Nel gergo delle disequazioni vi sono dei simboli che devono essere conosciuti leggendoli da sinistra a destra:

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1 Disequzioi Mrio Sdri DISEQUAZIONI Defiizioi U disequzioe è u disegugliz tr due espressioi che cotegoo icogite. Risolvere u disequzioe sigific trovre quell'isieme di vlori che, ttriuiti lle icogite, l redoo u disugugliz effettivmete verifict. Solitmete, le soluzioi di u disequzioe soo costituite d uo o più itervlli di vlori. Pricipi di equivlez Due disequzioi si dicoo equivleti se i rispettivi isiemi delle soluzioi coicidoo. Vi soo due pricipi che cosetoo di mipolre le disequzioi per trovre l'isieme delle soluzioi; essi soo u coseguez dirett delle proprietà delle disuguglize: 1. Pricipio di ddizioe: ggiugedo o sottredo i due memri di u disequzioe u stess espressioe, si ottiee u disequzioe equivlete. Ciò implic che si può elimire d etrmi i memri uo stesso termie oppure spostrlo d u memro ll'ltro cmidolo di sego (che equivle d ggiugere il suo opposto).. Pricipio di moltipliczioe: moltiplicdo o dividedo i due memri di u disequzioe per u stess espressioe che si sempre positiv si ottiee u disequzioe equivlete ll dt; moltiplicdo o dividedo per u'espressioe egtiv, l disequzioe srà cotrovers ll dt. Ciò implic che si può cmire il sego tutti i termii di etrmi i memri, purché si cmi che il verso dell disequzioe (i effetti, ciò equivle moltiplicre per -1). Simologi Nel gergo delle disequzioi vi soo dei simoli che devoo essere coosciuti leggedoli d siistr destr: = ugule diverso > mggiore mggiore o ugule < miore miore o ugule 1

2 Disequzioi Mrio Sdri Le soluzioi Qudo si risolve u disequzioe vi soo diversi modi per esprimere l soluzioe. I questo cotesto e vegoo proposte solo due evitdo quell che f uso delle pretesi, tode o qudre. L prim è quell geometric che si ottiee ddo cosiderre gli itervlli, metre l secod è l soluzioe lgeric che si ottiee ddo descrivere mtemticmete i medesimi itervlli. Alcue regole per l soluzioe geometric: se l disequzioe h come vlore > o <, cioè il vlore del puto o è compreso si us il pllio vuoto, i cso i cui vi si che l ugule si us il pllio pieo. L soluzioe viee idict co u rig cotiu (qui di seguito i grssetto) o co il +, metre l o soluzioe o viee idict o col sego. A destr di tle rett sto i vlori umerici grdi, metre siistr quelli piccoli. L utilizzo del + e del è fodmetle qudo si vo studire situzioi e più complesse e per tle rgioe è cosigliile i molte circostze utilizzrl. Disequzioi di primo grdo U disequzioe liere d u icogit si può sempre ricodurre d u delle segueti forme, i cui si cosider il vlore di positivo: Disequzioe Soluzioe lgeric Soluzioe geometric x + x > x + x x + < x < x + x Nel cso i cui il termie si egtivo si cmio tutti i segi e si ritor uo dei csi sopr idicti. Per otteere l soluzioe si utilizzo i pricipi di equivlez, cioè si porto tutte le icogite siistr e i termii oti destr. I cso i cui l icogit i vlore egtivo si cmio tutti i segi e che quello dell disequzioe e poi si divide per il vlore umerico dell icogit etrmi i memri. Not Nel cso di disequzioi di questo tipo per spere rispetto l vlore trovto, ell soluzioe geometric, se l soluzioe st dest o siistr del puto, st gurdre il simolo dell disugugliz, iftti semr essere l put di u frecci e l soluzioe st ell direzioe dell put stess.

3 Disequzioi Mrio Sdri Disequzioe di secodo grdo U disequzioe si dice qudrtic se i ess, u volt ridott i u delle forme segueti, compioo termii qudrtici, cioè poteze di ordie mssimo ugule. U disequzioe qudrtic geeric è scritt el seguete modo: x x c + + x x c + + x x c + + < x x c + + I ogi cso l procedur è idetic i ogi cso. Si risolve izitutto l equzioe ssocit x + x + c = l qule può vere due soluzioi distite, due soluzioi coicideti o essu soluzioe i fuzioe del discrimite. U equzioe di questo tipo rppreset u prol co l cocvità rivolt verso l lto se è positivo, verso il sso se è egtivo. Cosiderimo solo il cso i cui si positivo. Le soluzioi soo: Discrimite = 4c x < x 1 x x c + + x x c + + x x c + + x x c + + x< x> x x x x x 1 < x< x x x x 1 = = x = x x R Nessu vlore di x x = < (essu soluzioe) x R 1 x R Nessu vlore di x Nessu vlore di x x Per otteere le soluzioi co egtiv è più semplice ivertire tutti i segi e utilizzre u delle sopr citte soluzioi sez dove imprre u uovo schem. Sopr l rett l fuzioe è positiv e sotto egtiv d qui il motivo dell soluzioe. I ltre prole si cerc per quli itervlli l prol st sopr l rett (disequzioe col sego mggiore o mggiore ugule) o sotto l rett (disequzioe col sego miore o miore ugule). Not Lo schem precedete può che essere ricordto el seguete modo: se l disequzioe h sego mggiore o mggiore ugule predo i vlori esteri i puti ltrimeti quelli iteri. Questo trucco o si pplic co discrimite egtivo. 3

4 Disequzioi Mrio Sdri Disequzioi frtte U disequzioe frtt, ridott ell su form più semplice è scriviile come il rpporto di due poliomi N D( x ) > N D N D( x ) < N dove N( x ) è il deomitore e D( x ) è il deomitore. D x Per trovre l soluzioe il metodo è di risolvere seprtmete il umertore e il deomitore e porli etrmi mggiori di zero. Solo il umertore mggiore o ugule zero el cso l disequzioe preseti che l ugule: Simolo disequzioe Risolvo N x > o < D o N D Il deomitore o lo pogo mi ugule zero perché rederee impossiile (o determit) l disequzioe, come succede elle equzioi frtte. Disego due rette prllele u per descrivere le soluzioi del umertore e u del deomitore come d esempio: N: D: I vlori umerici devoo essere messi i modo che veg rispettto l ordie di grdezz. I vlori più piccoli siistr e quelli più grdi destr. Si sego le soluzioi ei due csi come visto precedetemete, ricorddo che l soluzioe è il + e l o soluzioe il. Successivmete i trccio delle liee verticli i corrispodez dei puti N: D: Nell esempio imo supposto che ci fossero tre vlori. Per ogi itervllo si f il prodotto dei segi ricorddo che il risultto d solo se i soo i umero dispri. Or l soluzioe soo gli itervlli col sego positivo se origirimete l equzioe vev come sego dell disugugliz > o, ltrimeti si predoo gli itervlli egtivi. 4

5 Disequzioi Mrio Sdri Disequzioi di grdo superiore l secodo Per risolvere u disequzioe di grdo superiore l secodo, che geericmete viee idict co: P( x ) P P( x ) < P è ecessrio scomporre il poliomio P i termii di primo o secodo grdo = P x P x P x P x 1... dove Pi ( x ) corrispode d u poliomio di primo o l mssimo di secodo grdo. Per trovre l soluzioe il metodo è di risolvere seprtmete ogi sigolo poliomio Pi ( x ) e porli etrmi mggiori di zero, mggiore o ugule zero el cso l disequzioe preseti che l ugule: Simolo disequzioe Risolvo > o < P1 ( x ) P ( x ) P ( x ) o P1 P P Disego tte rette prllele quti soo i poliomi Pi ed ogu descriverà l soluzioe del sigolo poliomio Pi ( x ) d esempio: 5 P1 ( x ) : P ( x ) : : P x I vlori umerici devoo essere messi i modo che veg rispettto l ordie di grdezz. I vlori più piccoli siistr e quelli più grdi destr. Si sego le soluzioi ei due csi come visto precedetemete, ricorddo che l soluzioe è il + e l o soluzioe il. Successivmete i trccio delle liee verticli i corrispodez dei puti P1 ( x ) : P ( x ) : : P x Per ogi itervllo si f il prodotto dei segi ricorddo che il risultto d solo se i soo i umero dispri.

6 Disequzioi Mrio Sdri Or l soluzioe soo gli itervlli col sego positivo se origirimete l equzioe vev come sego dell disugugliz > o, ltrimeti si predoo gli itervlli egtivi. Not Il metodo per risolvere u equzioe di grdo superiore l secodo è idetico quello che viee utilizzto per risolvere u disequzioe frtt. Sistemi di disequzioi Qudo si cosidero cotemporemete più disequzioi, tutte ell stess icogit, si h u sistem di disequzioi. P1 x P... P Nell esempio i segi delle disequzioi possoo essere di quluque tipo, o ecessrimete tutti mggiori. U sistem di disequzioi si risolve risolvedo seprtmete ogi sigol disequzioe Pi ( x ) e come soluzioe vrà le soluzioi comui tutte le disequzioi. Disequzioi co vlore ssoluto U disequzioe co vlore ssoluto, come suggerisce l prol stess, cotiee, il modulo. Rivedimo per completezz qule operzioe viee effettut pplicdo il modulo: f f x se è f x = f x se è f x < Vedimo or come si risolve u geeric disequzioe co vlore ssoluto del tipo A B soluzioe è l l uioe delle soluzioi dell seguete coppi di sistemi 6 A A x < A x > B x A x > B x >. L Se iizilmete l disequzioe vesse u simolo diverso, questo sree lo stesso che ppriree ell secod disequzioe di etrmi i sistemi. I quest reve trttzioe o viee ffrotto il prolem dettglito di come si poss risolvere u disequzioe del tipo A ± B > C. Si cce solo l ftto che isog studire iizilmete il sego di A( x ) e B( x ).

7 Disequzioi Mrio Sdri Disequzioi irrzioli U disequzioe si dice irrziole se l icogit ppre poteze o itere, o per semplicità, se l icogit si trov sotto rdice. Tli disequzioi si rifo molto ll teori dei rdicli e per tle motivo è opportuo rivedere l omecltur. U rdice geeric si poe ell form dove è l idice dell rdice e l rgometo o il rdicdo. Per risolvere u qulsisi disequzioe di secodo grdo soo d teere mete lcue cose fodmetli: il vlore dell idice dell rdice (pri o dispri) e il sego dell disugugliz. Dt l lughezz el giugere d u regol geerle, qui vegoo omessi i pssggi logici che porto lle formulzioi segueti, presetdo uicmete le formule el loro cso geerle. I csi prticolri si ottegoo sempre d questi i mier semplice. Disequzioe dispri pri A < B A < B B A A < B A > B A > B B B < A < B A Tle schem si pplic trquillmete che i csi i cui si h che l ugule ell disugugliz, teedo presete che esso ppre i tutte i tutte le formule. Nel cso di pri, l codizioe A deriv dl ftto che i tli circostze l rgometo, per defiizioe, o può mi essere egtivo, cos che può succedere el cso di dispri. Cso prticolre Molto spesso, soprttutto ello studio di fuzioi, cpit di risolvere disequzioi irrzioli molto più semplici di quelle viste sopr. Per completezz e semplicità schemtizzimo il cso i cui si i B( x ) =. Disequzioe dispri pri A x < A( x ) < Nessu soluzioe A A A( x ) = A( x ) A( x ) A( x ) A A A 7