Matematica e statistica Versione didascalica: parte 1

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1 Matematica e statistica Versione iascalica: parte 1 Sito web el corso Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università i Trieste inverniz@units.it

2 2. Derivata e integrale

3 2.1. Il problema elle tangenti La retta tangente al grafico i una funzione f in un punto P ( 0, f( 0)) è una retta che passa per P, e che assumeremo non verticale (ossia non parallela all asse y) ha quini equazione (retta per un punto, in rosso le variabili)) y f( ) + a( ) 0 0 ove il numero a è la penenza. La penenza a ella retta tangente al grafico i una funzione f in un punto (, y) è la erivata ella funzione f nel punto (la ascissa el punto i tangenza). Ma: Cosa è la retta tangente al grafico i una funzione f in un punto?

4 2.2. La erivata in un punto Il conteggio elle intersezioni non ientifica la retta tangente (elle rette che passano per il punto inicato la tangente è l unica che ha infinite intersezioni con la curva)

5 (continua) A proposito ell espressione ue punti coincienti : Due euro Due euro coicienti

6 L iea ello zoom Visione microscopica: (si leggano bene le coorinate, finestra larga 0.002, alta ): la curva blu si confone graficamente con la retta rossa.

7 Intuitivamente: la retta tangente al grafico i una funzione f in un suo punto P èquellaretta che, in una visione microscopica centrata nel punto P, è praticamente inistinguibile al grafico ella funzione.

8 f '( ) Simbologia per la erivata Notazione i Lagrange: la erivata ella funzione y f () nel punto si inica con [si legge: effe-primo-i-ics ] Notazione i Leibniz: la erivata ella funzione y f () nel punto si inica con y [si legge: i-ipsilon-su-i-ics ] La notazione i Leibniz è preferibile quano la funzione non ha un nome, ma è inicata solo a una formula, per esempio: 2 ( ) 2 ( )

9 Calcolo numerico ella erivata Formula ei tre punti (o ella ifferenza centrale) f '( ) f ( + h) f ( h) 2h Valori tipici per il passo: h 0.01, h In termini multiscala: il sistema ha una scala macroscopica in cui la granezza caratteristica ha imensione 1, e una scala microscopica (ove la curva si confone con la retta tangente) in cui le imensioni tipiche hanno un orine i granezza inferiore, come h 0.01, h Una ulteriore analoga iminuizione egli orini i granezza porta a imensioni fisiche non valutabili, per cui a esempio h² 0.

10 Rappresentazione grafica ella formula ei tre punti f '( ) f ( + h) f ( h) 2h

11 Il quoziente i Newton Se è possibile calcolare f sia nei tre punti, +h e -h si usa l approssimazione ei tre punti: f '( ) f ( + h) f ( h) 2h Se interessa o è possibile calcolare f solo nei ue punti, e +h (con h > 0) si usa il quoziente i Newton estro f '( ) f ( + h) f ( ) h Se interessa o è possibile calcolare f solo nei ue punti -h, e (con h > 0) si usa il quoziente i Newton sinistro f '( ) f ( ) f ( h)

12 La erivata come rate of change, I Una granezza X varia nel tempo t secono una legge X X(t). All istante to la granezza vale Xo. L unità i tempo è così piccola che la granezza ha solo variazioni microscopiche in un unità i tempo. Quini esseno interessati al futuro useremo il quoziente i Newton (estro) X '( t ) X( t + 1) X( t ) a erivata X (to) è una stima i quanto cresce in assoluto la granezza in una (brevissima!) unità i tempo a partire all istante to, e è per efinizione la velocità i crescita (istantanea) all istante to

13 La erivata come rate of change, II Una granezza X varia nel tempo t secono una legge X X(t). All istante to la granezza vale Xo. Nell unità i tempo la granezza ha variazioni macroscopiche Però in un intervallo i h [unità i tempo] << 1 la granezza ha solo variazioni microscopiche Quoziente i Newton (estro): hx '( t0) X ( t0 + h) X ( t0) Il prootto hx (to) è una stima i quanto cresce in assoluto la granezza X in h unità i tempo (un tempo brevissimo) a partire all istante to. La erivatax (to) hx (to) / h è una stima i quanto crescerebbe in assoluto la granezza X in 1 unità i tempo (un tempo lungo) se la velocità fosse sempre la stessa per tutta la (lunga) unità i tempo.

14 Il grafico el ROC / NYSE usa in ascissa come unità i misura el tempo 1 1 anno, e tipicamente come passo 6 o 10 gg, ossia h [anni] oppure [anni]. In orinata 1 Year Rate of Return, ossia quanto renerebbe un capitale se la velocità i crescita fosse sempre la stessa per tutto l anno uguale a quella rilevata alla ata in ascissa

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16 Derivata e tassi, I Il rapporto X (to) / X(to) è una stima i quanto cresce in percentuale a granezza X in un unità i tempo (assunta breve) a partire al empo to, e è etto tasso i crescita X '( t0) X( t0 + 1) X( t0) Xt ( ) Xt ( ) 0 0 Una popolazione ha nel 2001 tasso i natalità el 0.18% annuo: All anno to 2001, ci sono X(to) 42,136,500 iniviui. X (to) / X(to) X (to) / 42,136, % 0.18/ X (to) 42,136, ,457 iniviui/anno All anno to , sono stimati 42,136, ,457 42,894,957 iniviui

17 Derivata e tassi, II Nelle applicazioni (assumeno sempre breve l unità i tempo) il asso i crescita X (to) / X(to) si valuta rapportano la variazione ella granezza alla meia aritmetica ei valori ella granezza ll inizio e alla fine el perioo [to, to + 1] consierato X '( t0) X( t0 + 1) X( t0) Xt ( ) [ Xt ( ) + Xt ( + 1)]

18 2.3. La erivata come funzione Se il grafico i y f () ha la tangente in ogni punto, si ice che la funzione f è erivabile. Se la funzione f è erivabile possiamo associare a ogni ascissa (ammissibile) la penenza ella retta tangente al grafico i f nel punto (, f ()), ossia la erivata f '(). Abbiamo una funzione f ', etta la erivata (prima) i f

19 2.4. Derivata i alcune funzioni base Calcoliamo la erivata i alcune funzioni i base efinite esplicitamente a una formula (lo zoo). Se fosse necessario istinguere la variabile ella funzione alla variabile ella erivata, inicheremo con o l ascissa in cui viene calcolata la erivata.

20 Derivata i 2 f ( ) a + b+ c 2 ( + + ) a b c a( + h) + b( + h) + c a( h) b( h) c 2h a + a h+ h + b + bh+ c a + a h h b + bh c 2h 4a0h+ 2bh 2h 2a 0 + b

21 Derivata i f()1/ f( ) 1/ f h 2 '( 0 0 ) h 0 h +h h h 2h [1/ ] 1 2 /

22 2.4.3 Derivata ell esponenziale Funzione esponenziale i base a (a > 0, a 1): f ( ) f( ) 2 [2 ] 0 0+ h 0 h (2 2 )/(2 h) 0 h 0 h (2 2 2 / 2 )/(2 h) 0 h h 2 (2 2 )/(2 h) [ 2] a

23 Derivata i f () 5 f( ) 5 [5 ] 0 0 h 0 h (5 5 5 / 5 ) /(2 0 h h 5 (5 5 )/ [5 ] 0+ h 0 h (5 5 ) /(2 h) 0 (2 h) h)

24 f( ) [ e ] 0+ h 0 h ( )/(2 ) 0 h 0 h ( / )/(2 ) 0 h h e e h ( e )/( 2 ) [ e ] e e e h e e e e h e e Derivata i f () e e Numero i Nepero NAPIER John ( )

25 L esponenziale i base e è l unica a avere tangente nel punto (0, 1) inclinata i 45 (i equazione y + 1): veasi lo zoom. Le altre ue esponenziali raffigurate hanno base 2 e base 5

26 Il grafico i y ep() cresce così rapiamente a essere rappresentabile nel isplay con ifficoltà: per rappresentarlo fino a 5 occorre una scala imetrica con rapporto 1:10 fra le orinate e le ascisse (cioé nella figura la unità i misura sull'asse elle orinate è 1/10 ell'unità i misura sull'asse elle ascisse):

27 Derivata el seno Nel grafico il seno sin() e la sua erivata numerica a h.00 che ifferisce (in v.a.) a cosen al ma i ^(-7) In effetti si prova che: sin( ) cos( )

28 Derivata el coseno Nel grafico il coseno cos() e la sua erivata numerica a h.00 che ifferisce (in v.a.) a -seno al massimo i ^(-7) In effetti si prova che: cos( ) sin( )

29 Derivata el seno con in grai Se si misurano gli angoli in gra il seno, la funzione sin( in grai viene molto appiattita e la sua erivata iventa cos( in grai) La misura in raianti rene 1 il coefficiente.

30 Derivata el seno con in giri Se si misurano gli angoli in giri il seno, la funzione sin( in giri), viene compressa come una molla e la sua erivata iventa cos( in giri) La misura in raianti rene 1 il coefficiente.

31 Perché e e perché π La scelta i e come base per gli esponenziali e la scelta i π come base per le funzioni circolari consente i avere tutte semplificate le formule elle erivate con alore 1 el coefficiente i proporzionalità

32 2.5. Regole i erivazione Calcoliamo la erivata i funzioni costruite con operazioni i base (aizione, moltiplicazione,...) a partire a ingreienti (aeni, fattori,...) erivabili. Se fosse necessario istinguere la variabile ella funzione alla variabile ella erivata, inicheremo con o l ascissa in cui viene calcolata la erivata.

33 Derivata ella somma i ue funzioni f( ) f( ) + f '( )( ) g ( ) g ( ) + g'( )( ) [ f( ) + g( )] [ f( ) + g( )] + [ f '( ) + g'( )]( 0 0 [ f( ) + g( )] f '( ) + g'( )

34 Derivata el prootto i ue funzioni f( ) f( ) + f '( )( ) g ( ) g ( ) + g'( )( ) [ f( ) g( )] [ f( ) g( )] + [ f( ) g'( ) + f '( ) g( )]( ) f '( ) g'( )( ) [ { + 2 f '( ) g'( )( 0 2 f( ) g( )] [ f( ) g'( ) + f ) } 0 0 '( ) g( )] 0

35 Derivata ella funzione composta Nella funzione g composto f agisce prima f e poi agisce g La composizione non è commutativa La composta ella retta z cy+ con la retta y a+b è la retta z c (a + b ) + ca + (cb + ) Nel caso i ue rette, la penenza ella composta è il prootto elle penenze.

36 Derivata ella funzione composta y f( ) f( ) + f '( )( ) y + a( ) z g( y) g( y ) + g'( y )( y y ) g( f( )) g( y ) + g'( y )( y y ) g( f( )) + c( y + a( ) y ) g( f( )) + ca( ) [ y 0 0 f( ), a f '( ), c g'( y )] [ g( f( ))] g'( f( )) f '( )

37 Derivata i 1/q() g( y) 1/ y 1/ q ( ) g( q ( )) [1/ q ( )] [ g'( q( )) q'( )] 1 [ q( )] q'( ) ) 2 [ q'( )/ q ( ] 0 0

38 Derivata i p()/q() p ( ) p ( ) 1 q ( ) q ( ) p ( ) q ( ) 1 p 1 q ( ) q ( ) [ ] p'( ) + ( ) [ ] 1 q'( ) p'( ) q ( ) p ( ) q'( ) + p 2 2 q ( ) [ q( ) ] [ q ( )] p'( ) ( )

39 Tabella i erivazione, I [ + ] a b a 2 [ ] a + b + c 2a + b [ ] k / k / [ ] 2 g( f ( )) g'( f ( )) f '( ) [ ] f ( ) + g( ) f '( ) + g'( ) [ ] [ f ( ) g( ) f '( ) g( )] + [ f ( ) g '( )] [ ] k g( ) g'( )] p ( ) [ p'( ) q ( )] [ p ( ) q'( )] q ( ) [ q ( )] 2 [ ] k

40 Derivata ella funzione inversa 1 f( f ( )) 1 f( f ( )) 1 1 f '( f ( )) [ f ]'( ) 1 f 1 [ ]'( ) 1 f f 1 '( ( ))

41 () f 1 ( y)...?... La penenza ella retta rossa è 1/(penenza ella retta blu)

42 y f( ) y f 1 ( y) La funzione inversa: qui: f() 1+ + f ( y)...?...

43 È possibile imostrare che qui la funzione inversa è (nella variabile ): 1 ( )

44 2.5.6.a. Derivata el logaritmo f( ) ep( ) e f '( ) ep( ) e ( ) ln( ) 1 f 1 [ ]( ) f ln( ) 1 1 f '( f ( )) 1 1 ep(ln( ))

45 Il grafico i y ln() cresce cosi' lentamente a essere rappresentabil nel isplay con ifficoltà: veiamone i valori fino a 100 in scala isometrica (rapporto 1:1 fra orinate e ascisse): Lo stesso grafico in scala imetrica (espaniamo le orinate i un fattore 10):

46 2.5.6.b. Derivata elle potenze f( ) e e a a ln( ) aln( ) aln( ) a /2 1/2 1 (1 / 2) e ( aln( ) ) a 2 3 a a a 1

47 2.5.6.c. Derivata egli esponenziali f( ) a e e a ln( a ) ln( a) ln( a) e ( ln( a) ) a ln( a) 2 2 ln(2) ln(5) ln( ) e 1. e

48 Tangente e arcotangente f ( ) tan( ) tan ( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( )[ sin( )] cos( ) 2 [cos( )] 2 2 [cos( )] + [sin( )] tan 1 + [tan ] ( ) ( ) [cos( )] [cos( )] 2 1 f ( ) arctan( ) arctan( )

49 Tabella i erivazione, II 1 1 [ f ] '( ) 1 f '( f ( )) e ln( ) a a log ( ) a e a a 1 a 1 ln( a) 1 ln( a) 1 1 sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) ( ( sin) ( ) cos( ) cos) ( ) sin( )

50 2.6. Derivate i orine superiore Derivano... la erivata (prima) f '() i f ()... La erivata i f '() è f "(), la erivata secona i f () La erivata i f "() è f "'(), la erivata terza i f () La erivata i f "'() è f (4) (), la erivata quarta i f () La erivata i f (4) () è f (5) (), la erivata quinta i f ()... La erivata secona i f () può essere approssimata usano tre volte la formula ei tre punti: f "( ) f ( + 2 h) 2 f ( ) + f ( 2 h) 4h2