INTEGRALI: alcuni esercizi con svolgimento

Transcript

1 INTEGRALI: alcuni esercizi con svolgimento. Entro certi limiti, per stendere una molla occorre applicare una forza proporzionale allo spostamento. Se lo spostamento è x la forza è F (x) = cx con c costante positiva. Calcolare l energia necessaria per allungare la molla da una posizione x = a ad un altra posizione x = b, ricordando che l energia (lavoro) è espressa dall integrale definito a F (x)dx Soluzione. Per risolvere l esercizio è sufficiente il calcolo di un integrale definito, applicando la Formula Fondamentale del Calcolo Integrale a [ ] b cx dx = 2 cx2 = 2 c(b2 a 2 ), a ove 2 cx2 è una primitiva di cx.

2 2. Consideriamo una sostanza radioattiva, cioè contenente atomi che vanno incontro ad una perdita spontanea di particelle del nucleo. Sia N() la quantità di atomi radioattivi presenti nella sostanza all istante iniziale t = ed N(t) quella presente all istante t. Le esperienze dimostrano che il decadimento radioattivo segue la legge esponenziale N(t) = N()e Bt ove B > è una costante che dipende dalla natura della sostanza (costante di decadimento). Calcolare la durata media della vita di una sostanza definita tramite l integrale improprio N() + N(t) dt Soluzione. Sia b > [ N()e Bt dt = N() ] b B e Bt = N() B (e Bb ) = = N() B ( e Bb ), ove B e Bt è una primitiva di e Bt. Per definizione di integrale improprio N() + = lim b + N() N(t) dt = lim b + N() N() B ( e Bb ) = B. N(t) dt = 2

3 3. Assegnate le funzioni f (x) = e x, f 2 (x) = e x, f 3 (x) = e x, stabilire quali fra le rispettive aree sottese nell intervallo [, ] sono uguali. Perché? a b y x x c x.5 y Soluzione. (a) (b) (c) = e x dx = e x dx = [ x e x ] + e x dx = [ ] e x = e e = e e ( e x )dx + ] [ e x x e x dx (e x )dx = = + e + e = e + e 2 Quindi risultano uguali le aree nelle figure (a) e (c). 3

4 4. Una popolazione di 4 batteri cresce alla velocità r(t) = e.2567t batteri l ora. Quanti batteri ci saranno dopo tre ore? Soluzione. Sia R(t) la funzione che esprime il numero dei batteri in funzione del tempo. Si ha R (t) = r(t) cioè R(t) è una primitiva di r(t). Dalla Formula Fondamentale del Calcolo Integrale otteniamo R(3) R() = cioè il numero di batteri dopo tre ore è 3 r(t)dt dove R() = 4. R(3) = R() + 3 r(t)dt Sia a = e b =.2567; allora R(3) = [ a ] 3 ae bt dt = 4 + b ebt = 4 + a b e3b a b. 4

5 5. Una sostanza radioattiva decade esponenzialmente. La massa al tempo t è m(t) = m()e kt, dove m() è la massa iniziale e k è una costante negativa. La vita media M di un atomo della sostanza è M = k + te kt dt. Per l isotopo radioattivo del carbonio 4 C, usato per la datazione dei fossili si ha k =.2. Trovare la vita media di un atomo di 4 C. Soluzione Integrando per parti si ottiene che kte kt dt = = be kb ekb k + k. Quindi + [ te kt ] b kte kt dt = lim b + [ e e kt dt = be kb kt k = lim b + (bekb ekb k + k ) = k kte kt dt = ] b = = anni. 5

6 6. Un azienda di telefonia cellulare offre uno schema di tariffe innovativo: quando si effettua una chiamata, il costo marginale del t-esimo minuto di conversazione è c(t) = 2 t + euro al minuto. Quanto costa effettuare una chiamata della durata di 6 minuti? Soluzione Applicando la Formula Fondamentale del Calcolo Integrale si ha C(6) C() = 6 2 t + dt ove C(t), primitiva di c(t), è il costo di una telefonata che dura t- minuti. Supponiamo che C() = (niente scatto alla risposta); allora [ ] 6 C(6) = dt = 2 t + t + dt = 2 ln(t + ) = = 2(ln 6 ln ) = 2 ln 6 = 8.4 euro. 6

7 7. Piscina. Volete costruire una piscina a forma di fagiolo nel vostro giardino e il progetto è compatibile con il piano regolatore della città solo se l area totale della vasca non supera i 5 metri quadrati. La figura mostra un diagramma della piscina in progetto in scala :5. Il progetto verrà approvato? Dopo aver fissato un opportuno sistema di riferimento, utilizzate le somme integrali per approssimare l area. Soluzione Introduciamo un sistema di riferimento in modo che la figura sia contenuta nel rettangolo [, 5] [, 6.5] del primo quadrante. Si divida la base [, 5] in cinque parti uguali di ampiezza cm corrispondente a 5 m.l area della piscina può essere approssimata come differenza di una somma integrale superiore della curva f(x) che delimita il bordo superiore della vasca e di una somma integrale inferiore della curva g(x) bordo inferiore. Con l aiuto di un righello, tenendo conto della scala utilizzata, si possono ottenere tutte le misure. 5 [ ] Area 5 max f(x) min g(x) = x ]x k,x k [ x ]x k,x k [ k= 5[ ( ) + (27.5 5) + (22.5 5)] = 7

8 = 5( ) = 5 5 = 575m 2. Il risultato ottenuto con un approssimazione così grossolana induce a pensare che il progetto sia compatibile con il piano regolatore. Procediamo con più accuratezza. Suddividiamo la base [, 5] in dieci parti uguali di lunghezza.5 cm corrispondente a 2.5 m. Si ha Area 2.5[(2 2.5) ( ) + ( ) + (27.5 )+(27.5 )+( )+(2 7.5)+(5 5)] = = 5m 2. La seconda approssimazione per eccesso della misura dell area conferma la nostra ipotesi. 8

9 8. Bestseller. Se una casa editrice distribuisse gratuitamente l ultimo best-seller edito, la domanda sarebbe di copie. La domanda marginale (derivata) per il libro è f(x) = 2x al prezzo unitario di x euro. (a) Qual è la funzione di domanda per questo libro? (b) A quale prezzo la domanda si riduce a zero? Soluzione (a) Indichiamo con F (x) la domanda e con x il prezzo unitario. Allora f(x) = F (x) = 2x. Basta quindi calcolare 2xdx = x 2 + c Ora se il libro fosse distribuito gratuitamente (x = ) la domanda sarebbe di copie, ovvero F () =. Allora c = F () = e dunque F (x) = x 2 +. (b) Dobbiamo determinare per quale valore di x si ha F (x) =, ovvero x 2 + = x 2 = x =. Da ciò deduciamo che quando il prezzo unitario è euro la domanda è nulla. 9

10 9. Gara di velocità. Due auto, A e B, partono affiancate e da ferme. Supponiamo che f A (t) = t e f B (t) = t 2 siano rispettivamente le loro funzioni velocità, ove il tempo t è misurato in minuti. (a) Spiegare quale auto è in testa dopo un minuto. (b) Determinare il significato della regione limitata compresa tra le due curve (grafico delle funzioni ristrette all intervallo [, ]). (c) Spiegare quale auto è in testa dopo due minuti. Soluzione x (a) Lo spazio percorso dall auto A in un minuto è pari a [ tdt = t 2 2 dt = 3 t 3 2 ] = 2 3 Lo spazio percorso dall auto B in un minuto è pari a [ ] t 2 dt = 3 t3 = 3 perciò dopo un minuto è in testa l auto A.

11 (b) L area della regione limitata compresa tra le due curve è pari all integrale definito ( t t 2 )dt = tdt t 2 dt = = 3 Tale valore rappresenta la differenza tra lo spazio percorso dall auto A e quello percorso dall auto B durante il primo minuto. (c) Per determinare quale auto è in testa dopo due minuti, il procedimento è analogo al punto (a), cioè si deve calcolare lo spazio percorso dalla prima auto in due minuti 2 tdt = [ 2 3 t 3 2 ] 2 = = 2 3 e lo spazio percorso dall auto B 2 [ ] 2 t 2 dt = 3 t3 = 8 3. Quindi dopo due minuti è in testa l auto B.

12 . Pizze. Il gestore di una pizzeria da asporto offre un lavoro occasionale di consegna pizze proponendo la seguente forma di retribuzione: 25 centesimi di euro ciascuna per le prime 2 pizze consegnate; 4 centesimi di euro ciascuna dalla 2-esima alla 4-esima pizza consegnata; 5 centesimi di euro per ogni altra pizza consegnata. (a) disegnare il grafico della funzione retribuzione unitaria f(x); (b) disegnare il grafico della funzione F (x) = retribuzione totale per una sera di lavoro e stabilire che cosa rappresenta F (x) rispetto a f(x) ; (c) determinare la retribuzione media unitaria che percepisce un ragazzo che in una sera consegna 6 pizze e individuare quale teorema si applica. Soluzione (a) Retribuzione unitaria 25 x 2 f(x) = 4 2 < x < x 6 retribuzioneunitaria 5 4 centesimidieuro pizze 2

13 (b) Retribuzione totale per una sera di lavoro: x = numero delle pizze consegnate in una sera F (x) = relativa retribuzione 25x x 2 F (x) = (x 2) 2 < x (4 2) + 5(x 4) 4 < x 5 retribuzionediunaseradilavoro 4 3 centesimidieuro pizzeconsegnate La funzione F (x) è per definizione la funzione integrale di f(x) : F (x) = x f(t)dt (c) Un ragazzo che in una sera consegna 6 pizze guadagna F (6) = 6 f(x)dx = = 5+8+ = 23 euro. La retribuzione media unitaria è quindi data da 23/6 38, 3 centesimi di euro. Tenendo conto che 23 = F (6) = 6 f(x)dx la retribuzione media 6 f(x)dx 23/6 = 6 si ottiene come applicazione del Teorema della media. 3