Matematica Lezione 7

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1 Università di Cagliari Corso di Laurea in Farmacia Matematica Lezione 7 Sonia Cannas 26/10/2018

2 Vettori: definizione Definizione (Vettore) Sia O un punto fissato del piano. Si definisce vettore applicato in O un segmento orientato OP, dove P è un punto del piano. Il punto in cui il vettore è applicato è detto origine, o punto di applicazione, o coda. Un vettore è individuato da tre elementi: la direzione, cioè la retta passante per O e per P; il verso, indicato dalla freccia; il modulo, cioè il numero reale non negativo che misura la lunghezza del segmento OP.

3 Vettori: applicazioni I vettori sono fondamentali per rappresentare alcune grandezze fisiche. Supponiamo di voler dare delle informazioni riguardo alla temperatura atmosferica. Per descrivere tale grandezza è sufficiente indicare un numero. Grandezze di questo tipo vengono dette scalari. Supponiamo ora di essere in un automobile e di voler dare descrivere la propria velocità. In questo caso non è sufficiente indicare il valore indicato nel tachimetro, per dare un informazione precisa è necessario indicare anche la direzione e il verso che si sta percorrendo. Oppure supponiamo di voler dare un calcio ad un pallone. Durante il calcio viene applicata una forza, ma se si vuole descrivere tale grandezza non è sufficiente un valore numerico, anche in questo caso è necessario indicare la direzione e il verso in cui viene applicata. Grandezze di questo tipo sono dette vettoriali, e sono rappresentate da vettori.

4 Vettori nel piano cartesiano e componenti di un vettore Componenti di un vettore Consideriamo un vettore v = OP nel piano cartesiano, dove O = (0, 0) e P = (a, b). Le coordinate (a, b) del punto P si chiamano componenti di v.

5 Vettori: modulo Sia v un vettore nel piano cartesiano di componenti (v x, v y ). Dal teorema di Pitagora segue subito che il modulo di v è dato dalla formula v = vx 2 + vy 2 (1) Esempio Il vettore di componenti (2, 0) ha modulo 2. Esempio Il vettore di componenti (0, 1) ha modulo 1. Esempio Il vettore di componenti ( 1, 2) ha modulo ( 1) = = 5. Il vettore che ha modulo uguale a zero è detto vettore nullo. Le sue componenti sono (0, 0). La sua direzione e il suo verso sono indeterminati.

6 Versori Definizione Versore Si definisce versore un vettore di modulo unitario. Osservazione Un vettore di componenti (v x, v y ) è un versore se e solo se v 2 x + v 2 y = 1. Versori fondamentali I vettori di componenti (1, 0) e (0, 1) sono due versori, detti versori fondamentali del piano cartesiano, e si indicano con i e j rispettivamente.

7 Operazioni tra vettori: somma Per sommare due vettori si può utilizzare il metodo punta-coda oppure, equivalentemente, il metodo del parallelogramma. Metodo punta-coda Supponiamo di voler sommare i vettori u e v. Trasliamo v in modo che la sua coda coincida con la punta di u. Il vettore risultante s = u + v è il vettore che parte dalla coda di u e arriva alla punta di v. Tale metodo di può utilizzare anche per sommare più vettori.

8 Operazioni tra vettori: somma Osservazione Se due vettori u e v hanno la stessa direzione e lo stesso verso il vettore risultante s ha la stessa direzione e lo stesso verso di u e v e modulo uguale alla somma dei moduli. Osservazione Se due vettori u e v hanno la stessa direzione ma verso opposto il vettore risultante s ha la stessa direzione di u e v, verso uguale a quello del vettore con modulo maggiore e modulo pari alla differenza dei due moduli.

9 Operazioni tra vettori: somma Metodo del parallelogramma Supponiamo di voler sommare i vettori u e v. Trasliamo v in modo tale che la sua coda coincida con la coda di u. Disegniamo un parallelogramma di lati u e v. Il vettore risultante s = u + v è il vettore che parte dalla dalle due code e arriva al vertice opposto del parallelogramma.

10 Operazioni tra vettori: somma in componenti Siano v = (v x, v y ) e w = (w x, w y ). Le componenti del vettore u = v + w si ottengono sommando nell ordine le componenti di v e di w, cioè u = v + w = (v x, v y ) + (w x, w y ) = (v x + w x, v y + w y ) (2) Esempio Siano v = (1, 3) e w = ( 1, 2). Allora v + w = (1, 3) + ( 1, 2) = (1 1, 3 2) = (0, 5)

11 Operazioni tra vettori: moltiplicazione di un numero per un vettore La moltiplicazione di un numero per un vettore modifica il modulo del vettore, ed eventualmente ne cambia verso. Moltiplicazione di un numero per un vettore Dato un vettore v e un numero reale k, il prodotto di k per v è il vettore k v avente stessa direzione di v; modulo uguale al prodotto del valore assoluto di k per il modulo di v; stesso verso di v se k > 0, verso opposto se k < 0.

12 Operazioni tra vettori: moltiplicazione di un numero per un vettore Esempio 3 v = v + v + v 2 v = v + ( v)

13 Operazioni tra vettori: moltiplicazione di un numero per un vettore in componenti Sia k R e sia v = (v x, v y ). Le componenti del vettore k v si ottengono moltiplicando per k le componenti di v, cioè: k v = k(v x, v y ) = (kv x, kv y ) (3) Esempio Consideriamo 2 R e v = (3, 1). Allora 2 v = 2(3, 1) = (2 3, 2 1) = (6, 2) Osservazione Per ogni vettore v si ha 0 v = (0, 0)

14 Operazioni tra vettori: differenza La differenza tra due vettori è una variante della somma, infatti si ottiene sommando al primo vettore l opposto del secondo, cioè: d = u v = u + ( v)

15 Operazioni tra vettori: differenza in componenti Siano v = (v x, v y ) e w = (w x, w y ). Le componenti del vettore u = v w si ottengono sottraendo nell ordine le componenti di v e di w, cioè u = v w = (v x, v y ) (w x, w y ) = (v x w x, v y w y ) (4) Esempio Siano v = (1, 3) e w = ( 1, 2). Allora v w = (1, 3) ( 1, 2) = (1 + 1, 3 + 2) = (2, 1)

16 Operazioni tra vettori Esercizio Dati i vettori v = (3, 2) w = ( 1, 3) determinare il modulo del vettore v + 2w. Soluzione. Per prima cosa determiniamo le componenti del vettore v + 2w. v + 2w = (3, 2) + 2( 1, 3) = = (3, 2) + ( 2, 6) = = (1, 4). Applicando la formula per calcolare il modulo di un vettore otteniamo v + 2w = ( 4) 2 = = 17