Dinamica del punto materiale parte seconda

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1 Dinamica del punto materiale parte seconda a.a Testo di riferimento: Elementi di Fisica, Mazzoldi, Nigro, Voci

2 Dinamica del punto materiale parte seconda a.a Testo di riferimento: Elementi di Fisica, Mazzoldi, Nigro, Voci

3 dal Programma o Dinamica del punto materiale Interazioni fondamentali. Principio d inerzia e introduzione al concetto di forza. Leggi di Newton. Sistemi di riferimento inerziali. Quantità di moto e impulso. Esempi di forze: forza peso, elastica, di attrito statico e dinamico, reazioni vincolari, tensioni. Pendolo semplice. Energia cinetica, Lavoro, Potenza. Lavoro e variazione dell energia cinetica. Forze conservative. Energia potenziale e conservazione dell energia meccanica. Lavoro delle forze non conservative e principio di conservazione dell energia. Analisi dei diagrammi di energia potenziale. Momento della quantità di moto. Momento di forza. Teorema del momento angolare. Moti relativi (cenni): sistemi di riferimento in moto relativo traslatorio, rotatorio. Teorema delle velocità relative. Sistemi di riferimento non inerziali. Forze apparenti. Principio di relatività Galileiana. 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 3

4 Lavoro o Lavoro di una forza, definizione:si considera la forza che agisce su un p.to materiale e lo spostamento del p.to materiale. Il lavoro della forza è il prodotto scalare tra forza e spostamento. n Spostamento infinitesimo: dl = Fds n Spostamento finito: L = F d s o Forza costante: L=FΔs=FΔs cosθ o Unità di misura [L]=N m =J (Joule) 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 4 f i

5 Lavoro o Sul Mazzoldi è usato il simbolo W (work) L = f i F d s 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 5

6 Lavoro o Se ho più forze che agiscono sul punto materiale (mentre questo si sposta) posso considerare il lavoro della forza risultante L = f F d s f = ( F 1 + F F n ) d s i i = L 1 + L L n 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 6

7 Potenza (di una forza) o La potenza è la derivata del lavoro rispetto al tempo (potenza istantanea) P = dl dt = F d s dt = F v o Unità di misura: [P]=J/s=W (Watt) o Posso definire anche una potenza media: P media =L/Δt 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 7

8 Energia cinetica del p.to materiale o Si definisce Energia cinetica del punto materiale la seguente quantità: E K = 1 2 mv2 = 1 2 p 2 m o Unità di misura: [E]=J (Joule) 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 8

9 Energia cinetica del p.to materiale o Si definisce Energia cinetica del punto materiale la seguente quantità: E K = 1 2 mv2 = 1 2 p 2 m o Unità di misura: [E]=J (Joule) o L energia cinetica dipende solo dalla velocità del p.to materiale e dalla sua massa (la definizione non è collegata alle eventuali forze che agiscono sul p.to materiale) 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 9

10 Teorema dell energia cinetica o collega la variazione di energia cinetica di un punto materiale al lavoro delle forze (di tutte le forze) che hanno agito sul punto materiale : dl = F d s = m a d s = m d v dt d s = m v d v = = md ( 1 2 v v ) = d 1 2 mv2 ( ) = de K f i f i L = dl = de K = E K finale E K iniziale Il lavoro fatto dalle forze che agiscono sul punto materiale è pari alla variazione di energia cinetica del punto materiale Solo se considero tutte le forze (F=F 1 +F 2 + +F n ), posso scrivere F=ma 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 10

11 Adesso applicheremo le definizioni ed i teoremi introdotti al caso delle diverse forze considerate: forza peso, forza elastica, forza di attrito. 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 11

12 Lavoro della forza peso o La forza è costante F=P=mg L = B F d s = F B d s A r AB = r B r A L= mg(z B z A ) A = m g r AB Definisco Energia Potenziale della forza peso la quantità E P =mgz L= mg(z B z A ) = (E P,B E P,A ) = ΔE P Il lavoro della forza peso è pari all opposto della variazione dell energia potenziale 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 12

13 Lavoro della forza peso Il lavoro della forza peso L= mg(z B z A ) = (E P,B E P,A ) = ΔE è pari all opposto della P variazione dell energia potenziale Un punto di massa m si trova alla base di un piano inclinato liscio. La sua velocità vale v A (fig.a). Calcolare a che altezza si ferma 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 13

14 Lavoro della forza elastica o F=-kxu x L = B kx u x d s B = kx u x dxu x = k A ( ) = ΔE P = 1 kx 2 2 B 1 kx 2 2 A A B x dx = A E P = 1 2 kx2 definizione di Energia potenziale elastica 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 14

15 Lavoro della forza di attrito o attrito statico o dl=fds o caso statico à non vi è spostamento n il lavoro è nullo 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 15

16 Lavoro della forza di attrito o attrito dinamico o dl=f d ds o Lo spostamento è sempre opposto alla forza di attrito (perché lo spostamento infinitesimo e la velocità hanno sempre stessa direzione e verso) n infatti: F d =-µ d Nu T (u T è il versore tangente) o quindi dl= F d ds cosπ=- F d ds = -µ d N ds n il lavoro della forza di attrito è sempre negativo L = B µ d N u T d s = µ d N ds A B A Il lavoro della forza di attrito dipende dalla lunghezza del percorso per andare da A a B 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 16

17 Forze Conservative o Una forza si dice conservativa se, comunque considerati due punti nello spazio (A e B), il lavoro della forza per andare da A a B non dipende dal particolare percorso scelto. n Forze conservative: Peso, forza elastica, forza centrale (elettrica, gravitazionale) n Forza non conservativa: forza di attrito 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 17

18 Proprietà delle forze conservative o Il lavoro compiuto dalla forza conservativa lungo un qualsiasi percorso chiuso è nullo o Ad ogni forza conservativa si può associare un energia potenziale, E p, definita in modo tale che le differenze dell energia potenziale tra A e B da il lavoro fatto per andare da A a B n L energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria o hanno valore fisico solo le differenze di Energia potenziale E P =E P (r P ) = E P (x P,y P,z P ) L AàB = E P (A)-E P (B) = -ΔE P 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 18

19 Proprietà delle forze conservative o Ad ogni forza conservativa si può associare un energia potenziale, E p, definita in modo tale che le differenze dell energia potenziale tra A e B da il lavoro fatto per andare da A a B n L energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria o hanno valore fisico solo le differenze di Energia potenziale E P (B) = E P (A) B A F d s Devo assegnare, in maniera arbitraria, un valore all energia potenziale in un punto (A). Una volta assegnato tale valore, non posso più cambiare (a meno di non ricalcolare E P in tutto lo spazio) E P =E P (r P ) = E P (x P,y P,z P ) L AàB = E P (A)-E P (B) = -ΔE P 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 19

20 Proprietà delle forze conservative E P (B) = E P (A) B A L d s E P =E P (r P ) = E P (x P,y P,z P ) L AàB = E P (A)-E P (B) = -ΔE P Devo assegnare, in maniera arbitraria, un valore all energia potenziale in un punto (A). Una volta assegnato tale valore, non posso più cambiare (a meno di non ricalcolare E P in tutto lo spazio) Posso dire che l energia potenziale della forza peso è nulla al livello del pavimento di questa aula (O), oppure a livello del suolo (atrio, O ) 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 20

21 Energia potenziale: sommario o per tutte le forze conservative il lavoro si esprime sempre come l opposto della varaizione dell energia potenziale relativa alla specifica forza o non esiste una formula generale dell energia potenziale, ma l espressione esplicita dipende salla particolare forza conservativa cui essa si riferisce o Nei casi studiati (alla lavagna) n forza peso: E P, peso =mgz n forza elastica: E P, elas. =1/2Kx 2 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 21

22 Conservazione Energia Meccanica o Il teorema dell energia cinetica vale sempre: dl è il lavoro di tutte le forze presenti: dl=(f 1 +F F n )ds L = dl = de K o Se sono presenti solo forze conservative n per ciascuna di esse si può definire l energia potenziale e sostituire al lavoro di ciascuna forza l opposto della variazione di energia potenziale corrispondente: f i f i = E K finale E K iniziale L = L 1 + L L n = E K finale E K iniziale = ΔE K ΔE P,1 ΔE P,2... ΔE P,n = ΔE K E P = E P, E P,n ΔE P = ΔE K Δ(E P + E K ) = 0 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 22

23 Conservazione Energia Meccanica L = L 1 + L L n = E K finale E K iniziale = ΔE K ΔE P,1 ΔE P,2... ΔE P,n = ΔE K ΔE P = ΔE K Δ(E P + E K ) = 0 E P = E P, E P,n o Definisco Energia meccanica la somma di tutte le energie potenziali (E P =E p,1 + +E p,n ) e dell energia cinetica (E K ) n E m =E P +E K [E m ]=J (Joule) o Principio di conservazione dell energia meccanica: n se sono presenti solo forze di tipo conservativo, l energia meccanica di un punto materiale si conserva ΔE m = 0 E m = E K + E P = costante 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 23

24 Teorema dell energia cinetica in presenza di forze non conservative o Se su un punto materiale agiscono sia forze conservative che forze non conservative, per le prime potrò definire l energia potenziale (E P ) o In tal caso l energia meccanica non si conserva, ma la sua variazione è pari al lavoro fatto dalle forze non conservative L n.c. (A B) = ΔE m = E m (B) E m (A) = E K (B)+ E P (B) E K (A) E P (A) 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 24

25 Esercizi dal Mazzoldi Nigro Voci Es 4.4 Nel sistema in figura, tutti I piani sono lisci. Se si abbandona il punto materiale in A, con velocità iniziale nulla, determinare dove arriva 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 25

26 Esercizi dal Mazzoldi Nigro Voci Es 4.5 Nel sistema in figura, il piano è liscio. Se si trasmette al punto, in un tmpo molto breve, un impulso J parallelo e concorde all asse x, determinare di quanto si comprime la molla 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 26

27 Esercizi dal Mazzoldi Nigro Voci Es 4.6 Studiare il moto del pendolo semplice applicando il principio di conservazione dell energia 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 27

28 Esercizi dal Mazzoldi Nigro Voci Es 4.8 Il punto materiale si trova su un piano non liscio, ad una quota iniziale h e velocità iniziale nulla. Determinare con quale velocità arriva alla fine del piano inclinato. 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 28

29 Momento angolare e momento della forza o Abbiamo definito il momento di un vettore (applicato in P) rispetto ad un punto O (polo): M 0 =OP x v o Definiamo momento angolare, il momento del vettore quantità di moto (p=mv). Ovviamente bisogna riferirsi ad un polo O n L = r p = OP m v se si cambia polo: o Il momento di una forza è definito in modo analogo: M = r F = OP F L O = L O' +OO' m v se si cambia polo: M O = M O' +OO' F se ci sono più forze, con risultante R : M = M M n = r ( F F n ) = r R 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 29

30 Unità di misura o momento angolare: L = r p = OP m v [L]=m kg m s -1 = kg m 2 s -1 = N m s o Momento di una forza: M = r F = OP F [M]=m N = m kg m s -2 = kg m 2 s -2 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 30

31 Teorema del momento angolare L = r p = OP m v M = r F = OP F o Calcoliamo la derivata rispetto al tempo di L d L dt = d r dt p + r d p dt = 0 + r F = M M = d L dt Teorema del momento angolare per il p.to materiale: la derivata rispetto al tempo del momento angolare rispetto ad un polo O è pari al momento della risultante di tutte le forze rispetto allo stesso polo 0 Corollario (conservazione del momento angolare): se M O =0 à L O =cost. 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 31

32 Teorema del momento angolare L = r p = OP m v M = r F = OP F M = d L dt o Integriamo questa equazione su un tempo finito Δt=t fin -t ini Mdt = Δ L = L fin L ini t f t i o Se la forza è applicata per un tempo molto breve (forza impulsiva) tra 0 e t (t piccolo) à r resta costante: t t Mdt ' = ( r F) dt = r t Fdt ' = r J = Δ L r J = Δ L Teorema del momento dell impulso: la variazione del momento angolare è pari al momento dell impulso applicato al p.to materiale 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 32

33 Lavoro nel moto circolare o nel moto circolare, riferendosi al centro della circonferenza per calcolare il momento delle forze, possiamo esprimere il lavoro tramite il modulo del momento della forza: L = B B F T ds = rf T A A B dθ = Mdθ A Poiché il moto è circolare, contribuisce al lavoro solo la componente della forza tangente alla traiettoria (per quella normale, il lavoro è nullo). Inoltre, quale che sia la forza F, risulta M=r x F = r F T u Z à M= M =r F T 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 33