ESAME di OTTIMIZZAZIONE - Compito A Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale 2 o anno

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1 ESAME di OTTIMIZZAZIONE 7 aprile 006 ESAME di OTTIMIZZAZIONE - Compito A Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale o anno Cognome : Nome : VALUTAZIONE Per gli esercizi,,3,4: ogni risposta CORRETTA vale + PUNTO e ogni risposta SBAGLIATA vale -0.5 PUNTI (VALORE NEGATIVO), nessuna risposta vale 0 PUNTI. Per gli esercizi 5,6,7: ogni risposta CORRETTA vale 0,5 PUNTI e ogni risposta SBAGLIATA vale -0.5 PUNTI (VALORE NEGATIVO), nessuna risposta vale 0 PUNTI. Esercizio. (Punteggio massimo = 5) Sia dato il problema di ottimizzazione non vincolato: 4 3 x3 x x x 3 + x + x x 3 + x + 4x. Il punto (, 5, 3) T soddisfa le condizioni necessarie del primo ordine.. Il punto (, 5, 3) T è un punto di imo locale. 3. L approssimazione quadratica nell intorno del punto x 0 = (0, 0, ) T ammette un unico punto di imo. 4. Il passo α = soddisfa una ricerca di linea di Armijo lungo la direzione del metodo del 0 gradiente nel punto x 0 = (, 0, 3) T (valore di γ = ). 5. La direzione di Newton nel punto x 0 = (0, 0, ) T è d = (, 0, ) T.

2 Esercizio (Punteggio massimo = 5) Dato il problema di programmazione non lineare vincolato max x x + x x + (x ). Il problema è convesso. ( ) 0. Il punto è un punto di NON regolarità per i vincoli 0 3. Il punto 4. Il punto ( 3 ( 3 ) ) soddisfa con opportuni moltiplicatori le condizioni di KKT. NON è l unico punto di KKT. 5. Se nel secondo vincolo il membro di destra varia da a + ɛ con ɛ > 0 abbastanza piccolo la soluzione ottima NON migliora. Esercizio 3. (Punteggio massimo = 5) Sia dato il problema di Programmazione lineare (P) max x + x x + x x x 3 x 4, x 0. Si indichi con x la soluzione ottima di tale problema (se esiste).. Il problema u + 3u + 4u 3 u + u u u + u 3 = u 0, u 0, u 3 0 corrisponde ad un possibile problema duale per (P).

3 . Il problema u + 3u + 4u 3 u + u u u + u 3 u 0 corrisponde ad un possibile problema duale per (P). 3. I punti x = (, ) T e ū = (0,, ) T sono ammissibili rispettivamente per il problema primale e per il duale e risulta 4 c T x. N.B. Considerare il problema primale nella forma di max corrispondente al duale del punto 4. Il problema duale non può essere illimitato inferiormente 5. Il punto x = (7, 4) T è ottimo per il problema primale. Esercizio 4. (Punteggio massimo = 3)Sia dato il seguente problema di programmazione quadratica: N N N (y i y j x i x j q ij ) x k x i= j= k= N y i x i = 0 i= x i 0, i =,..., N x i C i, i =,..., N () dove x i sono variabili, mentre y i, q ij e C i sono parametri del problema.. Una possibile dichiarazione delle variabili e dei parametri del problema in AMPL è la seguente: param N; param y{..n}; param C{..N}; param q{..n,..n}; var x{..n};

4 imize obiettivo: sum{i in..n}(sum{j in..n } (y[i]*y[j]*x[i]*x[j]*q[i,j]- x[j]);. Una possibile dichiarazione della funzione obiettivo in AMPL è la seguente: 3. Una possibile dichiarazione dei vincoli del problema in AMPL è la seguente: subj to uguaglianza {i in..n}: y[i]*x[i]=0; subj to box{i in..n}: x[i]>=0; subj to box{i in..n}:x[i]<=c[i]; Esercizio 5. (Punteggio massimo = ) Dato un problema (P) di imizzazione non vincolata di una funzione f(x) del tipo R n xt Qx + x. con Q matrice simmetrica n n semidefinita positiva.. Se x è un punto tale che f( x) = 0, allora x è un imo.. La funzione è quadratica e coerciva. 3. La funzione è strettamente convessa. 4. Il metodo del gradiente coniugato detera il imo della funzione in al più n passi. Esercizio 6. (Punteggio massimo = ) Dato un problema di programmazione non lineare vincolato f(x) g(x) 0 Ax = b con f : R n R, g : R n R m, A matrice p n.. Se f(x) è convessa e g i (x) sono convesse per ogni i =,..., m allora il problema è convesso.

5 . È possibile definire una funzione di pensalità interna per il problema dato. 3. Sia x un punto ammissibile regolare. Se soddisfa le condizioni di KKT, allora x è un imo locale. 4. L insieme ammissibile è regolare. Esercizio 7. (Punteggio massimo = ) Sia dato un problema di Programmazione lineare c T x Ax b x 0 (P ) con A matrice m n e x R n e si indichi con x la soluzione ottima, se esiste.. Le variabili duali sono m tutte vincolate ad essere non negative.. Se il problema duale ammette soluzione ottima finita u, allora esiste una soluzione ammissibile x del problema primale (P) tale che c T x = b T u. 3. Se ū R m è un punto tale che A T ū c e ū 0, allora b T ū c T x. 4. Se il problema primale è illimitato, allora il problema duale deve avere insieme ammissibile vuoto.

6 ESAME di OTTIMIZZAZIONE 7 aprile 006 ESAME di OTTIMIZZAZIONE - Compito B Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale o anno Cognome : Nome : VALUTAZIONE Per gli esercizi,,3,4: ogni risposta CORRETTA vale PUNTO e ogni risposta SBAGLIATA vale -0.5 PUNTI (VALORE NEGATIVO), nessuna risposta vale 0 PUNTI. Per gli esercizi 5,6,7: ogni risposta CORRETTA vale 0,5 PUNTI e ogni risposta SBAGLIATA vale -0.5 PUNTI (VALORE NEGATIVO), nessuna risposta vale 0 PUNTI. Esercizio. (Punteggio massimo = 5) Sia dato il problema di ottimizzazione non vincolato: 4 3 x3 x x x x + x x 3 + x + x. Il punto (, 0, 3) T soddisfa le condizioni necessarie del primo ordine.. Il punto (, 0, 3) T soddisfa le condizioni sufficienti del secondo ordine. 3. L approssimazione quadratica nell intorno del punto x 0 = (, 0, 0) T è strettamente convessa. 4. Il passo α = soddisfa una ricerca di linea di Armijo lungo la direzione del metodo del 5 gradiente nel punto x 0 = (, 0, 3) T (valore di γ = ) La direzione di Newton nel punto x 0 = (, 0, 0) T è d = (,, ) T.

7 Esercizio (Punteggio massimo = 5) Dato il problema di programmazione non lineare vincolato max x x + x x + (x ). Il problema è convesso. ( ) 0. Il punto è un punto di NON regolarità per i vincoli 0 ) 3. Il punto 4. Nel punto ( 3 ( 0 ) soddisfa con opportuni moltiplicatori le condizioni di KKT. è soddisfatta la condizione di stretta complementarità. 5. Se nel secondo vincolo il membro di destra varia da a + ɛ con ɛ > 0 abbastanza piccolo la soluzione ottima NON migliora. Esercizio 3. (Punteggio massimo = 5) Sia dato il problema di Programmazione lineare (P) x + x x + x x x 3 x 4, x 0. Si indichi con x la soluzione ottima di tale problema (se esiste).. Il problema max u 3u 4u 3 u u u + u u 3 = u 0, u 0, u 3 0 corrisponde ad un possibile problema duale per (P).

8 . Il problema max u 3u 4u 3 u u u + u u 3 = u 0. corrisponde ad un possibile problema duale per (P). 3. I punti x = (0, ) T e ū = (,, ) T sono ammissibili rispettivamente per il problema primale e per il duale e risulta 9 b T u. 4. Il problema primale non può essere illimitato inferiormente 5. Il punto u = (, 0, 0)T è ottimo per il problema duale. Esercizio 4. (Punteggio massimo = 3) Sia dato il seguente problema di programmazione quadratica: N N N (y i y j x i x j q ij ) x k x i= j= k= N y i x i = 0 i= x i 0, i =,..., N x i C i, i =,..., N () dove x i sono variabili, mentre y i, q ij e C i sono parametri del problema.. Una possibile dichiarazione delle variabili e dei parametri del problema in AMPL è la seguente: param N; param y{n}; param C{N}; param q{n,n}; var x{n};

9 imize obiettivo: sum{i in..n, j in..n} (y[i]*y[j]*x[i]*x[j]*q[i,j]) - sum {k in..n} x[k];. Una possibile dichiarazione della funzione obiettivo in AMPL è la seguente: 3. Una possibile dichiarazione dei vincoli del problema in AMPL è la seguente: subj to uguaglianza: sum{i in..n} y[i]*x[i]=0; subj to box{i in..n}: x[i]>=0; subj to box{i in..n}:x[i]<=c[i]; Esercizio 5. (Punteggio massimo = ) Dato un problema (P) di imizzazione non vincolata di una funzione f(x) del tipo con A matrice m n. R n Ax.. Se x è un punto tale che A x = 0, allora x è un imo.. La funzione è quadratica e convessa. 3. La matrice hessiana della funzione è A T A. 4. Il metodo del gradiente detera il imo della funzione in al più n passi. Esercizio 6. (Punteggio massimo = ) Dato un problema di programmazione non lineare vincolato f(x) h(x) = 0 Ax b con f : R n R, h : R n R p, A matrice m n.

10 . Se f(x) è convessa e h j (x) sono convesse per ogni j =,..., p allora il problema è convesso.. È possibile definire una funzione di pensalità esterna per il problema dato. 3. Se x è un imo locale soddisfa le condizioni di KKT, senza ipotesi di regolarità. 4. L insieme ammissibile è regolare. Esercizio 7. (Punteggio massimo = ) Sia dato un problema di Programmazione lineare c T x Ax = b x 0 con A matrice m n e x R n e si indichi con x la soluzione ottima, se esiste.. I vincoli del problema duale sono n tutti di disuguaglianza. Se il problema primale ammette soluzione ottima finita x, allora anche il problema duale ammette soluzione ottima u e risulta b T u < c T x. 3. Se ū R m è un punto tale che A T ū c, allora b T ū c T x. 4. Se il problema duale ha insieme ammissibile vuoto, allora il problema primale ha insieme ammissibile vuoto oppure è illimitato.