b i 1,1,1 1,1,1 0,1,2 0,3,4

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1 V o Appello // RICERCA OPERATIVA - Corso A (a.a. 9/) Nome Cognome: Corso di Laurea: L C6 LS LM Matricola: ) Si consideri il problema di flusso di costo minimo in figura. Si verifichi se il flusso ammissibile riportato sia di costo minimo, ed in caso negativo si determini un altro flusso ammissibile di costo minore inviando flusso lungo un opportuno ciclo. Infine, si modifichi il costo di uno o più archi in modo tale che se anche questo nuovo flusso non è di costo minimo lo diventi, mentre se lo è non lo sia più. Giustificare le risposte.,,,,,, b i i xij, u ij, c ij j b j,,,,,,,,,, Un flusso ammissibile è di costo minimo se e solo se non ammette cicli aumentanti di costo negativo, ovvero se e solo se il corrispondente grafo residuo non contiene cicli negativi. La figura qua sotto fornisce il grafo residuo associato al flusso dato, che contiene cicli negativi: ad esempio, il ciclo C = {,, } di costo C(C ) = e capacità θ =, che può essere individuato applicando l algoritmo SPT.L con tutti i nodi come radici. Inviando una unità di flusso lungo il ciclo C si ottiene il flusso riportato nella figura qua sotto a sinistra, di costo 9 mentre il flusso dato ha costo. Questo flusso è di costo minimo: infatti, applicando l algoritmo SPT.L, con tutti i nodi come radici, sul grafo residuo (figura qua sotto al centro), si ottiene l albero dei cammini minimi riportato nella figura qua sotto a destra. Ponendo c =, il costo del ciclo C = {,, } diventa, e pertanto il flusso non è più di costo minimo.

2 V o Appello // ) La rockstar newyorkese Sarah Stones sta pianificando il suo prossimo tour europeo. La sua manager Mary ha raccolto le richieste dei vari promotori locali: sono giunte n richieste di concerto, ciascuna caratterizzata da una località e da una data di svolgimento. Mary numera le richieste in base alla data: definendo come giorno quello della prima data proposta, individua il giorno g i corrispondente alla richiesta i, numerata in modo tale che g i g j se i < j. Mary passa poi i dati al tour manager Dale per la decisione di quali richieste accettare: oltre al compenso p i promesso, deve considerare il costo fisso C di trasferimento del materiale, dei musicisti e dei tecnici da New York all Europa ed il medesimo costo per il ritorno, i costi degli spostamenti nonché i vincoli temporali e spaziali. I TIR con il materiale e l autobus del personale non possono percorrere più di 8 chilometri al giorno, ed è necessario essere nella località di un concerto fin dalla sera prima per montare il palco ed effettuare le prove. Dale elabora la tabella delle distanze d ij tra le località dei possibili concerti i e j e valuta in c ij il costo del relativo trasferimento. Aiuta Dale formulando in termini di Programmazione Lineare Intera il problema di decidere se effettuare il tour, ed in caso affermativo quali concerti tenere, massimizzando il profitto totale dato dalla differenza tra i compensi incassati ed i costi di trasferimento nel rispetto dei vincoli temporali e spaziali. Il problema può essere formulato come un problema di cammino minimo tra nodi in un opportuno grafo, dove ciascun cammino individua una sequenza ammissibile di concerti. I nodi del grafo rappresentano i concerti e gli archi la compatibilità spaziale e temporale tra concerti. Il costo di un arco è dato dal corrispondente costo di trasferimento, mentre i compensi possono essere visti come costi negativi associati ai nodi-concerti. Duplicando ciascun nodo ed inserendo un arco tra la coppia di nodi così ottenuta, il compenso del concerto può venir associato al nuovo arco come costo negativo. Per ogni possibile concerto i si introducono nodi i e i e l arco (i, i ): percorre tale arco rappresenta il fatto di tenere il concerto e quindi si pone come suo costo c i i = p i. Per ogni coppia di concerti i e j, con j > i, si introduce l arco (i, j ) se i concerti sono compatibili, ovvero se g j > g i (i concerti non sono previsti nella stessa data) e d ij 8(g j g i ) (la distanza tra le località è tale da permettere il trasferimento in tempo utile); percorrere l arco rappresenta il fatto che j è il concerto successivo a i e quindi il costo dell arco è quello di trasferimento: c i j = c ij. Si introducono anche nodi ausiliari o e d, che rappresentano l origine e la destinazione finale del tour (New York) e che permettono di individuare il primo e l ultimo concerto: basta introdurre, per ciascun concerto i, gli archi (o, i ) e (i, d), che verranno percorsi qualora il concerto i sia rispettivamente il primo o l ultimo del tour. Porre il costo di ciascuno di questi archi uguale a C permette di considerare i costi fissi di trasferimento da e per New York. Infine, si aggiunge anche l arco (o, d) per rappresentare la possibilità che il tour non venga effettuato, e quindi si pone come suo costo c od =. Si osservi che il costo del cammino minimo sarà negativo oppure zero. Nal primo caso i costi sono inferiori ai compensi incassati e quindi il tour verrà effettuato seguendo un cammino minimo, nel secondo caso il tour non verrà effettuato se l unico cammino minimo è dato dal solo arco (o, d) oppure potrebbe essere comunque effettuato, ma a profitto nullo, se esistesse un cammino minimo alternativo a {o, d}. In conclusione, considerando il grafo aciclico G = (N, A), dove con N = {o, d} { i : i =,..., n} { i : i =,..., n}, A = A od A c A t, A od = {(o, d)} { (o, i ) : i =,..., n} { (i, d) : i =,..., n}, A c = {(i, i ) : i =,..., n}, A t = { (i, j ) : j > i, g j > g i e d ij 8(g j g i )}, e considerando i seguenti costi sugli archi c od =, c oi = c i d = C, c i i = p i, c i j = c ij i, j =,..., n, il problema può essere formulato in termini di cammino di costo minimo tra i nodi o e d: min (h,k) A k BN(h) c hk x hk x kh k F N(h) se h = o x hk = se h = d se h o, d h N x hk {, } (h, k) A. (in ultima pagina è riportato uno svolgimento alternativo)

3 V o Appello // ) Si applichi l algoritmo di Kruskal per determinare un albero di copertura di costo minimo sul grafo in figura. Per ogni iterazione si indichino: l arco in esame; quale fra le operazioni di inserzione e cancellazione viene applicata; nel primo caso mostrare un taglio che certifichi la validità dell operazione, nel secondo fornire il ciclo individuato dall algoritmo. Al termine fornire l albero di copertura di costo minimo individuato. Tale soluzione ottima è unica? Giustificare la risposta Si consideri il seguente ordinamento degli archi per costo non decrescente: (, ), (6, 7), (, 6), (, ), (, 6), (, 7), (, ), (, 7), (, 6), (, ), (, ). arco operazione taglio ciclo it.) (, ) inserzione ({}, {,,,, 6, 7}) it.) (6, 7) inserzione ({7}, {,,,,, 6}) it.) (, 6) inserzione ({, }, {,,, 6, 7}) it.) (, ) inserzione ({}, {,,,, 6, 7}) it.) (, 6) cancellazione (,, 6) it.6) (, 7) cancellazione (, 7, 6) it.7) (, ) inserzione ({, }, {,,, 6, 7}) it.8) (, 7) cancellazione (, 7, 6,, ) it.9) (, 6) inserzione ({}, {,,,, 6, 7}) L algoritmo termina all iterazione 9 con l albero T in figura, in quanto A T = n = La soluzione individuata non è l unica soluzione ottima: una soluzione ottima alternativa può essere ottenuta sostituendo l arco (, 6) con l arco (, ) di ugual costo, il che accadrebbe all ultima iterazione se si fosse scelto il corrispondente ordinamento degli archi. Analogamente, se si fosse scelto di ordinare diversamente gli archi (, ) e (, 7) di ugual costo, si sarebbe ottenuta un altra soluzione ottima perché all iterazione 7 sarebbe stato inserito l arco (, 7) e all iterazione successiva l arco (, ) sarebbe stato cancellato.

4 V o Appello // ) Si consideri il seguente problema di P.L.: max x x x + x 6 x x x x x Si applichi l algoritmo del Simplesso Primale, per via algebrica, a partire dalla base B = {, }. Per ogni iterazione si indichino: la base, la matrice di base e la sua inversa, la coppia di soluzioni di base, l indice uscente, la direzione di crescita, il passo di spostamento e l indice entrante, giustificando le risposte. it.) B = {, }, A B =, A B = y B = ca B = ξ = A B u B(h) = it.) B = {, }, A B =, x = A 6 B b B = =, =, y N =, y =, h = min{i B : y i < } =, B(h) =,, A N ξ = =, J = {i N : A i ξ > } = {,, }, λ i = (b i A i x)/a i ξ, λ =, λ =, λ =, λ = min{λi : i J} =, y B = ξ = k = min{i J : λ i = λ} = cambio di base degenere, A B =, x = 6 = =, y N =, y =, h =, B(h) =,, A N ξ = =, J = {, }, λ = λ = λ =, k = min{, } = regola anticiclo di Bland it.) B = {, }, A B =, A B =, x = =, y B = =, y N =, y =, h =, B(h) =, ξ =, A N ξ = =, it.) B = {, }, A B = y B = J = {}, λ = λ =, k = cambio di base degenere, A B =, x = =, =, y N =, y =, STOP. Poiché y B, la soluzione x = (, ) è ottima per il problema dato, mentre y = (,,,, ) è una soluzione ottima per il suo problema duale.,

5 V o Appello // ) Si risolva graficamente il problema di PL indicato in figura, utilizzando l algoritmo del Simplesso Duale a partire dalla base B = {, }. Per ogni iterazione si indichino: la base, la soluzione primale di base (in figura), l indice entrante k, i segni delle componenti dei vettori y B e η B, l indice uscente h, giustificando le risposte. Si discuta inoltre la degenerazione, sia primale che duale, delle basi visitate dall algoritmo. Infine si dica come cambierebbe l esecuzione dell algoritmo se il gradiente della funzione obiettivo fosse invece la direzione c indicata in figura, giustificando la risposta. x x A A x A c c = A A A it. ) B = {, }. La soluzione primale di base x viola il solo vincolo, pertanto k = per la regola anticiclo di Bland. y > e y > in quanto c è interno al cono generato da A e A. La base è pertanto duale non degenere, ma è primale degenere in quanto I(x ) = {,, }. Poiché A cono(a, A ), come mostrato in figura (a), risultano η >, η < ; pertanto h =. it. ): B = {, }. La soluzione primale di base x viola i vincoli e, pertanto k = min{, } = per la regola anticiclo di Bland. y > e y > in quanto c è interno al cono generato da A e A. La base è pertanto duale non egenere, ed è inoltre primale non degenere in quanto I(x ) = {, }. Poiché A cono(a, A ), come mostrato in figura (b), risultano η >, η < ; pertanto h =. it. ): B = {, }. La soluzione primale di base x viola il solo vincolo, pertanto k =. y > e y > in quanto c è interno al cono generato da A e A ; la base è pertanto duale non degenere, ed è inoltre primale non degenere in quanto I(x ) = {, }. Poiché A cono( A, A ), come mostrato in figura (c), l algoritmo termina in quanto η B ; pertanto, il problema duale è inferiormente illimitato ed il problema primale è vuoto. Se il gradiente della funzione obiettivo fosse c, l esecuzione dell algoritmo sarebbe sostanzialmente la medesima: la base iniziale B = {, } è duale ammissibile rispetto a c (come mostrato in figura (a)) e in questo caso specifico l esecuzione dell algoritmo non dipende dai vettori y B ma esclusivamente dai vettori η B che non dipendono dalla funzione obiettivo. L unica differenza nelle risposte è che la base B = {, } in questo caso sarebbe duale degenere, poiché y = e y = essendo c = A. c A A A A -A (a) c c A = c (b) c A - A A c (c) -A A -A A

6 ) La rockstar newyorkese Sarah Stones sta pianificando il suo prossimo tour europeo. La sua manager Mary ha raccolto le richieste dei vari promotori locali: sono giunte n richieste di concerto, ciascuna caratterizzata da una località e da una data di svolgimento. Mary numera le richieste in base alla data: definendo come giorno quello della prima data proposta, individua il giorno g i corrispondente alla richiesta i, numerata in modo tale che g i g j se i < j. Mary passa poi i dati al tour manager Dale per la decisione di quali richieste accettare: oltre al compenso p i promesso, deve considerare il costo fisso C di trasferimento del materiale, dei musicisti e dei tecnici da New York all Europa ed il medesimo costo per il ritorno, i costi degli spostamenti nonché i vincoli temporali e spaziali. I TIR con il materiale e l autobus del personale non possono percorrere più di 8 chilometri al giorno, ed è necessario essere nella località di un concerto fin dalla sera prima per montare il palco ed effettuare le prove. Dale elabora la tabella delle distanze d ij tra le località dei possibili concerti i e j e valuta in c ij il costo del relativo trasferimento. Aiuta Dale formulando in termini di Programmazione Lineare Intera il problema di decidere se effettuare il tour, ed in caso affermativo quali concerti tenere, massimizzando il profitto totale dato dalla differenza tra i compensi incassati ed i costi di trasferimento nel rispetto dei vincoli temporali e spaziali. ALTERNATIVO Introduciamo le variabili binarie { se il tour viene effettuato x = altrimenti e le variabili binarie { se il concerto i viene tenuto, x i = altrimenti i =,..., n, { se il concerto j è il successivo di quello i y ij = altrimenti (i, j) IJ, dove IJ = { (i, j) : i =,,..., n e j = i +,..., n oppure i =,..., n e j = } con le convenzioni che il primo concerto è quello successivo a e che l ultimo concerto è il precedente di. Introducendo anche gli insiemi di incompatibilità D(i) = { j > i : g j = g i oppure d ij > 8(g j g i )}, i =,..., n, il problema può essere formulato come: max n i= n p i x i i= j=i+ n c ij y ij Cx x i x y ij = x j, (i,j) IJ y ij = x i (i,j) IJ i =,..., n j =,,..., n i =,,..., n x i + x j j D(i), i =,... n x i {, } y ij {, } i =,,..., n (i, j) IJ Il primo blocco di vincoli garantisce che un concerto possa essere tenuto solo se il tour viene effettuato. Il secondo blocco garantisce che ogni concerto j tenuto (ovvero per cui x j = con j ) sia il successivo di un altro (od eventualmente sia il primo) e che se il tour viene effettutato (j = e x j = ) ci sia un ultimo concerto. Analogamente il terzo blocco garantisce l esistenza di un concerto successivo ad ogni concerto i tenuto o che questi sia l ultimo (caso i ) e l esistenza del primo concerto se il tour viene effettuato (caso i = ). Il quarto ed ultimo blocco garantisce che non vengano tenuti due concerti incompatibili, ovvero per cui sia stata richiesta la stessa data o per cui le date richieste non lascino tempo sufficiente per il trasferimento da una località all altra. Infine, la funzione obiettivo è data dalla differenza della somma dei compensi incassati per i concerti tenuti e della somma dei costi dei trasferimenti dalla località di un concerto a quella del concerto successivo nonché dei costi fissi di trasferimento da e per New York.