (0 1 oppure 1 0)

8 Circuti AND, OR, NOT Porte logiche AND OR NOT AB C Esempio E = ~((AB) + (~BC)) E

9 NAND e NOR NAND (AND con uscita negata): ~(A B) NOR (OR con uscita negata): ~(A+B) Si può dimostrare che le operazioni NAND o NOR (e le corrispondenti porte) sono sufficienti per implementare qualsiasi funzione logica

10 Sintesi di circuiti combinatori Ogni funzione logica può essere rappresentata come equazione logica o come tabella di verità Data una tabella di verità o una equazione logica, come si sintetizza il circuito combinatorio che la implementa? Ogni equazione logica può essere scritta in forma canonica tramite l uso degli operatori AND, OR e NOT Forma canonica SP (somma di prodotti) Primo livello AND, secondo livello OR Forma canonica PS (prodotto di somme) Primo livello OR, secondo livello AND Esistono tecniche per minimizzare il numero di porte: Mappe di Karnaugh Algoritmo di Quine McCluskey

11 Esercizio Dati tre ingressi A, B, C realizzare un circuito che fornisca in uscita tre segnali: D è vera se almeno uno degli ingressi è vero E è vera se esattamente due input sono veri F è vera se tutti e tre gli input sono veri Intuitivamente le equazioni sono: D = A + B + C F = ABC E = ( AB + BC + AC) (ABC)

12 Esercizio Dati tre ingressi A, B, C realizzare un circuito che fornisca in uscita tre segnali: D è vera se almeno uno degli ingressi è vero E è vera se esattamente due input sono veri F è vera se tutti e tre gli input sono veri A B C D E F

13 Esercizio Dati tre ingressi A, B, C realizzare un circuito che fornisca in uscita tre segnali: D è vera se almeno uno degli ingressi è vero E è vera se esattamente due input sono veri F è vera se tutti e tre gli input sono veri A B C D E F Prodotto di somme D = (A + B + C)

14 Esercizio Dati tre ingressi A, B, C realizzare un circuito che fornisca in uscita tre segnali: D è vera se almeno uno degli ingressi è vero E è vera se esattamente due input sono veri F è vera se tutti e tre gli input sono veri A B C D E F Prodotto di somme E = (A+B+C) (A+B+ C) (A+ B+C) ( A+B+C) ( A+ B+ C)

15 Esercizio Dati tre ingressi A, B, C realizzare un circuito che fornisca in uscita tre segnali: D è vera se almeno uno degli ingressi è vero E è vera se esattamente due input sono veri F è vera se tutti e tre gli input sono veri A B C D E F Prodotto di somme F = (A+B+C) (A+B+ C) (A+ B+C) (A+ B+ C)( A+B+C) ( A+B+ C)( A+ B+C)

16 Esercizio Dati tre ingressi A, B, C realizzare un circuito che fornisca in uscita tre segnali: D è vera se almeno uno degli ingressi è vero E è vera se esattamente due input sono veri F è vera se tutti e tre gli input sono veri A B C D E F Somma di prodotti D = ( A BC)+( AB C)+( ABC)+ (A B C)+(A BC)+(AB C)+(ABC) E = ( ABC)+(A BC)+(AB C) F = ABC

17 Esercizio E = ( ABC)+(A BC)+(AB C) AB C E

18 PLA La rappresentazione SP corrisponde a una comune implementazione chiamata Array a Logica Programmabile Ha 2 livelli di logica un array di porte AND (input termini prodotto) un array di porte OR (termini prodotto output) Esempio:

19 Decoder Circuito combinatorio con n input e 2 n output Traduce gli n bit di input nell equivalente valore binario, e abilita a 1 l uscita corrispondente, mentre le altre uscite sono disabilitate a 0 Esiste anche l encoder, che esegue l operazione inversa Esempio di un decoder a 3 bit:

20 Multiplexer Due insiemi di input n input dati log2 n input selettori L output corrisponde al valore del dato di input selezionato dai valori dei selettori di input Multiplexer 2 a 1 (a 1 bit) e sua implementazione Multiplexer 2 a 1 (a 32 bit) e sua implementazione