8. Serie numeriche Assegnata la successione di numeri complessi {a 1, a 2, a 3,...} si considera con il nome di serie numerica.

Transcript

1 8. Serie numeriche Assegnata la successione di numeri complessi {a 1, a 2, a 3,...} si considera con il nome di serie numerica la nuova successione {s n } definita come s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,... s n = che prende il nome di successione delle somme parziali o delle ridotte della serie assegnata. Definizione 8.1. Si dice che la serie é convergente se e solo se la successione {s n } ad essa associata é convergente. Se lim s n = S n allora si pone = S Il criterio di convergenza di Cauchy applicato alla {s n } ε > 0 n ε : n, m n ε s n s m ε implica, tenuto conto che s n s m = il seguente m k=n+1 Teorema 8.2. La serie é convergente se e solo se ε > 0 n ε : n, m n ε m k=n+1 ε Corollario 8.3. Condizione necessaria a che la serie converga é che riesca lim n a n = 0 Dimostrazione. Basta applicare il precedente teorema alla scelta m = n n

2 2 Esempio 8.4. La serie 1/k non é convergente e fornisce un importante esempio di una serie i cui termini siano infinitesimi senza che questo basti alla convergenza della serie (Ovvero la non sufficienza della condizione espressa nel precedente Corollario) 8.1. La convergenza assoluta. Definizione 8.5. Una serie a termini complessi tale che la serie dei valori assoluti sia convergente prende il nome di serie assolutamente convergente. Teorema 8.6. Se la serie converge allora converge anche la serie. Dimostrazione. Perché la serie converga occorre e basta che sia soddisfatta la condizione del precedente Teorema 8.2. Tenuto conto che per la proprietá triangolare a n+1 + a n a m a n+1 + a n a m si riconosce che dall ipotesi di convergenza della si ricavi che la soddisfa la condizione di convergenza del Teorema Le serie a termini reali positivi. Le serie a termini reali positivi producono successioni di somme parziali monotone crescenti s n = n n+1 = s n+1 Poiché le successioni monotone crescenti limitate superiormente sono convergenti le serie a termini positivi vengono naturalmente studiate per confronto Teorema 8.7. Siano e b k due serie a termini reali positivi i cui termini verifichino la relazione k b k

3 allora se la serie maggiorante, minorante, se la serie minorante maggiorante, b k. 9. ALCUNI ESEMPI 3 b k, converge, converge anche la diverge, diverge anche la serie Dimostrazione. Il risultato deriva semplicemente dal fatto che indicate con {A n } e con {B n } le ridotte delle due serie k b k n A n B n per cui se converge, e quindi si mantiene limitata, la {B n } si mantiene limitata, e di conseguenza converge, anche la {A n }. Analogamente se non converge, e quindi non é limitata, la {A n } allora non é limitata, e quindi non converge, neanche la {B n }. Proposizione 8.8. I termini della serie soddisfino le disuguaglianze k d k Se la serie a termini reali positivi d k é convergente allora é conver- gente anche la. Dimostrazione. Il risultato deriva dal precedente Teorema 8.7 dal quale si deduce intanto che la serie é convergente. La convergenza allora della serie a termini complessi sua assoluta convergenza, Teorema Alcuni esempi deriva dalla 9.1. Le serie geometriche. Si dicono serie geometriche quelle i cui addendi sono le successive potenze di una stessa base ρ 1: ρ k s n = 1 ρn+1 1 ρ

4 4 É facile riconoscere che le serie geometriche con 1 < ρ < 1 convergono S = 1 1 ρ ρ 1 non convergono 9.2. Le serie armoniche generalizzate. Si dicono serie armoniche generalizzate quelle i cui addendi sono le potenze dei reciproci degli interi: 1 k p É facile riconoscere che le serie armoniche generalizzate con p 0 non sono convergenti (i termini non costituiscono una successione infinitesima). I casi p > 0 si valutano servendosi della seguente proposizione: Proposizione 9.1. Siano a 1 a 2 a le due serie, 2 k a 2 k convergono o non convergono entrambe insieme. Dimostrazione. Si tratta di serie a termini positivi: quindi la loro convergenza o meno equivale alla limitatezza delle rispettive somme parziali. Dette s n e t n rispettivamente le due successioni delle somme parziali si ha, s 2 n = a 1 + (a 2 + a 3 ) + (a 4 + a 5 + a 6 + a 7 )... a 1 + 2a 2 + 4a = t n 1 s 2 n = a 1 +a 2 +(a 3 +a 4 )+(a 5 +a 6 +a 7 +a 8 ) a 1+a 2 +2a = 1 2 t n 1 Le due disuguaglianze riconoscono che i termini delle due successioni di somme parziali si maggiorano una con l altra: quindi se é limitata una é limitata anche l altra. La precedente proposizione puó essere applicata allo studio delle serie armoniche generalizzate 1 2 k 1 k p 2 = ( ) k 1 kp 2 p 1 riconoscendo quindi che convergono se p > 1 che non convergono se p 1

5 10. I CRITERI DI CONVERGENZA ASSOLUTA I criteri di convergenza assoluta Teorema Assegnata la serie a termini complessi, posto l = lim sup n a n se l < 1 la serie converge, se l > 1 la serie non converge, se l = 1 il test non decide, nel senso che la serie puó essere convergente come essere non convergente. Dimostrazione. Sia, primo caso, l < 1: allora scelto l < ρ < 1 esiste un indice n ρ tale che n n n ρ : an ρ a n ρ n da cui, per confronto con la serie convergente ρ k, si riconosce che la é assolutamente convergente, quindi convergente. Sia, secondo caso, l > 1: allora scelto 1 < ρ < l esistono infiniti a nk ρ n k 1 quindi la successione {an } non é infinitesima, quindi la serie non puó convergere. Sia, terzo caso, l = 1: per rispondere basta fornire due esempi, uno di una serie convergente e uno di una non convergente. 1 convergente k 2 In entrambi i casi riesce lim n 1 k non convergente n 1 n = lim 2 n n 1 n = 1 Teorema Assegnata la serie a termini complessi, posto l = lim sup a n+1 a n se l < 1 la serie converge, se l > 1 la serie non converge,

6 6 se l = 1 il test non decide, nel senso che la serie puó essere convergente come essere non convergente. Dimostrazione. La dimostrazione é analoga al precedente.